Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

3.1. Экономика благосостояния

формация, то конкурентное равновесие будет оптимальным по Парето: ни один из субъектов экономики не может улучшить свое положение, не ухудшая положение другого.

Из полученных условий Куна — Таккера, позволяющих найти равновесные решения для потребителей и фирм, можно вывести ряд соотношений, утверждающих, что полученное равновесное решение является оптимальным по Парето.

— Условия эффективности по Парето для потребителей:

MRS121 = MRS122 = vv1 .

2

— Условия эффективности по Парето для фирм:

MRTS1LK = MRTSLK2 = wwL ,

K

MRT12 = v1 .

v2

—Общее условие оптимальности по Парето для потребителей

ифирм, действующих по единым ценам:

MRT12 = MRS121 = MRS122 = vv1 .

2

(Данные соотношения выведите самостоятельно из полученных условий Куна — Таккера для функции Лагранжа.)

Вторая теорема благосостояния. Если есть полный набор рынков и полная информация, то любое оптимальное по Парето распределение может быть реализовано как конкурентное для всех участников экономики при соответствующих нормативах, налогах и трансфертах (например, при некотором социальном оптимуме S). Иными словами, с каждым оптимумом по Парето связана система цен и система собственности на ресурсы, которая приводит к конкурентному равновесию для всех участников экономики.

91

3. Модели общего экономического равновесия

При найденных равновесных ценах (оптимальных оценках) продукции v = (vi) и ресурсов w = (wj), векторе спроса на продукцию отраслей Y = (Yi), векторах затрат ресурсов K = (Кi) и L = (Li), соот-

ветствующих некоторому оптимуму по Парето, получим следующие выводы.

1. Прибыль каждой фирмы (отрасли) будет максимальна:

П1 = v1F1 (L1, K1)(1 – n1), П2 = v2F2 (L2, K2)(1 – n2),

где ni — степень однородности производственной функции, [niviFi(Li,Ki)] — издержки производства продукции i в точке оптимума (cм. раздел 2.1);

П1 + П2 = П,

где П — общая нераспределенная прибыль в экономике, которая распределяетсяввидедохода(дивидендовипр.) междугруппамипотребителей. Выплаты по процентам и нераспределенная прибыль могут рассматриваться как доход (операционная прибыль — П0), заработанный собственниками использованного капитала (см. раздел 2.3).

2. Каждый потребитель будет иметь равновесие доходов и расходов, при максимальном уровне его полезности (помним, что все ресурсы принадлежат домашним хозяйствам) доходы становятся эндогенной (расчетной) величиной.

Если предположить, что вся «прочая» конечная продукция Q потребляется государством, то население оплачивает эти расходы бюджета из полученных доходов. Будем рассматривать как частный случайтолькопропорциональныеподоходныеналогисединойставкойτ. Тогда расходы потребителей равны доходам после выплаты налога:

v1 y11 + v2 y21 = [wL(L11+ L21) + γ1П0](1 – τ),

v2 y12 + v2 y22 = [wL(L12 + L22) + γ2П0](1 – τ),

где γh — доля h-й группы потребителей в совокупной прибыли.

92

3.1. Экономика благосостояния

3. Для государства, которое с помощью налогов выполняет две функции: социальной справедливости, через задание коэффициентов βh или уровней полезности Ch, и финансирования бюджетных расходов, также выполняется равновесие доходов и расходов бюджета:

v1Q1 + v2Q2 = τ (wL L + wk K).

4. В целом для экономики выполняется условие макроэкономического равновесия: совокупные расходы населения и государства равны добавленной стоимости фирм (оплате труда и доходу на капитал):

v1 (Y1+ Q1) + v2 (Y2 + Q2) = wL L + wk K.

Аналогично мы можем рассмотреть две теоремы благосостояния для модели общего равновесия с локальными критериями оптимальности для каждого участника экономики и общесистемными ограничениями. Кроме того, можно показать, при каких условиях решения задач совпадут.

Литература: [1, 3, 7, 9, 13].

Задания

62. Пусть в экономике обращаются всего два товара и имеется N идентичных потребителей с целевыми функциями

и доходами

Ri = i, i = 1, …, N.

Производственный сектор экономики представлен фирмами двух типов, производящими первый и второй продукт соответственно. Функции издержек фирм, производящих первый товар, имеют вид:

93

3. Модели общего экономического равновесия

C1k(y1k) = (y1k )2 + 1, k = 1, …, K.

Функции издержек фирм второго типа имеют вид:

C2j(y2j) = 0,5(y2j)2, j = 1, …, G.

Найти равновесные цены товаров, спрос каждого потребителя и прибыли фирм. Какие ограничения накладываются на величины K и G — количеств фирм на рынке?

63. Оптимальность по Парето связана с конкурентной экономикой. Одной из основных причин «провала конкуренции» является воздействие внешних факторов, экстерналий, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Примером такого воздействие можетбытьзависимостьвыпускапродукцииоднойотраслиотзагрязнений, производимых другой отраслью при производстве своей продукции. В этом случае совершенная конкуренция не ведет к экономическому оптимуму — оптимуму по Парето, а цены не несут нужной информации об экономике. Потери будут нести все участники экономики, кроме того, кто производит отрицательные внешние эффекты.

Государство при регулировании таких «провалов конкуренции» пытается возложить издержки на ту деятельность, которая вызывает отрицательные эффекты, либо поощрять тех, кто производит положительные внешние эффекты, с помощью налогов и субсидий.

Рассмотрим проблему отрицательных внешних воздействий при следующих условиях: потребительский набор составляют два продукта y1 и y2, выпуск которых описывается однофакторными производственными функциями:

F1(L1) = 1,5L1, F2(L2) = 2L2 – 0,4F1(L1),

где L1, L2 — ресурсы труда предприятий; 0,4F1(L1) — эффект отрицательного внешнего воздействия первого предприятия.

Весь произведенный продукт используется на потребление. Целевая функция полезности потребителя имеет вид:

94

3.1. Экономика благосостояния

U(Y) = y10,5y20,5,

гделяетy140, y2ед—. спрос потребителей. Запас труда у потребителей состав-

а) Найдите равновесные цены продукции и ресурсов, объемыпроизводства и потребления для модели экономического равновесия без внешних эффектов:

F2(L2) = 2L2.

Продемонстрируйте две теоремы благосостояния.

б) Найдите решение модели с учетом внешнего воздействия, покажите, что оно не ведет к экономическому оптимуму.

в) Какова будет величина налога на загрязнение для первой фирмы, которую должно установить государство, чтобы вернуться к экономическому оптимуму?

64. Экономика состоит из двух групп потребителей, максимизирующих свои функции полезности:

U1(y1) = y11y2, U2(y2) = 2 y12;

и двух продуктов, выпуск которых задан однофакторными производственными функциями:

F1(L1) = L1 и F2(L2) = (0,5L2 + 1).

Ресурс (труд) ограничен количеством L = 13 ед., заданы экспертные оценки социальной значимости групп потребителей в критерии Неймана — Моргенштерна: β1 = 0,4, β2 = 0,6.

а) Запишите модель общего равновесия для данного случая. Найдите решение задачи: объемы потребления групп, производства, распределения ресурсов между продуктами, равновесные цены (оценки) продукции и ресурсов.

95

3. Модели общего экономического равновесия

б) ЯвляетсялиполученноерешениеоптимальнымпоПарето(первая теорема благосостояния)? Обеспечивают ли полученные равновесные цены конкурентное равновесие в экономике для каждого хозяйственного субъекта (вторая теорема благосостояния)?

3.2.Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева) как частный случай модели общего экономического равновесия

При всей убедительности результатов, полученных на основе рассмотренных выше моделей общего экономического равновесия, все же остаются определенные нерешенные проблемы, касающиеся, в частности, того, что уровень конечного спроса зависит не только от первичных факторов, таких как труд и капитал, но и от промежуточного продукта: поставок сырья и материалов, необходимых для производства. Модель Леонтьева (модель межотраслевого баланса) оперирует понятиями валового общественного продукта и конечного продукта: использованного и созданного. Она позволяет объяснить, каким способом производственная система на деле создает продукцию конечного спроса для потребления, инвестиций, экспорта, как появляется в экономике понятие мультипликативного эффекта в этом случае, так же, как и при расчете равновесных цен.

Другаяважнаяособенностьмоделимежотраслевогобалансасостоит в том, что она образует собой переход от моделей статического равновесия(рассматриваемыхвпервойчастикурса) кмоделямдинамического равновесия (рассматриваются во второй части курса). К тому же исторически она была первой моделью, в которой в достаточно строгой форме было выведено понятие сбалансированного роста, затем занявшее центральное место в теориях экономического развития.

Еще одной, наиболее важной особенностью модели Леонтьева является то, что она относительно проста, линейна, хорошо отражает реальную действительность, рассматривает экономику в отраслевом разрезе (модель достаточно агрегирована), что позволяет ей служить

96

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

полезным рабочим инструментом на практике. Благодаря модели межотраслевого баланса была создана таблица межотраслевых связей, которая, как и сводная экономическая таблица, используется для описаниянациональнойэкономикивцелом(рассматриваетсявкурсе «Национальное счетоводство»).

Сводная таблица межотраслевого баланса основана на принципах деления валового общественного продукта (Х =(xi)) по материально-

вещественному и стоимостному составу отраслей и состоит из четырех разделов — квадрантов. Для описания квадрантов будем использовать следующие обозначения:

xi — объем использованной валовой продукции i-й отрасли, где i — строка таблицы;

xj — объем произведенной валовой продукции отрасли j, где j — столбец таблицы;

xij — затраты валовой продукции отрасли i на производство продукции отрасли j, i, j = 1,…, n ;

уi — объем потребленной конечной продукции i-й отрасли;

Zj — объем созданной конечной продукции по стоимости (добавленная стоимость) j-й отрасли.

I квадрант баланса содержит показатели xij — показатели межотраслевых затрат валовой продукции отрасли i на производство валовой продукции отрасли j, i, j = 1, …, n. Этот квадрант играет главную связующую роль в системе межотраслевого баланса, его размерность (n × n). Показатели I квадранта могут задаваться как в натуральном, так и в стоимостном выражении;

IIквадрант — материально-вещественный состав использован-

ной конечной продукции отраслей, Y = (yi), идущей на потребление, накопление, экспорт. Показатели II квадранта могут задаваться как

внатуральном, так и в стоимостном выражении;

IIIквадрант — стоимостной состав созданной конечной продук-

ции отраслей, Z = (Zj), включающий фонд оплаты труда, чистый доход (операционную прибыль), импорт. Показатели III квадранта задаются только в стоимостном выражении;

IV квадрант характеризует перераспределение созданной конечной продукции Z = (Zj) через кредитно-финансовую систему.

97

3. Модели общего экономического равновесия

Показателизадаютсятольковстоимостномвыражении. Информация IV квадранта обычно используется при построении материальнофинансовых балансов.

В общей таблице межотраслевого баланса ортогонально совме-

щаются два частичных баланса: материальный межотраслевой баланс(квадрантыI иII) имежотраслевойбалансзатрат(квадранты

I и III), то есть присутствует принцип двойственности, характерный для задач линейного программирования.

Материальныймежотраслевойбалансможетзадаватьсякаквна-

туральных показателях

xi = ∑xij + yi , i = 1, …, n,

j

так и в стоимостном выражении

pi xi = ∑pi xij + pi yi ,i =1, ..., n.

j

Эти соотношения означают, что продукт каждый отрасли должен быть произведен в количестве, достаточном для обеспечения производственного и конечного спроса.

В целом по экономике выполняется равенство

∑pi xi = ∑∑pi xij + ∑pi yi , i, j =1, ..., n.

Межотраслевой баланс затрат отражает важнейшие стоимост-

ные пропорции каждой отрасли и экономики в целом. По каждой отрасли объем произведенной валовой продукции по стоимости равен суммарным затратам (суммирование по столбцу):

p j xj = ∑pi xij + Z j , j =1, ..., n,

98

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

Итоги одноименных строк и столбцов (по одним и тем же отраслям) в модели межотраслевого баланса в стоимостном выражении равны по определению: модель экономического равновесия

pi xi = pj xj, для всех i = j,

отсюда для экономики в целом

∑pi xi = ∑p j xj , i, j = 1, ..., n,

Данное соотношение представляет собой основное тождество системынациональныхсчетов: использованныйконечныйпродуктэкономикиравенсозданномуконечномупродукту(добавленнойстоимости). Однакоэтонеозначаетравенстваиспользованногоисозданного конечного продукта по каждой отрасли в отдельности.

Соотношения I и II квадрантов межотраслевого баланса (баланс материально-вещественных связей),

xi = ∑xij + yi , i = 1,…, n,

j

характеризуют зависимости между (2n + n2) величинами xi , yi , xij при наличии n уравнений. Для того чтобы такая система имела решение, необходимо сократить количество неизвестных величин, в частности за счет представления функции производственных затрат как функции от объема производства: xij = φij (xj) (см. раздел 2.1).

Леонтьев при построении модели межотраслевого баланса ис-

пользовал ряд предположений.

Между затратами и объемами производства существует пропорциональная зависимость (линейная однородная функция затрат):

xij = аij xj, тогда

99

3. Модели общего экономического равновесия

удельные затраты i-го валового продукта на производство единицы j-го валового продукта. Коэффициенты aij называют коэффициента-

ми материалоемкости, или коэффициентами прямых материальных затрат.

Производство продукции осуществляется только одним способом, а каждый способ выпускает один вид продукции — принцип «чистой» отрасли.

В этом случае число уравнений (n) и число переменных (xi) совпадает при заданном спросе на продукцию отраслей yi, и существование решения в модели может быть строго доказано.

Под «чистой» отраслью (в отличие от обычного понимания отрасли как совокупности родственных предприятий, выпускающих несколько видов продукции) понимается производство определенного вида продукции или группы однородных видов продукции, которая производитсяединственнымусредненнымпроизводственнымспособом, учитывающим технологии производства этой продукции в различных хозяйственных отраслях [5, гл.7].

При производстве продукции используется хотя бы один первичный ресурс (например, труд). Распространив предположение о пропорциональности затрат и объемов производства на множество ограниченных ресурсов, получим дополнительные ограничения модели:

∑fkj xj ≤ Rk , k = 1, …, m,

j

где Rk — общие запасы ресурса k, fkj — технологические коэффициенты, характеризующие удельные затраты k-го ресурса при производстве единицы j-го продукта.

Частным видом ресурсов являются наличные производственные мощности по каждому виду продукции Nj, характеризующие максимально возможные выпуски продукции в единицу времени (например, год):

100