Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

1.1. Моделирование сферы потребления...

U ( y) → max

∑pi yi ≤ R,

i

yi ≥ 0.

где р = (рi ) — вектор-строка цен, R — доход потребителя. Необходимыми и достаточными условиями существования реше-

ния задачи выпуклого программирования являются условия Куна — Таккера для функции Лагранжа данной модели [7, гл. 4, 7]:

F(y, λ) = U(y) + λ (R – ∑ pi yi ),

yi ≥ 0; λ > 0;

получаем (n + 1) условие равновесия для модели потребителя:

MUi = λpi, ∑pi yi = R,

i

при условии yi, λ > 0.

Из условий равновесия следует:

1) предельная норма замещения двух товаров в точке оптимума определяется через соотношение их цен:

11

1.Модели частичного равновесия...

2)определяются уi(р, R) — классические (маршаллианские) функции спроса на товары и λ(р, R) — функция предельной полезности дохода (денег).

Из аксиоматики ЦФП следует, что любая монотонно возрастающая функция Ψ(U(y)), Ψ′ > 0, позволяет получать такие же функции

спроса уi(р, R) и MRSkℓ — норму замещения двух товаров, что и исходная функция U(y).

Важнымсвойствомфункцийспросаявляетсяиходнородностьнулевой степени относительно цен и дохода: если цены и доход возрастают в одно и то же число раз, спрос не меняется.

yi (αp, αR) = αⁿ yi(p, R) = уi(р, R),

где n = 0 — показатель степени однородности функции спроса. Функция предельной полезности денег λ(р, R) однородна степени

(–1): если цены и доход возрастают в одно и то же число раз, полезность денежной единицы падает.

3) определяется оптимальный уровень функции полезности по-

требителя: U(y(p, R)) = V(p, R) = С, где V(p, R) — косвенная функ-

ция полезности, C — константа, определяемая через заданные цены и доход. Косвенная функция полезности однородна нулевой степени: возрастающая функция относительно дохода (R) и убывающая относительно цен (pi). Для нее справедливо соотношение, называемое

тождеством Роя:

Позаданнойкосвеннойфункцииполезности, используятождество Роя, можно восстановить вид функций спроса на товары, а также вид исходной ЦФП, используя условия равновесия модели потребителя. (Тождество Роя докажем позднее).

Литература: [3, 7, 9, 13].

12

1.1. Моделирование сферы потребления...

Задания

1. Для каждой из нижеприведенных функций полезности:

–U1( y1, y2 ) = y1α y2β;

–U2 (у1, у2) = min {aу1, bу2};

–U3 (у1, у2) = (у1 – a)α(у2 – b)β;

–U4 (у1, у2) = aу1 + bу2 + c;

–U5 (у1, у2) = aу1α + bу2β ;

определите:

а) при каких значениях параметров функции удовлетворяют аксиомам рационального выбора;

б) функции спроса и предельной полезности денег; в) степень однородности полученных функций спроса и предель-

ной полезности денег.

г) Покажите, что любое строго возрастающее преобразование функции полезности не меняет вид функции спроса и предельную норму замещения благ. Что можно сказать про значение и степень однородности функции предельной полезности дохода λ(p, R) для задачи с ЦФП Ψ(U(y))?

д) Для первой степенной функции полезности найдите соответствующую ей косвенную функцию полезности и продемонстрируйте тождество Роя.

2. Длядвухгрупппотребителейзаданаматрицапредельныхполезностей. Известно, что каждая группа обладает 10 единицами дохода, целевые функции полезности у обеих групп линейны, цены заданы:

Запишите модели поведения потребителей, дайте их характеристику. Определите потребительские наборы и предельную полезность дохода для каждой группы потребителей.

13

1. Модели частичного равновесия...

требительской корзины индивидуум имеет значение функции полезности равное 9 и равные доли своего дохода направляет на потребление каждого из товаров при цене p1 = 1 ед. Определите предельную полезность денег для данного потребителя и его доход. Каков вид функций спроса на данные товары? Не делая повторных расчетов, оцените, как изменится значение функции полезности потребителя, если его доход увеличится на 10 %.

4. Функция полезности потребителя имеет вид:

U(у1, у2) = у1 (у2 + у1 + 4) + у2 (у2 + у1 + 4) + 4.

Цены и доход потребителя равны 1, 2 и 3 ед. соответственно. Запишите модель поведения данного потребителя, дайте характеристику функции полезности. Определите спрос потребителя и предельную полезность денег.

5. Пусть потребитель имеет функцию полезности вида

U(у1, у2) = у1 + φ(у2).

Это так называемая квазилинейная функция полезности, линейная по одному из товаров. В случае более чем двух товаров квазилинейная функция полезности имеет вид:

где уk = (у2, у3, ..., уn ).

U(у) = у1 + φ(уk ),

а) При каких условиях на функцию φ(у2) в двухтоварной модели поведения потребителя существует внутреннее решение: у1, у2 > 0; граничное решение: либо у1 = 0, у2 > 0, либо у1 > 0, у2 = 0? Покажите, что норма замещения товаров не зависит от потребления первого блага, спрос на второй товар не зависит от дохода, а предельная полезность дохода есть функция только р1.

14

1.1. Моделирование сферы потребления...

б) Для моделей поведения потребителя с функциями полезности U(y) = y1 + lny2 и U(y) = ay12 + by2 ответьте на вопросы пункта а.

6. Для функции полезности потребителя, включающей два товара, задано соотношение предельных полезностей благ

Определите вид ЦФП U(y) и функций спроса yi(p, R) в модели поведения потребителя. Покажите, каков экономический смысл коэффициентов αi вполученной функции полезности.

7. Пусть функция спроса на первый товар в модели поведения по-

требителя с двумя товарами имеет вид: Y1 = ap2 . bp1

Найдите вид квазилинейной функции полезности U(y) и функцию спроса на второй товар, используя условия равновесия модели поведения потребителя. Определите, при какой цене на второй товар потребитель тратит на первый товар наибольшую сумму денег.

8. Известна функция предельной полезности дохода в модели по-

ведения потребителя с двумя товарами: λ( p, R) = R −ap1 . 2 p1 p2

Определите вид функции полезности U(y) и функций спроса на товары yi (p, R).

9. Пусть косвенная функция полезности потребителя имеет вид:

3R V(p, R) = p1 +3p2 .

Определите спрос потребителя и предельную полезность денег. Каков вид прямой функции полезности, соответствующий данной функции?

15

1. Модели частичного равновесия...

1.2. Сравнительная статика потребления

Метод сравнительной статики заключается в изучении чувствительности функций спроса на товары уi(p, R) к изменению аргументов функции: цен и дохода. Эта чувствительность измеряется частными производными функции спроса. По знаку воздействия изменения дохода на изменения спроса товары делятся на качествен-

товары второй необходимости (Еi ≈ 1) и товары роскоши (Еi > 1).

Обычно при росте цены i-го товара спрос на него снижается:

∂yi < 0, чтоозначаетвыполнениезаконаспроса. Нозаконспросамо-

∂pi

жет нарушаться в некоторых случаях, т. е. может выполняться

∂yi > 0. ∂pi

Такая ситуация возникает только для малоценных товаров. Этот эффект получил в экономической теории название «эффекта Гиффена».

По воздействию j-й цены на спрос i-го товара товары делятся на

∂yi для

∂p j

наблюдаемого (маршаллианского) спроса не всегда возможно определить, являются товары заменяемыми или дополняемыми, поскольку это воздействие складывается из двух эффектов: эффекта замены и эффекта дохода, которые могут иметь разные знаки (подробнее эти эффекты будем рассматривать ниже). По величине коэффициентов

16

1.2. Сравнительная статика потребления

эластичностиспросаотценЕii (коэффициентыпрямойэластичности) и Еij (коэффициенты перекрестной эластичности) можно оценить силу воздействия изменения цены на спрос.

Коэффициенты эластичности спроса от дохода и цен связаны между собой и не могут изменяться произвольно, что определяется свойствами однородности функций спроса и условиями равновесия доходов и расходов потребителя.

1. Из уравнения Эйлера для однородных функций f(x) следует:

где n — степень однородности функции.

Тогда для функций спроса уi(р, R) в случае двух товаров можно записать:

или для коэффициентов эластичности спроса от дохода и цен:

E1 = – (E11 + E12);

E2 = – (E21 + E22).

2. Вернемся к условиям равновесия доходов и расходов потребителя:

p1y1 + p2y2 = R.

Продифференцируем баланс доходов и расходов по доходу:

17

1. Модели частичного равновесия...

Используя понятие доли расходов на i-й товар

αi = pRi yi ,

перепишем данное соотношение через коэффициенты эластичности спроса от дохода:

α1Е1 + α2Е2 = 1.

Эти соотношения получили название условия агрегации Энгеля.

3. Дифференцируябалансдоходовирасходовпотребителяповсем ценам, получаем систему из n (в данном случае n = 2) уравнений:

y1 + p1 ∂y1 + p2 ∂y2 = 0,

∂p1 ∂p1

p1 ∂y1 + p2 ∂y2 + y2 = 0.

∂p2 ∂p2

Снова используя долю расходов потребителя на i-й товар, перепишем данные соотношения через коэффициенты прямых (Eii) и перекрестных (Eij) эластичностей спроса от цен:

α1E11 + α2E21 = –α1, α1E12 + α2E22 = –α2.

Эти соотношения получили название условия агрегации Курно, а матрица E = (Eij) — название матрицы коэффициентов эластичности спроса от цен, или матрицы Слуцкого.

Литература: [3, 7, 9, 13].

18

1.2. Сравнительная статика потребления

Задания

10.Верно ли, что если в двухтоварной модели поведения потребителя один из товаров является товаром низшего качества, то другой обязательно будет товаром роскоши?

11.Покажите, что в экономике не может быть ситуации, когда все товары являются товарами первой необходимости или товарами роскоши.

12.В модели поведения потребителя предпочтения описываются

квазилинейной ЦФП: U(y) = y1 + a lny2. Известно, что потребитель тратит напервый товар 2/3 от своего дохода. Определитевсе коэффициенты эластичности спроса от дохода и цен, дайте характеристику товаров.

13.В модели поведения потребителя с ЦФП U(Y) = y1 ( y2 – 2) известен коэффициент эластичности спроса от дохода Е1 = 2. Определите значения всех остальных коэффициентов эластичности спроса от дохода и цен. Можно ли утверждать, что второй товар является товаром первой необходимости? Какая доля дохода потребителя приходится на данный товар?

14.Потребитель, имея сумму денег R, желает достаточно комфортно проехать на поезде расстояние S, имея возможность комбинировать проезд в купе и плацкартном вагоне. Цена билета в купе равна

р1, в плацкартном вагоне — р2. Запишите модель поведения потребителя, определите расстояние (спрос на товары), которое он проедет

вкупе и плацкартном вагоне, дайте характеристику товарам, определив все коэффициенты эластичности спроса от дохода и цен. Может ли один из товаров быть товаром Гиффена? Продемонстрируйте для полученных функций спроса уравнения Эйлера, Энгеля и Курно.

19

1.Модели частичного равновесия...

1.3.Взаимные задачи в теории потребления, функции спроса Хикса и уравнение Слуцкого

Воздействие изменения дохода на изменение спроса вполне однозначно: рост дохода увеличивает спрос на товары (за исключением малоценных товаров). Однако изменение одной из цен воздействует на спрос любого товара не столь однозначно: изменяются пропорции потребления и общая покупательная способность. Еще в начале XX века российский экономист Е. Слуцкий вывел уравнение, в котором показал, что воздействие цены складывается из двух эффектов: эффекта замещения (компенсированного изменения спроса, при котором доход компенсируется таким образом, чтобы полезность оставалась неизменной) и эффекта дохода.

Для того чтобы понять, как оцениваются эти эффекты, воспользуемся подходом Хикса [15; 3, гл. 8; 1, гл. 2] и построим к исходной модели потребителя (задача А) взаимную задачу (задача В), определенную на том же множестве переменных, где в качестве критерия оптимальности используется минимизация расходов потребителя при заданном уровне его полезности:

где C — некоторый заданный уровень полезности, yi ( p,C) — функции спроса Хикса (компенсированные функции спроса в определении Слуцкого), которые являются вспомогательным аппаратом в теории потребления.

Функция расходов e(p, C) может быть определена как минимальный уровень единовременного дохода R, необходимый для достижения определенного уровня полезности С, при заданном векторе цен

р = (pi).

20