Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

xj ≤ Nj , j = 1, …, n.

Исходя из этих предположений, производственная функция, задающая технологию выпуска j-го продукта в модели Леонтьева, будет записана следующим образом:

для всех j = 1, …, n; все переменные неотрицательны, Rkj — количество ресурса k, используемое при производстве продукта j, k = 1, …, m. Эта функция получила название производственной функции Леонтьева, или функции с дополняемыми ресурсами.

В векторно-матричной форме модель межотраслевого баланса материально-вещественных связей можно записать в следующем виде:

X = AX + Y,

fk X ≤ Rk ,

X > 0, Y ≥ 0,

гдеХ= (хi) — вектор-столбецваловыхвыпусковпродукции, Y = (yi) — вектор-столбецконечногоспроса, А= (aij) — матрицакоэффициентов прямыхматериальныхзатрат, размерности(n × n), fk = ( fkj ) — векторстрока удельных (прямых) затрат ресурса k на единицу производства валового продукта отрасли j.

Или

(E – A)X = Y,

fk X ≤ Rk ,

X > 0, Y ≥ 0,

где (Е) — единичная матрица (n × n). Матрица (Е – А) называется матрицей затрат — выпуска (по терминологии В. Леонтьева). Если (Е – А) является невырожденной матрицей, то

101

3. Модели общего экономического равновесия

X = (E – A)–1Y,

fk (E – A)–1Y ≤ Rk ,

или

Fk Y ≤ Rk, k = 1, …, m,

где матрица B = (E – A)–1 — обратная матрица или матричный мультипликатор, Fk = (Fkj) = fk(E – A)–1 — вектор-строка коэффициентов полных затрат k-го ресурса на единицу выпуска конечной продукции j-го вида; k = 1, …, m, j = 1, …, n.

Ограничения на имеющиеся производственные мощности имеют вид

xj ≤ Nj ,

или, относительно конечного продукта,

(E – A)–1 Y ≤ N.

Каждый элемент матричного мультипликатора В = (bij) характеризует потребность экономики в продукции отрасли i для обеспечения единицы конечного спроса в продукции отрасли j. Коэффициенты bij нередко в несколько раз превышают значение коэффициентов прямых материальных затрат aij.

Как уже отмечалось, модели межотраслевых материальновещественныхсвязейэкономикимогутстроитьсякаквстоимостном, так и в натуральном выражении.

Модельмежотраслевыхзависимостейценможетбытьпостроена на основе межотраслевого баланса затрат.

Если представим Zj = zj xj, где zj — добавленная стоимость на единицу валовой продукции отрасли j, то модель будет записана так:

p j xj = ∑pi aij xj + z j xj , i, j =1, ..., n,

i

102

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

или

p j = ∑pi aij + z j , i, j =1, ..., n.

i

В векторно-матричной форме:

p = pA + z, p(E – A) = z, p = z(E – A)–1,

где p = (pj ) — вектор-строка цен продукции, z = (zj) — вектор-строка удельных добавленных стоимостей отраслей. Видим, что любое изменение удельной добавленной стоимости хотя бы в одной из отраслей вызывает изменение всех цен в экономике, причем с мультипликативным эффектом.

В том случае, когда межотраслевой баланс задан в стоимостном выражении,

xj = ∑aij xj + z j xj , i, j =1, ..., n.

i

где xj — валовая продукция отрасли j в стоимостном выражении, вектор цен (р) будет представлять собой единичную вектор-строку р = е = (1, …, 1), или индексы цен. Тогда для отрасли j соотношение будет записано так:

n

1 = ∑aij + z j , j = 1, …, n,

i=1

или, в векторно-матричной форме,

e = e A + z, e (E – A) = z, e = z (E – A)–1.

103

3. Модели общего экономического равновесия

Модель межотраслевых зависимостей цен является двойственной по отношению к модели материально-вещественных связей, обязательно выполняется равенство, как было показано выше,

∑pi yi = ∑z j xj .

что эквивалентно равенству функционалов прямой и двойственной задач (первая теорема двойственности).

3.2.1. Свойства матрицы A межотраслевого баланса

Матрица А — матрица коэффициентов материалоемкости — относится к хорошо изученному в математике классу неотрицательных матриц. Коэффициенты матрицы не могут принимать произвольные положительныезначения, длянихзаданыопределенныесоотношения, обеспечивающиевозможностьполученияконечнойпродукции(вектор Y) при соответствующих пропорциях производства (вектор Х).

Существование решения в модели межотраслевого баланса опре-

деляется условиями продуктивности матрицы А = (aij).

Необходимые условия продуктивности:

аii < 1, aik aki < 1 для всех i, k = 1, …, n,

все диагональные элементы матрицы А должны быть меньше единицы, так же как произведение симметричных относительно главной диагонали элементов. Эти условия не зависят от единиц измерения продукции. Очевидно, что если aii > 1, то xii > xi и производство лиша-

xii ).

xi

Достаточные условия продуктивности: для продуктивности матрицы А модели межотраслевого баланса (в основном для матриц в ценностном выражении) достаточно выполнение следующих соотношений:

104

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

∑aij <1, i, j = 1, …, n.

i

Этоозначает, чтовсеzj > 0, т. е. отраслинеубыточныиимеютвозможность покрывать свои расходы на заработную плату и капитал.

Для матриц в натуральном выражении достаточное условие продуктивности часто нарушается. Но если выполняются необходимые условия, можно попытаться подобрать такое соотношение цен, при котором для матрицы A′ = (aij'), матрицы А в новых ценах, будет выполняться и достаточное условие.

∑aij′ <1. i

В матричной форме A′ = PAP–1, где P и P–1 — диагональные матрицы цен. Матрицы A и А′ называются подобными, имеют равные главные миноры и собственные значения.

Из линейной алгебры известно, что норма матрицы определяется как A = max ∑aij . Если выполняется достаточное условие продук-

j

тивности, то A <1, и lim Am = 0.В этом случае значение матрично-

m→∞

гомультипликатораВ= (Е – А)–1 = (bij) можетбытьаппроксимировано через степенной ряд:

B = (bij) = (Е – А)–1 = Е + А + А2 + А3 + … Am,

гдеА — матрицапрямыхматериальныхзатрат, Am — матрицакосвенных затрат m-го предыдущего цикла производства, Е — диагональная матрица единичных выпусков конечной продукции.

Отсюда вытекают важные для экономического анализа следствия.

1. Всекоэффициентыматричногомультипликатораbij ≥0, адиагональные коэффициенты bii > 1.

105

3. Модели общего экономического равновесия

Матрицу (В) можно представить как В = E + C, где С — матрица полных затрат, включающая прямые затраты A и косвенные затраты всех циклов Am, Е — диагональная матрица единичных выпусков конечной продукции.

2.Все главные миноры матрицы (Е – А), включая det (E – A), по-

ложительны и меньше единицы.

3.Все собственные значения λj матрицы А по модулю меньше единицы, наибольшее собственное число λ* положительно и меньше единицы, а соответствующий ему собственный вектор имеет положительные компоненты (теорема Фробениуса — Перрона).

Величина, обратная корню Фробениуса — Перрона, как следует из анализа моделей экономической динамики, определяет максимально возможный темп роста экономики.

Эти следствия (1–3) обеспечивают необходимые и достаточные условия продуктивности матрицы А и тем самым существование решения в моделях материально-вещественных связей

(E – A)X = Y, fk X ≤ Rk,

и межотраслевых зависимостей цен

p(E – A) = z.

Используяразложениематрицы(Е – А)–1 вряд, можнопредставить (в матрично-векторной форме) сущность коэффициентов полных затрат ресурса k:

Fk = fk (E – A)–1 = fk (E + A + A2 + … + Am),

или

Fk = fk + fk C,

которые включают прямые (наблюдаемые) затраты ресурса, а также косвенные затраты ресурса на всех предыдущих циклах производства.

106

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

При этом fk X = Fk Y — сумма прямых затрат ресурса k на производство валового общественного продукта равна сумме полных затрат ресурса k на производство конечного продукта в экономике.

Модель межотраслевых зависимостей цен является инструмен-

том экономической политики в области ценообразования. С ее помощью можно изучать влияние изменения цен в одних отраслях на уровень цен и рентабельности в других, влияние изменения цен факторов или ставок косвенных налогов, производительности факторов на всю систему цен в экономике. Для этого представим созданный конечный продукт (добавленную стоимость) отрасли в виде ее составляющих: фонда оплаты труда (wL) и дохода на капитал (операционной прибыли rK). В зависимости от способа исчисления Zj, сюда могут включаться и косвенные налоги.

Zj = wLj + rKj ,

или

zj Xj = wtj Xj + rfj Xj ,

где tj = Lj / Xj — трудоемкость единицы валовой продукции отрасли j; fj = Kj / Xj — капиталоемкость единицы валовой продукции отрасли j, w, r — средневзвешенные цены ресурсов.

Тогда удельная добавленная стоимость по отрасли j будет равна

zj = wtj + rfj , j = 1,…, n.

Модель межотраслевых зависимостей цен, например для двух отраслей и двух ресурсов, будет записана так:

(p1, p2) = (z1, z2)(E – A)–1 = (wt1 + rf1; wt2 + rf2) (E – A)–1, (p1, p2) = (wT1 + r F1; wT2 + r F2),

где (T1, T2) = (t1, t2) (E – A)–1; (F1, F2) = (f1, f2) (E – A)–1 — полные затра-

ты ресурсов на единицу конечной продукции.

107

3. Модели общего экономического равновесия

Таким образом, равновесные цены продукции измеряют все издержки ресурсов на ее производство, прямые и косвенные, и зависят как от цен факторов, так и от эффективности их использования.

В данном случае предполагается, что оба ресурса используются полностью и дополнительная единица каждого ресурса увеличивает выпуск продукции. В общем случае, как было показано в разделе 2, какой-тоизресурсовможетбытьвизбыткеиегооптимальнаяоценка (цена ресурса) будет равна нулю.

Литература: [5, 6, 7].

Задания

65. Таблица межотраслевого баланса (два сектора и один ресурс) представлена в ед. натуральных показателей.

a) ПостройтематрицукоэффициентовпрямыхзатратА, покажите, является ли данная система продуктивной. Каково значение коэффициентов матричного мультипликатора?

б) Определите равновесные цены продукции отраслей. Покажите, чтоприэтихценахиспользованныйваловойпродукткаждойотрасли равенсозданномуваловомупродукту, асуммарнаястоимостьиспользованногоконечногопродуктаравнасуммарнойстоимостисозданного, т. е. выполняютсяусловияравновесиявэкономике. Постройтематрицу А′ = PAP–1 для баланса в стоимостном выражении. Покажите, во что обходится экономике в этом случае единица конечного спроса каждой отрасли.

в) Валовой продукт второй отрасли является более трудоемким, чем первый. Что можно сказать про соотношение трудоемкости ко-

108

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

нечной продукции отраслей? Какова доля косвенных затрат труда в полных трудоемкостях отраслей? Каковы ставки оплаты труда по отраслям?

г) Предположим, что нам неизвестны величины конечного спроса и добавленной стоимости по отраслям, но задана структура конечного спроса: α1 = 0,4 и α2 = 0,6; общее количество ресурса по-прежнему составляет 62 ед., матрица А и вектор трудоемкостей продукции соответствуютисходнойтаблице. Позаданнойинформацииопределитеобъемы производства и конечного потребления, распределение ресурсов по отраслям, равновесные цены продукции и их соотношение. Сравните соотношениеполученныхравновесныхценссоотношениемценпунктаб.

66. а) Покажите, какие из нижеприведенных матриц А модели межотраслевого баланса (МОБ) удовлетворяют условиям продуктивности экономики:

б) Покажите, что если для продуктивной матрицы не выполняется достаточное условие продуктивности, то при определенных условиях существует такое соотношение цен на продукцию, при которых все отрасли будут иметь положительную добавленную стоимость zj > 0.

67.Покажите, что для продуктивности матрицы МОБ достаточно, чтобы суммы коэффициентов по столбцам не превышали единицы.

68.Справедливо ли утверждение: если матрица А модели МОБ продуктивна, то суммы коэффициентов по столбцам не превышают единицы?

69.Покажите, что для любой продуктивной матрицы межотраслевого баланса выполняется необходимое условие продуктивности

aii < 1.

109

3.Модели общего экономического равновесия

70.Покажите, что для существования единой нормы добавленной стоимости по отношению к издержкам необходимо, чтобы матрица МОБ была продуктивна. Если эта норма существует, как она связана

смаксимальным собственным числом матрицы МОБ?

71.Покажите, чтомодельЛеонтьевасоднимограниченнымресурсом — трудом — содержит в неявном виде трудовую теорию стоимости в том смысле, что множество цен, пропорциональных полным трудовым затратам, является множеством цен равновесия для всех векторов конечного спроса. Чему равно отношение цен продукции?

72.Покажите, что если матрица межотраслевого баланса неразложима, то рост удельной добавленной стоимости j-й отрасли при неизменной добавленной стоимости остальных отраслей приведет к росту цен всех отраслей, причем рост цены j-й отрасли не может быть меньше, чем рост остальных отраслей.

73.Для продуктивной матрицы А модели межотраслевого балан-

са покажите, что увеличение любого выпуска xi при неизменности остальных показателей вызывает рост конечного потребления i-й отрасли и его падения во всех остальных отраслях.

74.С увеличением или уменьшением доли затрат живого труда в совокупных затратах труда связано использование более эффективных технологий в модели межотраслевого баланса?

75.Для двухсекторного межотраслевого баланса в стоимостном выражении известно, что добавленная стоимость отраслей составляет 40 и 20 % от стоимости валовой продукции, коэффициент ма-

тричного мультипликатора b22 = 2, а det (E – A) = 0,3. Определите все недостающие коэффициенты матриц А и В = (Е – А)–1.

110