Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

3.2. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

Используя свойство межотраслевых моделей

X = (E – A)–1(α Z + Q + Ex – Im),

модель можно записать следующим образом:

z→ max,

∑Fkr Z + ∑Fkr (Exr − Imr ) ≤ ∑Rkr ,

где Fkr — средневзвешенные полные затраты k-го ресурса региона r, идущие на обеспечение единицы фонда потребления Zr = γrZ; Fkr — полные затраты k-го ресурса региона r на единицу конечного потребления; Rkr — запасы k-го ресурса, идущие на обеспечение фонда потребления в r-м регионе; Z0r — локальное решение r-го региона, действующего изолированно; Fkr (Exr – Imr) = ∆Rkr — изменение запасов ресурса k региона r за счет внешнеэкономических связей, прямых и косвенных.

В результате решения модели находим подмножество множества эффективныхрешений — ядроэкономическойсистемы, определяемое ограничениями на уровень потребления региона Zr. Ядро, если оно не пусто, состоит только из оптимальных по Парето решений. Выбрав компромиссное значение вектора γr, принадлежащее ядру экономической системы, определяем величины Zr, затем, используя локальные решения подсистем, находим все значения ∆Rkr и определяем величиныэкспортаиимпортапорегионам, ценыобменапродукциейизусловийторговыхбалансов, атакжеобъемыпроизводстваваловойпродукции в них. (Помним, что выбор компромиссного значения γr — это субъективный выбор группы лиц, принимающих решение).

131

3.Модели общего экономического равновесия

Вслучае, когда в качестве ограничений по ресурсам в модели экономического взаимодействия стран используются производственные мощности, будем иметь дело непосредственно с полным и прямым сальдо обмена продукцией. В этом случае может возникнуть ситуация с «парадоксом Леонтьева», характеризующая неэффективность внешних связей.

Литература: [5, 7, 8, 11, 14].

Задания

80. В экономике с двумя продуктами и тремя ресурсами технология «затраты — выпуск» описывается следующими векторами прямых удельных затрат ресурсов fk = (fkj) и матрицей прямых материальных затрат (А):

Задан вектор объемов ресурсов (ед.): R = (10, 12, 16).

а) Найти объемы производства, конечного спроса отраслей, распределение ресурсов между продуктами, цены ресурсов и добавленные стоимости отраслей, если известны цены продукции: р1 = 2 ед., р2 = 1 ед. Покажите, что полученные цены ресурсов — равновесные цены.

б) Если в экономику поступило дополнительно 2 ед. первого ресурса, как это повлияет на решение задачи? Продемонстрируйте выполнение теоремы Рибчинского для данного случая.

в) Если цена второй продукции на внешнем рынке вырастет на 20 %, как изменятся выпуски продукции и цены ресурсов? Как полученный результат согласуется с теоремой Столпера — Самуэльсона? Что произойдет с добавленной стоимостью отраслей?

132

3.2.Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)...

81.Экономика представлена открытой двухсекторной межотраслевоймодельюсоднимограниченнымресурсомR = 84 ед. изаданной

структурой конечного потребления: α1 = α2 = 0,5. Известны прямые затраты ресурса f = (1, 1,2), объемы внешнего обмена по отраслям: Ex1 = 4, Im2 = –5 ед., матрица материалоемкости

Определитьобъемыпроизводстваипотребленияпродукции, цены продукции и ресурса, соотношение прямого и полного сальдо торгового баланса. Сравнить полученное решение с решением для закрытой экономики. Можно ли утверждать, что внешнеэкономические связи данной экономики неэффективны? Наблюдается ли в данном случае парадокс Леонтьева? Как связан эффективный внешнеторговый обмен с полными издержками ресурса на его обеспечение?

82. Рассматривается двухсекторная стоимостная межотраслевая модель с двумя ограниченными ресурсами в количестве R = (25, 70) ед. и удельными полными издержками ресурсов F1 = (0,5; 0,75) по первому ресурсу и F2 = (2; 1,5) по второму.

а) Определите объемы произведенной конечной продукции секторов и цены ресурсов. Какова структура произведенного конечного продукта?

б) Если структура внутреннего потребления равна α1 = 0,6, α2 = 0,4, продукция каких секторов будет экспортироваться и импортироватьсясогласнотеорииХекшера — Олина? Будетлиэффективен внешнеторговый обмен при Nx = 3 ед., с какой из теорем сравнительной статики будет связан полученный результат? Каковы будут максимальные объемы экспорта, импорта и внутреннего потребления?

в) Если цена первого продукта на внешнем рынке вырастет на 20 %, как изменятся цены ресурсов на внутреннем рынке? С какой из теорем сравнительной статики связаны эти изменения?

133

3.Модели общего экономического равновесия

83.Предположим, что мир делится на два региона, каждый из которых решает свою оптимизационную задачу — максимизирует фонд потребления в заданной структуре при ограничениях на производственные мощности двух секторов. С целью повышения уровней своего потребления регионы решили обмениваться продукцией: предлагать на рынке избыточную продукцию и покупать дефицитную. Для каждого из регионов заданы матрицы материалоемкости Аr, векторы структуры потребления αr, «прочей» конечной продукции Q r (ед.) и наличных производственных мощностей секторов N r (ед.) Используя данные задания 77 для первой экономики, дополним их данными по второй экономике:

а) Дайте сравнительную характеристику экономик, используя исходную информацию. Определите объемы производства и потребления в каждом из регионов, действующих изолированно, долю потребления в ВВП. Какие из производственных мощностей сдерживают развитие регионов? Каковы цены продукции в каждом из регионов, их соотношение? Выгоден ли обмен продукцией между регионами?

б) Постройте модель экономического взаимодействия регионов, покажите, что матрица прямых затрат полученной модели Ã является блочно-диагональной матрицей, разделенной на два «национальных блока» по главной диагонали. Постройте свернутую модель взаимодействия экономик, покажите, существует ли ядро полученной экономической системы? В каких границах могут изменяться γr, показатели вклада каждого из регионов в общий фонд потребления — функцию общественной полезности системы? Будет ли равновесное решение принадлежать ядру экономической системы?

в) Определите величины прямого и полного экспорта и импорта каждой из экономик, цены, по которым будет происходить обмен при полном использовании мощностей регионов (равновесное решение). Какизменятся нормыпотребления и объемыпотребления Z r каждого региона в результате перехода к открытой экономике?

134

3.3.Задания для самостоятельной работы...

3.3.Задания для самостоятельной работы по теме «Модели общего экономического равновесия»

84. Качество жизни населения любой страны в значительной степени определяется качеством окружающей природной среды, которое зависит от количества выбросов загрязняющих веществ, образующихся при производстве продукции (загрязнение среды в процессе личного потребления пока оставим за рамками проблемы). Модель межотраслевого баланса является удобным инструментом, позволяющим включать в нее дополнительные зависимости, в том числе связанные с проблемой охраны окружающей среды. Первая такая модель с взаимосвязями экономики и окружающей среды была предложена В. Леонтьевым и Д. Фордом.

Используя [5, с. 203–206], а также «Экономические эссе» В. Леонтьева (М., Изд. полит. лит., 1990, с. 318–339), рассмотрите основные принципы построения межотраслевой модели взаимодействия экономики и окружающей среды и соответствующей ей модели межотраслевых зависимостей цен. Покажите, каковы условия существования решения в данной модели. Покажите, что в модели Леонтьева — Форда цены будут включать экологический налог, который будут платить все участники экономики. Уровень загрязнения окружающей среды будет определяться также ограниченностью факторов производства и внешнеэкономической деятельностью государства в открытой экономике. Модель Леонтьева — Форда можно представить в виде оптимизационной межотраслевой модели с векторным критерием оптимальности, когда государство стремится достичь одновременно двух целей: максимального уровня потребления населения и максимального объема очистки загрязняющих веществ в условиях ограниченных ресурсов. Постройте модель, покажите схемы поиска компромиссного решения в такой модели.

На основе изученной модели при заданных параметрах развития экономики найдите решение для следующих задач.

а) При производстве двух видов продукции образуется загрязнитель, выходкоторогов1-йотраслисоставляет20 % отВПотрасли, во

135

3. Модели общего экономического равновесия

2-й — 15 % от ВП отрасли. Продукция как 1-й, так и 2-й отрасли для очистки не используется, дополнительный выброс загрязнителя при очистке не образуется. Технология производства задана следующей матрицей прямых затрат:

Конечный выпуск составляет 30 и 15 ед. соответственно. При производстве и очистке используются трудовые ресурсы в количестве 15,1 ед. при заданном векторе трудоемкостей: t = (0,04, 0,1, 0,2). Определите объемы производства, очистки и выброса загрязнителя. Какова будет доля выбросов от общего объема загрязнения?

Если известны добавленные стоимости по отраслям (Z1 = 46, Z2 = 55, Z3 = 30), определитеценыпроизводствабезочисткиисочисткой, долю экологического налога в равновесных ценах при очистке.

Покажите, как повлияет на решение задачи переход к открытой экономике: первая отрасль будет экспортировать продукцию в количестве 10 ед., а вторая — импортировать продукцию в количестве 6 ед.

б) Рассматривается двухотраслевая экономика. Есть отрасль, производящая продукцию, и отрасль по очистке производственных выбросов. Заданы: вектор трудоемкостей валовой продукции t = (0,1, 0,3), количество трудовых ресурсов L = 20 и матрица коэффициентов прямых затрат

Определитеобъемыконечногопотребления, производстваиочистки в данной системе, исходя из следующего вида целевой функции потребления:

U ( y) = y1 −4y20,5.

136

3.3. Задания для самостоятельной работы...

Объясните задание критерия такого вида. Покажите, во что обходится экономике дополнительное производство единицы конечной продукции, чему равны цены продукции и очистки.

•коэффициенты затрат труда и капитала в первой отрасли равны

1и 2 соответственно;

•во второй отрасли труд и капитал взаимозаменяемы; производственная функция выпуска продукции второй отрасли однородна первой степени, изокванта ее единичного выпуска имеет вершины

(0,5; 3), (1; 4) и (1,5; 2,5).

Матрица А дана в стоимостном выражении.

Определитеобъемыпроизводства, конечногопотребленияпродукции, цены ресурсов и добавленные стоимости отраслей, если объемы трудовых ресурсов и капитала заданы: L = 100 ед., K = 360 ед.

137

Литература

1. Аткинсон Э., Стиглиц Д. Лекции по экономической теории государственного сектора: учебник для вузов. М.: Аспект Пресс, 1995.

Современный подход: учебник для вузов. М.: Юнити, 1997.

4.Гильдебрант В. Ядро и равновесие в большой экономике. М.:

Наука, 1986.

5.Гранберг А. Г. Моделирование социалистической экономики: учебник для вузов. М.: Экономика, 1988.

6.Гранберг А. Г. Основы региональной экономики: учебник для вузов. М.: ГУВШЭ, 2000.

7.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс, 2002.

8.Линдерт П. Ч. Экономика мирохозяйственных связей: учебник для вузов. М.: Айрис-пресс, 1992.

9.Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу: учебник для вузов. М.: Наука, 1984.

10.Роулз Дж. Теория справедливости. М.: Айрис-пресс, 1995.

11.Уэлли Дж. Прикладные модели общего экономического равновесия. Панорама экономической мысли конца ХХ столетия. Т. 2.

СПб., 2003.

12.Ли Ченг Ф., Финнерти Дж. И. Финансы корпорации: теория, методы, практика: учебник для вузов. М.: ИНФРА-М, 2000.

13.Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: учебник для вузов. М.: ИНФРА-М, 2008.

14.Экономико-математический энциклопедический словарь. М.: Большая Российская энциклопедия: ИНФРА-М, 2003.

15.Varian H. Microeconomic Analysis. 3rd ed. N.-Y.: Norton, 1992.

138