Математические модели экономики. В 2 частях. Ч.1. Экономическая статика. Учебное пособие

1.3. Взаимные задачи в теории потребления, функции спроса Хикса...

Если система предпочтений удовлетворяет рассмотренной системе аксиом, то в точке оптимума косвенная функция полезности V(p, R) является строго возрастающей функцией от дохода (R) и мы можем инвертировать эту косвенную функцию полезности в функцию расходов.

Функциярасходов, аналогичнаяфункциииздержек, используемой

втеории производства, обладает следующими свойствами:

–она однородна степени 1 относительно цен;

–она вогнута по ценам;

–частная производная функции расходов по i-й цене равна компенсированной (хиксианской) функции спроса (лемма Шепарда):

yi ( p,C) = ∂∂e . pi

Лемму Шепарда достаточно просто доказать, продифференцировав функцию расходов e(p, C) по цене товара i:

Используя условия равновесия для взаимной задачи, можно показать, что

Теорема взаимности

Если в задаче А в точке оптимума выполняется соотношение

U(y(p, R)) = V(p, R) = C,

а в задаче В выполняется соотношение

e (p, C) = R,

21

1. Модели частичного равновесия...

решения взаимных задач совпадают и маршаллианский спрос равен хиксианскому:

yi ( p,e( p,C)) ≡ yi ( p,C).

Дифференциация данного тождества по цене j-го товара позволяет вывести уравнение Слуцкого для всех i, j = 1, …, n.

Используя тождество для маршаллианских и хиксианских функций спроса в точке оптимума, получаем уравнение Слуцкого:

Из уравнения Слуцкого видим, что общее изменение спроса на i-й товар при изменении j-й цены складывается из эффекта замещения

∂yi , ∂p j

который показывает, как должен компенсироваться доход при переключении спроса на другой товар, чтобы уровень полезности C не изменился, и эффекта дохода

[– ∂∂yRi · yj(p, R)].

Из вогнутости функции расходов относительно цен следует, что матрица ее вторых производных

22

1.3. Взаимные задачи в теории потребления, функции спроса Хикса...

отрицательно определена. Она получила название матрицы коэффициентов замены.

Применяя лемму Шепарда, получим

компенсированный эффект воздействия своей цены на спрос всегда отрицательный. А матрицу коэффициентов замены можно представить как

заменяемые), но эффект дохода для нормальных товаров по абсолютнойвеличинебольшеэффектазамены, общееизменениенаблюдаемо-

го (маршаллианского) спроса за счет большего эффекта дохода будет

∂yi

∂p j

Также с помощью уравнения Слуцкого можно показать, что не всякий малоценный товар будет являться товаром Гиффена, но товар Гиффена обязательно будет малоценным товаром.

23

1. Модели частичного равновесия...

Дифференцируя косвенную функцию полезности V( p, R) = Спо pi при условии, что R = e ( p, C), получаем

и, применяя лемму Шепарда, можем доказать тождество Роя:

Литература: [1, 3, 5, 7, 9, 13].

Задания

15.Используя функцию Лагранжа и условия Куна — Таккера, запишитеусловияравновесиядлямодели, взаимнойкисходноймодели поведения потребителя (задача В). Докажите лемму Шепарда для этой модели, исходя из ее условий равновесия, а также тождество Роя для классической модели поведения потребителя (задача А).

16.Решения взаимных задач при определенных условиях совпадают. Покажите, как связаны между собой множители Лагранжа взаимных задач в теории потребления. Каков экономический смысл множителя Лагранжа во взаимной задаче?

17.Для модели поведения потребителя с ЦФП U(y) = y1(y2 – а) определитекосвеннуюфункциюполезностиV(p, R) = C. Инвертируйте полученную косвенную функцию полезности в соответствующую ей функцию расходов e(p, C) = R, используя свойства взаимных задач. Покажите, каковы эффекты замены и дохода для каждой функции

спроса yi (p, R).

24

1.3.Взаимные задачи в теории потребления, функции спроса Хикса...

18.Используя уравнение Слуцкого, докажите закон спроса: если

сростом дохода спрос на товар увеличивается, то с ростом цены спрос на него падает.

19.Покажите, используя уравнение Слуцкого, что товар Гиффена всегда является малоценным товаром. Справедливо ли обратное: любой малоценный товар есть товар Гиффена?

20.В модели поведения потребителя с двумя товарами известны функции компенсированного спроса

где С — оптимальный уровень полезности потребителя. Определите классические (маршаллианские) функции спроса на товары, используя тождество Роя, вид функции полезности потребителя, тип товаров. Может ли какой-то из товаров быть товаром первой необходимости, товаром роскоши?

21. а) Перепишите уравнение Слуцкого в терминах эластичностей спроса по ценам и доходу. Какие дополнительные свойства сравнительной статики можно получить из этих соотношений?

б) Докажите, используя уравнение Слуцкого, что pH = 0, где

вой вектор-функции y( p,C) =[ yi ( p,C)]',i, j =1,...,n;

p = (pi) — вектор-строка цен продукции.

в) Покажите идентичность выводов пунктов а и б. На основе выведенных соотношений покажите, могут ли все товары быть только заменяемыми, только дополняемыми? Если в экономике имеется всего две группы товаров, охарактеризуйте их с точки зрения возможностей замены.

25

1.Модели частичного равновесия...

22.Запишите уравнение Слуцкого для случая квазилинейной функции полезности. В чем состоит особенность этого случая? Проиллюстрируйте записанное уравнение для функции полезности

потребителя U( y) = y1 + ay2.

23. В модели поведения потребителя известна оптимальная оценка уровня потребления (задача В):

μ( p,C) = bp1 + ap2 . ab

Определите маршаллианские и хиксианские функции спроса, тип товаров. Оцените эффекты замены и дохода для маршаллианских функций спроса при изменении одной из цен на товары.

1.4.Предложение труда в модели поведения потребителя. Налоги, социальная защита и предложение труда

Досихпорпредполагалось, чтовесьдоходпотребителяR задается экзогенно. Однако доход потребителя складывается из его заработка wL, где w — ставка заработной платы, L — количество отработанных часов, и некоторых денежных доходов R0: дотаций, дивидендов, процентов по ценным бумагам и пр., получаемых им независимо от того, работает он или нет. Тогда R = wL + R0. В этом случае потребитель принимает решение относительно количества часов работы L и самого участия в ней. Объемы потребления товаров и предложения труда определяются системой предпочтений потребителя U(y, H), которая включает теперь свободное время (досуг) как благо, и бюджетным ограничением, в котором доход делится на эндогенную (wL) и экзогенную (R0) части. Время работы (L) и досуга потребителя (H) ограничено: L + H = K. Например, К — это 16 часов в сутки, 7 дней в неделю и т. д., в зависимости от используемых единиц измерения.

Тогда модель поведения потребителя можно записать следующим образом:

26

1.4. Предложение труда в модели поведения потребителя...

U(y, K – L) → max,

py – wL ≤ R0, K – L = H,

y, L, H ≥ 0,

где R0 — «нетрудовой» доход, w — почасовая ставка заработной платы, K — общее наличное время потребителя. Параметрами задачи

являются величины p, w, К и R0.

Для модели поведения потребителя с функцией предложения труда также строится взаимная задача, а в функции расходов e (p, w, C) появляется хиксианская переменная предложения труда: L (p, w, C). Теперьзначениефункциирасходоввточкеоптимумабудетотноситься только к экзогенной величине дохода R0:

e ( p, w, C) = py– w L = R0.

Эта функция расходов обладает теми же свойствами, что и рассмотренная выше. В частности, по лемме Шепарда,

L ( p, w, C) = – ∂∂we .

В этом соотношении видим, что знак частной производной, определяющей компенсированную функцию предложения труда, меняется на обратный в сравнении с компенсированной функцией спроса, так как в этом случае рассматривается фактор производства.

По теореме взаимности, в точке оптимума маршаллианская функция предложения труда будет равняться хиксианской функции (компенсированной функции предложения труда):

L(p, w, R0) ≡ L ( p, w, C).

Дифференцируяданноесоотношениепоставкезаработнойплатыw,

∂L + ∂L · ∂e = ∂L , ∂w ∂R0 ∂w ∂w

27

1. Модели частичного равновесия...

ииспользуялеммуШепарда, получимуравнениеСлуцкогодляфункции предложения труда:

Как доходы, так и расходы потребителя государство может облагать налогами, которые используются для финансирования текущих правительственных расходов. Налоги на расходы населения относятся к косвенному налогообложению, на доходы — к прямому налогообложению. Прямое налогообложение предназначено в том числе для уравнительных целей, прямые налоги могут быть скорректированы в соответствии с индивидуальными характеристиками налогоплательщика. Косвенные налоги не связаны с личностными характеристиками потребителей (за исключением объема покупок), но они обеспечивает более эффективное поступление налогов в бюджет. При этом косвенное налогообложение должно быть построено таким образом, чтобы минимизировать искажения в системе предпочтений потребителя. Большинство экономистов после исследования таких аспектов, каксправедливость, издержкинасборналогов, избыточное налоговоебремя, пришликвыводу, чтосистемапрямогоналогообложения с экономической точки зрения предпочтительнее [1, гл. 2, 3].

Ккосвенномуналогообложениюотносятсяналогинадобавленную стоимость (НДС), налоги на покупки, акцизные налоги. Последние два налога имеют и корректирующую функцию, например, для товаров роскоши или «нежелательных» товаров.

Кпрямымналогамотносятсяподоходныйналог, налогназаработную плату, которые могут быть пропорциональными или прогрессивными, а также единовременные налоги. Некоторые доходы, например пособия или процентные выплаты по государственным

облигациям, могут не облагаться налогом. Налог является пропорциональным, когда при росте доходов средняя ( τ ) и предельная (τ) ставки налога равны.

Налоговая ответственность (Т) в этом случае равна (предполагаем, что все доходы облагаются налогом)

28

1.4. Предложение труда в модели поведения потребителя...

T = τ (wL + R0) = τ R.

Отсюда

τ = T / R = τ = ∂T / ∂R.

Налог является прогрессивным, когда с ростом доходов растут средняяипредельнаяставкиналога. Наиболеепростымслучаемпрогрессивного налога является налог с постоянной предельной ставкой τ для всех групп населения (плоская шкала налога) и возрастающей средней ставкой τ при гарантированном доходе (необлагаемом налогом минимуме) Q0.

T = τ [(wL + R0) – Q0] = τ R – τQ0,

или

T = τ [(wL + R0) – Q ⁄ τ] = τ R – Q,

где T — налоговая ответственность потребителя, Q = τQ0 — налоговый возврат, Q0 = Q ⁄ τ — необлагаемый налогом минимум. Тогда

τ = TR = τ− QR ,

τ = dTdR .

Видим, что с ростом общего дохода R средняя ставка τ растет, предельная ставка τ будет постоянна для всех R.

Функция предложения труда в этом случае есть функция от заработной платы, других источников дохода, налогового возврата и на-

логовой ставки: L( w (τ), R0, Q).

Налоговая ответственность (налоговые изъятия) потребителя — это доходная часть бюджета государства. Имея данную функцию, например, для прогрессивного подоходного налога при R0, Q = const и w (τ) = w(1 – τ), получим

29

1. Модели частичного равновесия...

Т = τw L( w (τ), R0, Q).

Из данного соотношения можно найти оптимальную ставку налога, исходя из максимизации налоговых поступлений государства. Для такой функции можно построить кривую Лаффера, устанавливающую связь между ставкой налога и налоговыми поступлениями.

Налоги могут влиять не только на количество отработанных часов и уровень потребления, но и на поведенческие коэффициенты, такие как норма сбережения и отношение капитал / труд.

Литература: [1, 3, 7, 9].

Задания

24.Для модели поведения потребителя, использующего досуг

вкачестве блага, запишите взаимную задачу. Покажите, что для функции предложения труда выполняется закон предложения, а для потребительских благ — закон спроса, если это качественные товары. Покажите также, может ли досуг быть малоценным товаром; товаром Гиффена?

25.Потребитель имеет функцию полезности следующего вида:

U(y, H) = (y – 2) H,

где y — набор потребительских благ, H — свободное время. Потребитель располагает в сутки K часами для работы и досуга, его непроизводственный доход равен R0 ед. в день, цена потребительского набора — p ед. в день, почасовая оплата составляет w ед.

а) Определите функции спроса на блага и функцию предложения труда. Каков вид косвенной функции полезности V( p, w, R0) для данной задачи?

30