Математическая статистика. Учебное пособие

любого (0, 1) означает, что любая точка (0, ∞) является корнем этого полинома. Следовательно, все коэффициенты ( / ) полинома равны нулю. Таким образом, ( / ) = 0 при всех = = 0, 1, . . . , , и, следовательно, — полная статистика.

Задача 8.3. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения с нулевым средним и дисперсией σ2. Найти достаточную статистику для параметра σ2 со значениями в R.

Решение

Выпишем логарифмическую функцию правдоподобия (см. задачу ) и воспользуемся критерием Неймана — Фишера:

Таким образом, статистика 2 является достаточной для параметра σ2.

Задача 8.4. Доказать достаточность и полноту статистики для выборки из нормального распределения со средним и дисперсией 1.

=− 2 ln 2π − 2 2 + − 22 =

=( ) + ϕ( , ),

где ( ) = ln(2π)− /2 − 2/2 и ϕ( , ) = − 2/2. По критерию Неймана — Фишера отсюда получаем, что является достаточной статистикой для параметра .

Докажем полноту найденной достаточной статистики. Поскольку статистика имеет нормальное распределение со средним и дисперсией 1/ (см. задачу ), предположение о том, что E ( ) = = 0 для любого действительного числа , означает тождественное равенство нулю интеграла

2π/

−∞

причём интеграл сходится абсолютно. Следовательно, абсолютно сходится и тождественно равен нулю интеграл

∞Z

−∞

где ( ) = ( ) − 2 /2. Представим функцию в виде разности положительной и отрицательной частей: ( ) = +( ) − −( ), где

−∞ −∞

Если = 0, то обе знакопостоянные функции +( ) и −( ) равны нулю почти всюду, и, соответственно, ( ) = 0. Поэтому ( ) = = 0 почти всюду относительно меры Лебега, и, значит, статистика является полной.

Если же > 0, то функции +( ) = +( )/ и −( ) = −( )/ являются плотностями некоторых абсолютно непрерывных распределений + и − на R. Таким образом, совпадают следующие преобразования Лапласа:

−∞ −∞

Теперь можно воспользоваться тем, что преобразования Лапласа ϕ−( ) и ϕ+( ) однозначно определяют функции − и +: если ϕ−( ) = ϕ+( ) для всех , то −( ) = +( ) почти всюду. Следовательно, +( ) = −( ) почти всюду относительно меры Лебега, и, соответственно, ( ) = 0. Поэтому ( ) = 0 почти всюду относительно меры Лебега, и статистика является полной.

Если читатель не знаком со свойствами преобразования Лапласа (и формулой обращения, в частности), то можно перейти от преобразований Лапласа к более знакомым преобразованиям Фурье — характеристическим функциям, формула обращения для которых доказывается в курсе теории вероятностей.

Рассмотрим аналитическое продолжение ϕ+( ) и ϕ−( ) на плоскость комплексного переменного. Функции

−∞

являются аналитическими на всей комплексной плоскости и совпадают на вещественной прямой. По внутренней теореме единственности эти функции совпадают на всей комплексной плоскости, и в частности на мнимой прямой = 0. Осталось заметить, что ϕ+( ) и ϕ−( ) суть характеристические функции в точке распределений

+ и − соответственно. Из совпадения характеристических функций следует равенство плотностей +( ) = −( ) почти всюду.

Отсюда, как уже показано выше, следует, что ( ) = 0 почти всюду относительно меры Лебега, и, значит, статистика является полной.

Задача 8.5. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения со средним и дисперсией σ2. Найти достаточную для двумерного параметра ( , σ2) статистику со значениями в R2.

Решение

Выпишем логарифмическую функцию правдоподобия (которую мы нашли в задаче ) и воспользуемся критерием Неймана — Фишера:

Очевидно, мы получили функцию от , σ2, и 2, т. е. все слагаемые должны быть отнесены к факторизационной компоненте ϕ, откуда следует, что достаточной является двумерная статистика =

= ( , 2).

Задача 8.6. Пусть 1 — достаточная статистика для θ, а ( ) — обратимая функция. Доказать, что 2 = ( 1) является достаточной для θ.

Решение

По критерию Неймана — Фишера

Ψ (θ) = ϕ( 1, θ) ( ) = ϕ( −1( 2), θ) ( ) = ϕ1( 2, θ) ( ),

Как известно из курса функционального анализа, если функцияинтегрируема по Лебегу, то интеграл R ( ) как функция верх-

него предела есть почти всюду дифференцируемая функция и её производная почти всюду равна подынтегральной функции:

Z

( ) = ( ).

Таким образом, если Rθ ( ) −1 = 0 для всех θ > 0, то функ-

0

ция ( ) почти всюду равна нулю, что и означает полноту статистики( ) для параметра θ.

Если читатель знаком с π- и λ-системами множеств, то можно доказать полноту статистики ( ) другим способом. Обозначим

( ) = ( ) −1.

Так как интегралы от функции ( ) равны нулю на любых отрезках с началом в нуле, то равны нулю (как разности таких интегралов) и интегралы вида

θZ2

( )

θ1

при любых положительных θ1 < θ2. Докажем, что тогда равны нулю и интегралы Z

( ) ,

по борелевским множествам B(R+).

Соберём в одно множество все такие борелевские множества на [0, +∞), интегралы по которым от функции равны нулю:

Z

= { B(R+): ( ) = 0}.

случае, когда оба множества имеют нулевую меру Лебега. Таким образом, функция ( ), а вместе с ней и функция ( ), почти всюду равна нулю, откуда следует полнота статистики ( ).

Задача 8.9. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [ , ]. Достаточна ли для двумерного параметра ( , ) статистика ? Статистика ( )? Двумерная статистика

( (1), ( ))?

Решение

По критерию Неймана — Фишера достаточной статистикой для параметра θ = ( , ) будет двумерная статистика = ( (1), ( )). Действительно,

Ψ (θ) = I( ( ) < )I( (1) > ) · ( − )− .

Положим

Ни одна из порядковых статистик не является достаточной по критерию Неймана — Фишера, так как невозможно факторизовать, например, функцию I( (1) > ) так, чтобы одна компонента зависела только от параметра, а другая — только от порядковой статистики.

Заметим, что можно построить и скалярную достаточную статистику, воспользовавшись взаимно однозначным отображением R2 в

R.

Задача 8.10. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке:

а) [θ, θ + 1]; б) [θ, 2θ].

Найти достаточную для параметра θ статистику со значениями в R2.

Решение

a) Запишем функцию правдоподобия:

Ψ (θ) = I( ( ) < θ + 1)I( (1) > θ) = I( ( ) − 1 < θ < (1)).

По критерию Неймана — Фишера достаточной статистикой является двумерная статистика = ( (1), ( )), хотя параметр скалярный.

б) Аналогично имеем:

Ψ (θ) = I( ( ) < 2θ)I( (1) > θ) = I( ( )/2 < θ < (1)).

По критерию Неймана — Фишера достаточной статистикой является двумерная статистика = ( (1), ( )).

Задача 8.11. Найти достаточную статистику для параметра сдвига β R смещённого показательного распределения с плотностью

Является ли достаточная статистика полной? Является ли достаточной статистикой?

показали, что (1) − β имеет показательное распределение с параметром . Используя формулу плотности линейного преобразования случайной величины (см. решение задачи ), находим плотность

140 Глава 8. Полные и достаточные статистики

Равенство нулю математического ожидания

всюду равна нулю, что и означает полноту статистики (1).

Статистика не будет достаточной, так как I( (1) < β) не факторизуется, а (1) не является функцией от . Это легко понять,

рассмотрев две выборки, скажем, (2, 2) и (1, 3).

Задача 8.12. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения с плотностью θ( ) = θ θ−1 при [0, 1], где θ > 0. Найти достаточную статистику для параметра θ.

Решение

Так как

(∏ )θ−1

Ψ (θ) = θ ,

=1

то из критерия Неймана — Фишера следует, что статистика =

= ∏ (или же ln , как её обратимое преобразование, см. задачу =1 ) является достаточной для θ.

Задача 8.13. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Найти условное совместное распределение выборки при условии 1 + · · · + = . Является ли достаточной статистикой для параметра λ? Являются ли достаточными статистики ( )2, 2 и sin ?