Математическая статистика. Учебное пособие

Решение

Мы знаем (см. задачу ), что как линейная комбинации независимых нормальных случайных величин имеет нормальное распределение, причём

E = , D = σ2/ .

Центрируя и нормируя эту случайную величину, положим

( , , σ) = √ − .

σ

Статистика имеет, очевидно, стандартное нормальное распределение.

Пусть τ1−ε/2 — квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 − ε/2, т. е. Φ(τ1−ε/2) = 1 − ε/2. Тогда

P(−τ1−ε/2 < √ − < τ1−ε/2) = 1 − ε.

σ

Решая линейные неравенства, имеем

P(−τ1−ε/2 < √ − < τ1−ε/2) =

σ

Итак, искомый доверительный интервал имеет вид

где τ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения.

Здесь мы выбрали числа − = −τ1−ε/2, + = τ1−ε/2 равными по модулю, пользуясь симметричностью стандартного нормального распределения. Проверьте, что выбор именно такой пары чисел из

всех возможных решений уравнения P( − < < +) = 1 − ε обеспечивает минимальную длину точного доверительного интервала.

Задача 10.3. По выборке из нормального распределения со средним θ > 0 и дисперсией θ2 построить точный доверительный интервал для параметра θ уровня доверия 1 − ε.

Решение

Величина √ | |/θ распределена как |ξ|, где ξ имеет нормальное распределение со средним √ и единичной дисперсией. Пусть

Задача 10.4. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. С помощью статистики ( ) построить точный доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра θ.

Решение

Пусть = /θ, = 1, . . . , , — элементы выборки объёма из равномерного распределения на отрезке [0, 1]. Распределение

случайной величины ( ) = ( )/θ не зависит от θ. Очевидно, что случайная величина ( ) почти наверное меньше 1, при этом близка к 1 при больших . Представляется естественным «зажать» её узким интервалом, правый конец которого равен единице.

Найдём ψ (0, 1) такое, что P(ψ < ( ) < 1) = 1 − ε. Функция распределения максимальной порядковой статистики ( ) рав-

Доверительный интервал для θ получим из соотношений

1 − ε = P(ψ < ( )/θ < 1) = P( ( ) < θ < ( )/ψ).

√

Искомый доверительный интервал равен ( ( ), ( )/ ε).

Читателю предлагается проверить, что выбор именно такой пары

√

чисел ( − = ε и + = 1) из всех возможных решений уравнения P( − < ( )/θ < +) = 1 − ε обеспечивает минимальную длину

точного доверительного интервала.

Задача 10.5. С помощью статистики построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра λ распределения Пуассона.

Решение

Согласно центральной предельной теореме

где случайная величина η имеет стандартное нормальное распределение. Пусть = τ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения. По определению слабой сходимости при → ∞

P( − < √ √− λ < ) → P(− < η < ) = 1 − ε.

λ

Но разрешить неравенство под знаком вероятности относительно λ непросто: мешает корень в знаменателе. Попробуем от него избавиться. Не испортится ли сходимость, если мы заменим √λ, на-

пример, на √ , т. е. умножим функцию ( , λ) на √λ и поделим на

√

?

Воспользуемся следующим свойством слабой сходимости: если ξ сходится по вероятности к 1 и η η, то ξ · η η. Оценка λ* = состоятельна, поэтому

также слабо сходится к стандартному нормальному закону. Следовательно, случайный интервал

является асимптотическим доверительным интервалом уровня 1 − ε, если τ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения.

Задача 10.7. Пусть θ* — асимптотически нормальная оценка параметра θ с коэффициентом σ2(θ), где σ(θ) — непрерывная по θ функция. С помощью оценки θ* построить асимптотический доверительный интервал для θ уровня 1 − ε.

Решение

асимптотический доверительный интервал для θ уровня 1 − ε, где τ1−ε/2 есть квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 − ε/2. Как в этом убедиться?

1. В силу того, что оценка θ* является асимптотически нормальной, она тем более является состоятельной оценкой (см. задачу ): θ* — состоятельная оценка параметра θ.

2.Используя свойство сходимости по вероятности, гласящее, что применение непрерывной функции не портит сходимость по вероятности (теорема ), получаем, что σ(θ*) — состоятельная оценка параметра σ(θ).

3.Тогда, заменяя в определении асимптотической нормально-

сти коэффициент асимптотической нормальности на состоятельную

√

стоящие под знаком вероятности в вышеприведённом соотношении, и получаем, что

есть точный асимптотический доверительный интервал для θ уровня

1 − ε.

Задача 10.8. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Построить асимптотический доверительный интервал для θ с помощью оценки ( ).

довательности случайных величин ( , θ) = (θ − ( ))/θ:

Найдём число ψ > 0 такое, что

lim P(0 < (θ − ( ))/θ < ψ) = 1 − ε.

→∞

Для этого решим уравнение (ψ) = 1−ε, где ( ) = 1− − — функция распределения показательного распределения с параметром 1. Это уравнение имеет единственное решение ψ = − ln ε.

Теперь мы можем разрешить двойное неравенство:

lim P(0 < (θ − ( ))/θ < ψ) =

→∞

= lim P( ( ) < θ < ( )/( + ln ε)) = 1 − ε.

→∞

Итак, искомый доверительный интервал имеет вид

( ( ), ( )/( + ln ε)).

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 10.9. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ], где θ (0, 1]. Используя неравенство Чебышёва, построить доверительный интервал для θ с помощью:

а) оценки 2 ; б) оценки ( ).

Задача 10.10. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Показать, что в качестве точного доверительного интервала уровня 1 − ε можно взять интервал

( ( −1), ( −1)/ψ),

где ψ находится из уравнения

ψ −1( − ( − 1)ψ) = ε.

Задача 10.11. С помощью оценки (1) построить точный доверительный интервал для параметра θ по выборке объёма из:

а) равномерного распределения на отрезке [θ, θ + 1]; б) равномерного распределения на отрезке [θ, 2θ].

Задача 10.12. С помощью оценки (1) по выборке объёма из смещённого показательного распределения с параметром сдвига β построить точный доверительный интервал для параметра β.

Задача 10.13. Пусть 1, . . . , — выборка из показательного распределения с параметром α. Построить точные доверительные интервалы для параметра α, используя статистики 1( ) = 1 и

2( ) = (1).

Задача 10.14. С помощью оценки построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для неизвестного параметра

биномиального распределения (значение параметра известно).

Задача 10.15. С помощью статистики построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра геометрического распределения.

Задача 10.16. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения

θ с конечной дисперсией, E 1 = θ и D 1 = σ2(θ), где σ(θ) — непрерывная по θ функция. С помощью оценки построить асимп-

тотический доверительный интервал для θ уровня 1 − ε.

Задача 10.17. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. С помощью асимптотически нормаль-

что второй интервал асимптотически короче первого.

Задача 10.18. Пусть 1, . . . , — выборка из показательного распределения с параметром α. С помощью асимптотически нор-

показать, что первый интервал асимптотически короче второго.

Задача 10.19. Пусть 1, . . . , — выборка из смещённого показательного распределения с параметром сдвига β. С помощью статистики построить асимптотический доверительный интервал для параметра β уровня 1 − ε. Сравнить его с точным доверительным интервалом из задачи . Какой из интервалов следует предпочесть?

Задача 10.20. Пусть дана выборка из распределения Парето с параметрами β и θ. Построить асимптотический доверительный интервал для β.

Задача 10.21. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Коши с параметром сдвига . Построить асимптотический доверительный интервал для , используя выборочную медиану.

Г Л А В А 11

Доверительное оценивание параметров нормального распределения

В предыдущей главе мы построили доверительный интервал заданного уровня для математического ожидания нормального распределения в случае, когда дисперсия известна (задача ). Чтобы построить доверительный интервал для дисперсии при известном среднем, а также доверительные интервалы для параметров нормального распределения в случае, когда оба параметра неизвестны, необходимо познакомиться с двумя важнейшими статистическими распределениями и их связью с нормальными выборками.

Распределение суммы квадратов независимых случайных величин со стандартным нормальным распределением называется распределением хи-квадрат (или χ2) с степенями свободы,

Обозначим через и функцию распределения и плотность распределения хи-квадрат с степенями свободы соответственно.

Это распределение также называется распределением Пирсона и совпадает с гамма-распределением с параметрами 1/2 и /2:

( ) = γ1/2, /2( ).

Говорят, что случайная величина ζ имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, если она распределена так же, как