Математическая статистика. Учебное пособие

a)Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу = 1/2, если

1/2; иначе принимается альтернатива = 3/4. Найти пределы вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.

б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу = 1/2, если< 1/3; иначе принимается альтернатива = 3/4. Найти пределы вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.

в) Критерий δ3 предписывает принимать гипотезу = 1/2, если( ) = 0; иначе принимается альтернатива = 3/4. Найти пределы вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.

Задача 12.17. Для проверки симметричности игральной кости её подбросили раз. Гипотеза симметричности принимается, если количество выпадений единицы заключено в границах 6 ± . Найти, каким должно быть , чтобы данный критерий имел асимптотический размер ε = 2Φ0, 1(−2). Проверить симметричность кости, если после 3 600 бросков единица выпала 540 раз.

Задача 12.18. Основная гипотеза о правильности игральной кости принимается, если после подбрасываний кости√число выпавших шестёрок отличается от /6 не более, чем на 5 /2. Иначе принимается альтернатива: кость неправильная, и вероятность выпадения шестёрки не равна 1/6. Найти пределы размера и мощности этого критерия при → ∞.

Задача 12.19. Проверяется основная гипотеза о том, что вероятность выпуска бракованной лампочки равна 1/3. Эта гипотеза принимается, если в партии из лампочек число бракованных лампочек отличается от /3 не более чем на √2 . Найти пределы размера и мощности этого критерия при → ∞.

Задача 12.20. Проверяется гипотеза о том, что бутерброд падает маслом вниз с вероятностью 0,75. Эта гипотеза принимается, если после экспериментов число упавших маслом вниз бутербродов заключено в границах 34 ± . Найти, каким должно быть , чтобы

данный критерий имел асимптотический размер ε = 2Φ0, 1(−2,5). Проверить гипотезу, если из 10 000 бутербродов маслом вниз упали 7 600 штук.

Задача 12.21. Проверяется гипотеза о том, что стрелок попадает по мишени с вероятностью 0,9. Гипотеза принимается, если число попаданий после выстрелов заключено в границах 0,9 ± . Найти, каким должно быть , чтобы данный критерий имел асимптотический размер ε = 2Φ0, 1(−3). Проверить гипотезу, если после 400 выстрелов стрелок попал 340 раз.

Задача 12.22. Для проверки гипотезы о том, что вероятность обнаружить приз в пачке чипсов Lay’s равна 0,2, куплены пачек чипсов. Гипотеза принимается, если количество обнаруженных призов заключено в границах 0,2 ± . Найти, каким должно быть , чтобы данный критерий имел асимптотический размер ε = 2Φ0, 1(−3). Проверить гипотезу, если в 10 000 проверенных пачек чипсов обнаружены 1 600 призов.

Задача 12.23. Для проверки гипотезы о симметричности тетраэдра его подбросили раз. Гипотеза симметричности принимается, если число выпадений помеченной грани заключено в границах4 ± . Найти, каким должно быть , чтобы данный критерий имел асимптотический размер ε = 2Φ0, 1(−2). Проверить симметричность тетраэдра, если после 1 600 бросков помеченная грань выпала 430 раз.

Г Л А В А 13

Оптимальные критерии в задаче проверки двух простых гипотез

Пусть имеется выборка 1, . . . , . Кроме того, пусть имеются два распределения 1 и 2, а также две простые гипотезы 1 и 2 о распределении выборки: гипотеза состоит в том, что выборка взята из распределения , = 1, 2. Пусть выполнено условие доминирования относительно некоторой меры µ на R. Обозначим через ( ) плотность распределения относительно меры µ. Пусть1( 1, . . . , ) — функция правдоподобия при основной гипотезе и2( 1, . . . , ) — при альтернативе (для удобства в этой главе функцию правдоподобия будем обозначать ( 1, . . . , ) ≡ Ψ ).

Байесовский подход предполагает, что распределение , из которого извлечена выборка, было выбрано случайно. В этом случае гипотезы становятся случайными событиями; известные вероятности этих событий обозначим через

P( ) = , = 1, 2, 1 + 2 = 1.

Определим среднюю вероятность ошибки критерия δ:

α(δ) = 1α1(δ) + 2α2(δ).

При таком подходе существует оптимальный критерий, называемый байесовским, который имеет минимальную среднюю вероятность ошибки.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 15. Байесовский критерий δ определяется следующим образом:

Утверждение остаётся справедливым и в случае более чем двух простых гипотез с той разницей, что область, в которой байесовский критерий принимает гипотезу , определяется неравенством

( 1, . . . , ) max ( 1, . . . , ).

Наиболее мощным критерием размера ε (0, 1), различающим гипотезы 1 и 2, называется такой критерий δ (вообще говоря, рандомизированный), что α(δ) ε и любой другой критерий с размером, не превосходящим ε, обладает меньшей мощностью, нежели δ.

В этом случае справедливо следующее утверждение.

Теорема 16 (лемма Неймана — Пирсона). Наиболее мощный критерий размера ε существует при любом ε > 0 и является критерием отношения правдоподобия

Заметим, что если распределения 1 и 2 абсолютно непрерывны относительно одной и той же меры µ и отношение правдоподобия имеет непрерывное распределение, то наиболее мощный критерий из леммы Неймана — Пирсона является нерандомизированным.

Отметим также, что критерий отношения правдоподобия является байесовским критерием при заданных априорных вероятностях1 и 2, если = 1/ 2.

Минимаксный подход предлагает сравнивать максимальные значения

α(δ) = max α (δ).

Критерий δ называется минимаксным, если он имеет минимальную ошибку α(δ).

Минимаксный критерий всегда существует и является критерием отношения правдоподобия, в котором постоянные и ρ однозначным образом находятся из уравнения α1(δ) = α2(δ).

Пусть {θ, θ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений и пусть 1, . . . , — выборка из распределения θ. Проверяется простая гипотеза θ = θ0 против сложной альтернативы θ Θ0, где θ0 — фиксированная точка в Θ, а Θ0 — некоторое подмножество в Θ, причём θ0 ̸Θ0. Обозначим через

α1(δ) = Eθ0 δ( 1, . . . , )

размер критерия δ, а через

βθ(δ) = 1 − Eθδ( 1, . . . , ), θ Θ0,

функцию мощности критерия δ.

Равномерно наиболее мощным критерием размера ε (0, 1) называется такой критерий δ (вообще говоря, рандомизированный), что α1(δ) ε и любой другой критерий с размером, не превосходящим ε, при любом значении θ Θ0 имеет мощность, не превосходящую

βθ(δ).

Если наиболее мощный критерий размера ε для проверки простой гипотезы θ = θ0 против простой альтернативы θ = θ1 Θ0 существует и один и тот же при любых значениях θ1 Θ0, то, как легко видеть, он будет являться и равномерно наиболее мощным критерием для проверки простой гипотезы θ = θ0 против сложной альтернативы θ Θ0.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 13.1. По выборке объёма из нормального распределения с неизвестным средним и единичной дисперсией построить: а) минимаксный, б) байесовский при равных априорных вероятностях, в) наиболее мощный критерий заданного размера для различения двух простых гипотез о параметре .

Решение

Построим минимаксный, байесовский при 1 = 2 = 1/2 и наиболее мощный критерии для проверки гипотезы 1 = { = 1} против альтернативы 2 = { = 2}, где 1 < 2.

Построим критерий отношения правдоподобия. Отношение правдоподобия равно

Заметим, что отношение правдоподобия имеет абсолютно непрерывное распределение при верной первой гипотезе, поэтому

для всякого > 0. Это означает, что критерий отношения правдоподобия будет нерандомизированным.

Достаточно описать его критическую область, т. е. область, в которой принимается гипотеза 2. Критическая область определяется

Чтобы построить минимаксный и наиболее мощный критерии,

запишем неравенство 2( ) в эквивалентном виде (раскрыть

1( )

скобки и убедиться!) 1 и искать будем 1, а не . Размер и вероятность ошибки второго рода равны соответственно

Равенство α1(δ) = ε означает, что √ ( 1− 1) = τ1−ε, где τ1−ε — квантиль уровня 1 − ε стандартного нормального распределения.

Тогда выразим 1 = 1 + τ1−ε/√ . Получим наиболее мощный критерий размера ε:

При α1(δ) = α2(δ) получим минимаксный критерий. Пользуясь свойствами функции распределения стандартного нормального закона, запишем

( √ ) (√ )

Φ0,1 − ( 1 − 1) = Φ0,1 ( 1 − 2) ,

откуда 1 − 1 = 2 − 1 и 1 = ( 1 + 2)/2. Минимаксный критерий имеет вид

Задача 13.2. Имеется выборка из нормального распределения со средним = 0 и дисперсией σ2, σ > 0. Построить наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы 1 = {σ = σ1} против альтернативы 2 = {σ = σ2}, где σ1 < σ2.

Решение

Отношение правдоподобия снова имеет абсолютно непрерывное распределение при любой из гипотез, поэтому критерий отношения правдоподобия будет нерандомизированным. Критерий отношения правдоподобия принимает гипотезу 2, если

что равносильно неравенству 2 1. Найдём 1, при котором размер критерия равен ε:

Отсюда 1 /σ21 = χ21−ε, , где χ21−ε, — квантиль уровня 1 − ε распределения хи-квадрат с степенями свободы. Тогда 1 = χ21−ε, σ21 /

и наиболее мощный критерий размера ε имеет вид

Задача 13.3. Дана выборка объёма 1 и две простые гипотезы:1 = { 1 имеет равномерное распределение на отрезке [1, 5]},2 = { 1 имеет равномерное распределение на отрезке [0, 2]}. Построить наиболее мощный критерий размера 1/5.

Решение

Воспользуемся леммой Неймана — Пирсона и выпишем в зави-

симости от 1 отношение правдоподобия:

Мы рассматривали отношение правдоподобия лишь для значений 1, при которых хотя бы одна из плотностей отлична от нуля. Деление ненулевой плотности на нуль в контексте критерия отношения правдоподобия можно рассматривать как попадание 1 в кри-

тическую область {δ = 1} = { 2( 1)/ 1( 1) > }. Поэтому будем считать в этом случае отношение равным +∞. Границы интервалов

мы отнесли к разным областям произвольным образом.

Поскольку отношение правдоподобия постоянно на каждом из трёх интервалов, для постоянной есть лишь несколько возможностей, при которых критерии будут различаться. Перечислим все возможные критерии отношения правдоподобия в зависимости от и найдём критерий заданного размера. При = 0 или = 2 критерий может быть рандомизированным.

Сначала рассмотрим нерандомизированные критерии.

1. < 0 (это просто ситуация, когда критерий абсолютно всегда

принимает вторую гипотезу). В этом случае 2( 1) > при любом

1( 1)

1, и критерий отношения правдоподобия имеет вид

δ1( 1) = 1 при любом 1.

Его размер α1(δ1) = P 1 (δ1( 1) = 1) = 1 — не то, что нужно.

{1, если 1 [0, 2],

δ2( 1) =

0, если 1 (2, 5].

Его размер α1(δ3) = P 1 (δ3( 1) = 1) = P 1 ( 1 [0, 1]) = 0 — не то, что нужно.

Таким образом, ни один из нерандомизированных критериев не имеет нужного уровня. Посмотрим на рандомизированные. Можно было сделать это сразу, не рассматривая никаких нерандомизированных критериев, поскольку выбор ρ = 0 или 1 в любом рандомизированном критерии превращает его в нерандомизированный.

Его размер

α1(δ4) = P 1 ( 1 [0, 2]) + ρP 1 ( 1 (2, 5]) =

= 1/4 + 3/4 · ρ ̸= 1/5.

И это не то, что нужно.

Следует сразу заметить, что значение = 0 в критерии отношения правдоподобия означает наше желание строить абсурдный критерий: мы собираемся принимать вторую гипотезу не только в