Математическая статистика. Учебное пособие

Здесь Φ — функция распределения стандартного нормального распределения, Φ( ) = 1 − Φ( ).

Итак, вероятности ошибок первого и второго рода равны соответственно α1 = 1 − (1 − Φ(3)) ≈ 1 − 0,99865 и α2 = (1 − Φ(2)) ≈

≈ 0,977 .

Задача 12.2. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения со средним и единичной дисперсией. Рассматриваются две простые гипотезы: основная = −1 и альтернативная = 0. Предлагается следующий критерий для проверки этих гипотез: основная гипотеза принимается, если < − γ ; в противном случае принимается альтернативная гипотеза. Здесь γ — заранее выбранное вещественное число. Определить все числа γ, при которых критерий является состоятельным.

Решение

Вычислим вероятность ошибки второго рода критерия. Для этого заметим (см. задачу ), что при верной второй гипотезе распределение величины нормальное со средним 0 и дисперсией 1/ . Поэтому величина √ имеет стандартное нормальное распределение. Итак,

√

α2 = P 2 ( < − γ ) = P 2 ( < − γ+1/2) = Φ0,1(− γ+1/2).

По свойствам функций распределения, Φ0,1( ) → 0 при → −∞. Поэтому критерий будет состоятельным при γ > −1/2.

Задача 12.3. Есть две гипотезы: основная состоит в том, что элементы выборки имеют нормальное распределение, а альтернатива — в том, что элементы выборки имеют распределение Пуассона. Построить критерий, обладающий нулевыми вероятностями ошибок

С другой стороны,

α2(δ1) = PΠλ ( : ̸ 0{, 1, 2, . . .}) =

PΠλ ( ̸ 0{, 1, 2, . . .}) = 0,

=1

поскольку для величины с распределением Пуассона вероятность принимать нецелые значения нулевая.

Читателю будет полезно привести примеры двух абсолютно непрерывных распределений, которые можно различить так же безошибочно по одному наблюдению, двух дискретных с таким же свойством.

При решении подобных задач также будет полезным понятие взаимной сингулярности мер (в частности, распределений). Два распределения и на (R, B) называют взаимно сингулярными, если найдутся два таких борелевских множества и , для которых

( ) = 1, ( ) = 0 и одновременно ( ) = 0, ( ) = 1.

Заодно напомним, что мера µ является абсолютно непрерывной относительно меры ν (обе меры заданы на одной и той же сигмаалгебре), если для любого множества из этой сигма-алгебры такого, что ν( ) = 0, с необходимостью выполняется и µ( ) = 0. Пишут

µ ν.

Два распределения, абсолютно непрерывные относительно одной и той же меры, вполне могут быть взаимно сингулярными. Так, например, два равномерных распределения на непересекающихся отрезках прямой абсолютно непрерывны относительно меры Лебега (но не она относительно них!), однако при этом взаимно сингулярны.

Очевидно, что два взаимно сингулярных распределения безошибочно различаются подходящим критерием по одному наблюдению.

Задача 12.4. Пусть 1, . . . , — выборка, о плотности распределения которой высказаны две гипотезы: гипотеза 1 о том, что имеют распределение с плотностью

и альтернатива 2, состоящая в том, что имеют плотность

Найти пределы при → ∞ вероятностей ошибок первого и второго рода следующего критерия: гипотеза 1 принимается тогда и только тогда, когда

а) > 3,5 + 1/√ ; б) > 3,5 + 1/ ; в) > 3,5.

Решение

Заметим сразу, что мы имеем дело с двумя смещёнными показательными распределениями: 1 есть плотность сдвинутого вправо на шесть показательного распределения с параметром α = 1, 2 есть плотность сдвинутого вправо на три показательного распределения с параметром α = 2. Соответственно, математические ожидания этих распределений равны

с ростом одна из этих последовательностей (в зависимости от того, которая из гипотез верна) слабо сходится к нормальному (более того, стандартному нормальному) распределению.

а) Запишем вероятность ошибки первого рода первого критерия:

( √ )

α1 = P 1 3,5 + 1/ = 0,

поскольку при верной первой гипотезе и все элементы выборки, и выборочное среднее с вероятностью 1 принимают значения больше либо равные шести.

Запишем вероятность ошибки второго рода этого же критерия:

( √ ) ( √ )

α2 = P 2 > 3,5 + 1/ = P 2 2 ( − 3,5) > 2 → Φ(2).

б) Заметим, что и для второго (и для третьего тоже) критерия вероятность ошибки первого рода нулевая по той же причине, что и в п. а. Запишем вероятность ошибки второго рода:

поэтому их сумма слабо сходится к стандартному нормальному закону, функция распределения которого непрерывна всюду. Следовательно, в любой точке имеет место сходимость функций распределения. Поскольку нам нужно установить сходимость вероятностей событий {ξ +ϕ > 0}, можно умножить обе части этого неравенства на минус единицу и тем самым перейти к функции распределения.

Последовательность −ξ − ϕ тоже слабо сходится к 0,1, т. е.

P(ξ + ϕ > 0) = −ξ −ϕ (0) → Φ0,1(0) = Φ(0) = 1/2.

П. в разбирается аналогично.

Задача 12.5. Основная гипотеза состоит в том, что данный человек лишён телепатических способностей и угадывает мысли на расстоянии в каждом единичном эксперименте с вероятностью 1/2. Гипотеза же о наличии телепатических способностей у данного человека принимается, если в 100 независимых однотипных экспериментах по угадыванию мыслей на расстоянии не менее 70 заканчиваются успехом. Чему равна вероятность признать телепатом человека без телепатических способностей?

Решение

Итак, дана выборка 1, . . . , из распределения Бернулли с неизвестной вероятностью успеха , про которую можно сделать два предположения: гипотеза 1 состоит в том, что = 1/2, гипотеза 2 — в том, что > 1/2. Критерий для проверки этих гипотез

предписывает принимать 2, если ∑ = 70.

=1

Вероятность признать телепатом человека без телепатических способностей есть в точности вероятность ошибки первого рода этого критерия. Найдём её. При верной первой гипотезе случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами= 100, = 1/2. Поэтому

Разумеется, указанное выражение ответом служить не может, поскольку без специальных средств его оценить или вычислить не удастся. Воспользовавшись любым математическим пакетом, получим всё же точный ответ: α1 = 0,00003925069823.

Вычислим α1 приближённо, используя интегральную теорему Муавра — Лапласа:

Как видим, приближённый ответ отличается от точного лишь в шестом знаке после запятой. Полезно сравнить эту точность с оценкой погрешности в центральной предельной теореме, вычисленной по неравенству Берри — Эссеена. Оценка для погрешности в данном случае оказывается существенно хуже реальной точности даже для столь небольшого объёма выборки, как 100.

Задача 12.6. Для проверки симметричности монеты её подбросили раз. Гипотеза симметричности принимается, если число выпадений герба заключено в границах 2 ± . Найти, каким должно быть , чтобы данный критерий имел асимптотический размер ε = = 2Φ0, 1(−3). Проверить симметричность монеты, если после 10 000 бросков герб выпал 5 400 раз.

Решение

Для каждого = 1, 2, . . . , положим = 1, если при -том подбрасывании монеты выпал герб, и = 0, если решка:

сываниях монеты.

Таким образом, имеется выборка 1, . . . , из распределения Бернулли с неизвестной вероятностью успеха , про которую можно сделать два предположения: гипотеза 1 состоит в том, что = 1/2 (монета симметричная), гипотеза 2 — в том, что ̸= 1/2 (монета несимметричная). Критерий для проверки этих гипотез предписывает принимать 2, если | − /2| . Найдём вероятность ошибки

Так как E 1 1 = 1/2 и D 1 1 = 1/4, то по центральной предельной теореме

Тогда

√

α1 = P 1 (2 | − 1/2| δ) → P(|η| δ) = 2Φ(−δ).

Отсюда находим, что рассматриваемый критерий имеет асимптотический размер ε = 2Φ0, 1(−3) при δ = 3, т. е. при = 32 √ .

Если после 10 000 бросков герб выпал 5 400 раз, то критерий отвергает гипотезу симметричности, так как в этом случае

| − /2| = 400 > 150 = 32√ .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 12.7. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения со средним и известной дисперсией σ2.

a)Критерий δ предписывает принимать гипотезу = 1, если

< 1 + 1/√ ; иначе принимается альтернатива = 2. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.

б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу = 1, если

< 3/2; иначе принимается альтернатива = 2. Найти пределы

вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.

Задача 12.8. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения с известным средним значением и неизвестной дисперсией σ2.

a) Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу σ2 = 1, если ( − )2 1; иначе принимается альтернатива σ2 = 2. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.

б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу σ2 = 1, если< 4/3; иначе принимается альтернатива σ2 = 2. Найти пределы вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.

Задача 12.9. Пусть 1, . . . , — выборка из показательного распределения с параметром α.

a)Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу α = 2, если

1/2; иначе принимается альтернатива α = 4. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.

б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу α = 2, если> 1/3; иначе принимается альтернатива α = 4. Найти пределы вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.

Задача 12.10. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Рассматриваются две простые гипотезы: λ = 1 и λ = 3. Критерий δ предписывает принимать первую гипотезу, если ( ) 1, и альтернативу в противном случае. Найти минимальный объём выборки, при котором мощность этого критерия превышает заданное значение γ.

Задача 12.11. Дана выборка 1, . . . , из распределения и

гипотезы 1 = { = U0, 2} и 2 = { = U1, 3}. Критерий δ предписывает принимать гипотезу 2, если (1) 3/2. Найти вероятности

ошибок первого и второго рода этого критерия. Является ли критерий состоятельным?

Задача 12.12. Дана выборка 1, . . . , и две простые гипотезы: гипотеза 1 состоит в том, что элементы выборки имеют показательное распределение с параметром 1, а гипотеза 2 — в том, что элементы выборки имеют распределение с плотностью ( ) = 3 −4 на интервале [1, +∞). Критерий δ предписывает принимать гипотезу2, если 2 ( ) 3. В противном случае принимается 1. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.

Задача 12.13. Дана выборка 1, . . . , из распределения и

гипотезы 1 = { = U1, 3} и 2 = { = U0, 2}. Критерий δ предписывает принимать гипотезу 2, если (1) 3/2. Найти вероятности

ошибок первого и второго рода этого критерия. Является ли критерий состоятельным?

Задача 12.14. Дана выборка 1, . . . , и две простые гипотезы: 1 = { имеют распределение с плотностью ( ) = 3/4 на отрезке [0, 2]}, 2 = { имеют равномерное распределение на отрезке [0, 2]}. Критерий δ предписывает принимать гипотезу 1, если 1/2 (1) 3/2. В противном случае принимается 2. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.

Задача 12.15. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ].

a)Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу θ = 2, если

3; иначе принимается альтернатива θ = 4. Найти пределы вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.

б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу θ = 2, если( ) < 3; иначе принимается альтернатива θ = 4. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.

Задача 12.16. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Бернулли с параметром .