Математическая статистика. Учебное пособие

Глава 11. ДИ для параметров нормального распределения 191

случайная величина

ξ0

√ ,

1 (ξ21 + . . . + ξ2)

где случайные величины ξ независимы и имеют стандартное нормальное распределение.

Оказывается, с помощью этих распределений описывается совместное распределение выборочного среднего и выборочной дисперсии в случае, когда элементы выборки имеют нормальное распределение.

→−

Теорема 12. Пусть вектор состоит из независимых случай-

ных величин со стандартным нормальным распределением, — ор-

→− →− →−

тогональная матрица, = . Тогда и координаты вектора

независимы и имеют стандартное нормальное распределение.

Следующее утверждение носит вспомогательный характер и по традиции называется леммой. Эта лемма является, пожалуй, самым главным вспомогательным утверждением во всех разделах теоретической статистики и эконометрики, связанных с нормальными на-

блюдениями.

→−

Теорема 13 (лемма Фишера). Пусть вектор состоит из неза-

не зависит от 1, . . . , и имеет распределение хи-квадрат с − степенями свободы.

Основные результаты, позволяющие строить точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения, содержатся в следующем утверждении, которое является основным следствием леммы Фишера.

192 Глава 11. ДИ для параметров нормального распределения

Теорема 14. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального рас-

− 1 степенью свободы. При этом случайные величины и 2 независимы.

4. Случайная величина √ − 1 − имеет распределение Стью-

дента с − 1 степенью свободы.

Отметим, что первое утверждение теоремы следует сразу же из свойств нормального распределения (мы использовали его при решении задач и ), второе — из определения распределения хи-квадрат с учётом того факта, что ( − )/σ имеет стандартное нормальное распределение. Третье утверждение нетривиально (и вытекает собственно из леммы Фишера), а четвёртое вытекает из первого, третьего и определения распределения Стьюдента.

Отметим, что независимость величин и 2 — свойство, характерное только для нормального распределения. Так же, как и способность сохранять независимость координат после умножения на ортогональную матрицу.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 11.1. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения с параметрами и σ2, где R, σ2 > 0 — два неизвестных параметра. Построить точный доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра σ2.

Глава 11. ДИ для параметров нормального распределения 193

Решение

Используем следующее соотношение:

где 0 < 1 < 2 находим по известному распределению −1 (хиквадрат с − 1 степенью свободы) случайной величины 2/σ2. В общем случае эта задача не имеет единственного решения. Если обратиться к графику плотности распределения −1, представленному на рис. , то 1 < 2 следует выбирать таким образом, чтобы сумма вероятностей, представленных площадями заштрихованных областей под графиком плотности, равнялась ε. Ясно, что это можно сделать многими способами. Для однозначности решения выберем

Рис. 5. Плотность распределения −1

1 < 2 так, чтобы каждая из заштрихованных площадей равнялась ε/2, тогда нетрудно видеть, что 1, 2 выражаются через квантили распределения −1:

Подставляя это в начальное соотношение, находим искомый доверительный интервал:

194 Глава 11. ДИ для параметров нормального распределения

Задача 11.2. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения со средним и дисперсией σ2, причём значение известно. Построить точный доверительный интервал для σ2, используя статистику 12 = ( − )2.

Решение

Используем следующее соотношение:

где 0 < 1 < 2 находим по известному распределению случайной величины 12/σ2. Чтобы сделать решение однозначным, выразим 1 < 2 через квантили распределения :

Подставляя это в первоначальное соотношение, находим искомый доверительный интервал:

Задача 11.3. В условиях предыдущей задачи построить точный доверительный интервал для σ2, используя статистику | − |. Какой из полученных доверительных интервалов следует предпочесть?

Решение

Случайная величина √ | − |/σ распределена как |ξ|, где ξ имеет стандартное нормальное распределение. Пусть τδ — квантиль уровня δ стандартного нормального распределения. Тогда

( )

P τ0,5+ε/4 < |ξ| < τ1−ε/4 = 1 − ε

Глава 11. ДИ для параметров нормального распределения 195

и искомый точный доверительный интервал уровня 1 − ε находится из соотношений

Распределение левой и правой границ полученного интервала

не зависит от . Поэтому точный доверительный интервал, полученный в предыдущей задаче, предпочтительнее — его длина почти наверное стремится к нулю с ростом . Действительно, пусть λδ есть квантиль уровня δ распределения хи-квадрат с степенями свободы. Тогда интервал ( 12/λ1−ε/2, 12/λε/2) является точным доверительным интервалом для σ2 уровня 1 − ε. Согласно центральной предельной теореме, λδ = + τδ√ + (√ ) и обе границы интервала стремятся к σ2 с ростом .

Задача 11.4. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения со средним и дисперсией σ2, причём значение известно. Построить асимптотический доверительный интервал для σ2, используя статистику √π/2·| − |. Сравнить полученный интервал с точным доверительным интервалом, построенным по выборочной дисперсии.

оценкой для σ2 с коэффициентом 4σ4(π/2 − 1). Отсюда получаем

196 Глава 11. ДИ для параметров нормального распределения

следующий асимптотический доверительный интервал для σ2:

где τ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального рас-

что есть величина порядка 2σ2√τ1−ε/2 . Таким образом, точный дове-

рительный интервал асимптотически короче.

Задача 11.5. Пусть 1, 2 — выборка объёма 2 из нормального распределения со средним 2 и дисперсией 3. Указать все числа такие, что случайные величины 1 − 2 и 1 + 2 независимы.

Решение

Заметим, что так как 1 и 2 независимы, то

cov( 1 − 2, 1 + 2) = D 1 − D 2 = 3(1 − ).

Глава 11. ДИ для параметров нормального распределения 197

независимы. Следовательно, независимы и случайные величины

1 − 2 и 1 + 2.

Итак, 1 − 2 и 1 + 2 независимы тогда и только тогда, когда

= 1.

Задача 11.6. Имеется выборка объёма 3 из нормального распределения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией. Несмещённая выборочная дисперсия равна 1. Не пользуясь таблицами, построить точный доверительный интервал для неизвестной дисперсии уровня 0,9.

Решение

Из теоремы получаем:

где 1 и 2 найдём из уравнений 2( 1) = ε/2 и 2( 2) = 1 − ε/2. Так как распределение есть гамма-распределение Γ1/2, /2

спараметрами 1/2 и /2, а распределение Γ1/2,1 есть показательное

спараметром 1/2, то в нашем случае 2 = Γ1/2,1 = E1/2. Следовательно, уравнения для 1 и 2 перепишутся следующим образом:

Так как ( − 1) 02 = 2, то окончательно получаем точный доверительный интервал для неизвестной дисперсии уровня 0,9:

198 Глава 11. ДИ для параметров нормального распределения

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 11.7. По выборке из нормального распределения построить точный доверительный интервал для среднего при неизвестной дисперсии σ2.

Задача 11.8. Пусть 1, 2 — выборка объёма 2 из нормального распределения со средним 1 и дисперсией 2. Обозначим 1 = 1 + + 2 и 2 = 12 + 22. Указать все числа такие, что случайные величины 1 и 2 − 12 независимы.

Задача 11.9. Пусть 1, 2 — выборка объёма 2 из нормального распределения со средним 0 и дисперсией 5. Указать все числа такие, что случайные величины | 1−2 2| и ( 1+ 2)3 независимы.

Задача 11.10. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения со средним и дисперсией σ2, причём значение σ2 известно. Построить асимптотический доверительный интервал для , используя выборочную медиану. Сравнить полученный интервал с точным доверительным интервалом, построенным по выборочному среднему.

Задача 11.11. Пусть λδ — квантиль уровня δ распределения хи-

√ √

квадрат с степенями свободы. Доказать, что λδ = +τδ + ( ) при → ∞, где τδ — квантиль уровня δ стандартного нормального распределения.

Задача 11.12. Найти математическое ожидание и дисперсию длины доверительного интервала для дисперсии нормального распределения при неизвестном среднем.

Задача 11.13. Найти математическое ожидание и дисперсию длины доверительного интервала для среднего нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Г Л А В А 12

Основные понятия теории статистических критериев

Пусть 1, . . . , — выборка из некоторого распределения . Гипотезой называется любое предположение о распределении наблюдений:

где F — некоторое подмножество в множестве всех распределений. Гипотеза H называется простой, если она указывает на единственное распределение: = 1. Иначе H называется сложной: F.

Пусть имеются два распределения 1 и 2, а также две простые гипотезы 1 и 2: гипотеза состоит в том, что выборка взята из распределения , = 1, 2. Гипотеза 1 называется основной, а 2 —

альтернативой.

Нерандомизированным критерием называется произвольное из-

меримое отображение δ : R → {0, 1}. Если δ( 1, . . . , ) = 1, то основная гипотеза отвергается и принимается альтернатива; если

δ( 1, . . . , ) = 0, то принимается основная гипотеза.

Рандомизированным критерием называется произвольное измеримое отображение δ : R → [0, 1]. Величина δ( 1, . . . , ) интерпретируется как вероятность отвергнуть основную гипотезу.

Вероятностью ошибки -го рода нерандомизированного критерия δ называется вероятность

α = P (гипотеза отвергается),

где вероятность P вычисляется в предположении, что выборка1, . . . , взята из распределения .

Вероятностью ошибки первого рода рандомизированного критерия δ называется математическое ожидание

α1 = E 1 δ( 1, . . . , ),

а вероятностью ошибки второго рода — величина

α2 = 1 − E 2 δ( 1, . . . , ).

Вероятность ошибки первого рода называется также размером критерия и обозначается α(δ), а 1 − α2(δ) — мощностью критерия и обозначается β(δ).

Критерий называется состоятельным, если с ростом объёма выборки мощность критерия стремится к 1.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 12.1. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения со средним и единичной дисперсией. Для проверки основной гипотезы = 0 против альтернативы = 1 используется следующий критерий: основная гипотеза принимается, если ( ) < 3, и отвергается в противном случае. Найти вероятности ошибок первого и второго рода.

Решение

Имеем равенства