Математическая статистика. Учебное пособие

Альтернатива состоит в том, что 1 имеет плотность

Построить наиболее мощный критерий размера 1/6.

Задача 13.21. Пусть 1 — выборка объёма 1. Гипотеза состоит в том, что 1 имеет распределение Бернулли с параметром = 1/2. Альтернатива состоит в том, что 1 имеет биномиальное распределение с параметрами = 2 и = 1/2. Построить наиболее мощный критерий размера 1/5.

Задача 13.22. У игрока, наблюдавшего за игрой в кости, создалось впечатление, что шестёрка выпадает в 18% бросаний, пятёрка

— в 14%, а остальные четыре грани выпадают равновероятно (т. е. с вероятностью 0,17). Получив приглашение принять участие в игре, игрок попросил разрешения предварительно проверить свою гипотезу на производимых подряд бросаниях кости. Единственная рассматриваемая им альтернатива состоит в том, что игральная кость сделана «честно». При = 2 найти наиболее мощный критерий размера 0,0196.

Задача 13.23. Пусть 1 — выборка объёма 1. Проверяются гипотезы о распределении наблюдения 1: гипотеза 1 = { = 1} против альтернативы 2 = { = 2}. Распределение 1 есть смесь в равной пропорции вырожденного в нуле распределения и равномерного на отрезке [0, 1]. Распределение 2 есть также смесь в равной пропорции вырожденного в нуле распределения и распределения с плотностью 2 на отрезке [0, 1]. Построить наиболее мощный критерий размера 1/2. Найти все ε [0, 1], при которых наиболее мощный критерий с ошибкой первого рода, равной ε, будет рандомизированным.

а) Построить (при = 1) наиболее мощный критерий размера α = 1/2. Найти его мощность.

б) Построить (при = 1) какой-либо критерий размера α = 1/2 и мощности 1/2.

в) Критерий δ предписывает принимать гипотезу 1, если 2; альтернативу 2, если < 2. Найти предел при → ∞ размера и мощности этого критерия.

Задача 13.25. Дана выборка 1, . . . , . Гипотеза 1 = { имеют распределение с плотностью 1}. Альтернатива 2 = { имеют распределение с плотностью 2}. Здесь

а) Построить (при = 1) наиболее мощный критерий размера α = 1/2. Найти его мощность.

б) Построить (при = 1) какой-либо критерий размера α = 1/2 и мощности 1/2.

в) Критерий δ предписывает принимать гипотезу 1, если < 2; альтернативу 2, если 2. Найти предел при → ∞ размера и мощности этого критерия.

Задача 13.26. Дана выборка 1, . . . , . Гипотеза 1 = { имеют распределение с плотностью 1}. Альтернатива 2 = { имеют распределение с плотностью 2}. Здесь

а) Построить (при = 1) наиболее мощный критерий размера α = 1/2. Найти его мощность.

б) Построить (при = 1) какой-либо критерий размера α = 1/2 и мощности 1/2.

в) Критерий δ предписывает принимать гипотезу 1, если > > 3/2; альтернативу 2, если 3/2. Найти предел при → ∞ размера и мощности этого критерия.

Задача 13.27. Дана выборка 1, . . . , . Гипотеза 1 = { имеют распределение с плотностью 1}. Альтернатива 2 = { имеют распределение с плотностью 2}. Здесь

а) Построить (при = 1) наиболее мощный критерий размера α = 1/2. Найти его мощность.

б) Построить (при = 1) какой-либо критерий размера α = 1/2 и мощности 1/2.

в) Критерий δ предписывает принимать гипотезу 1, если < 3; альтернативу 2, если 3. Найти предел при → ∞ размера и мощности этого критерия.

Задача 13.28. Дана выборка 1, . . . , . Основная гипотеза 1 состоит в том, что элементы выборки имеют распределение с плотностью

Альтернатива 2 состоит в том, что элементы выборки имеют распределение с плотностью

a)Критерий δ предписывает принимать гипотезу 1, если

−1/ ln 2; альтернативу 2, если < −1/ ln 2. Найти пределы вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия при

→ ∞.

б) Построить наиболее мощный критерий асимптотического размера ε = 0,05 и проверить его состоятельность.

в) Критерий δ предписывает принимать гипотезу 1, если ( )−1/4 и альтернативу 2, если ( ) > −1/4. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.

Задача 13.29. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения с параметрами и σ2. Построить наиболее мощный критерий для проверки гипотезы 1 = { = 1, σ2 = σ21} против альтернативы 2 = { = 2, σ2 = σ22}.

Задача 13.30. По выборке из показательного распределения с параметром α построить наиболее мощный критерий асимптотического размера ε, различающий гипотезу α = α1 и альтернативу α = α2, если α1 < α2. Вычислить предел мощности построенного критерия при → ∞.

Задача 13.31. По выборке из биномиального распределения с параметрами и построить наиболее мощный критерий асимптотического размера ε, различающий гипотезу = 1 и альтернативу= 2, если 1 < 2. Вычислить предел мощности построенного критерия при → ∞.

Задача 13.32. По выборке из геометрического распределения с параметром построить наиболее мощный критерий асимптотического размера ε, различающий гипотезу = 1 и альтернативу = 2, если 1 < 2. Вычислить предел мощности построенного критерия при → ∞.

Задача 13.33. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения с известным средним значением и неизвестной дисперсией σ2. Используя статистику ( − )2, построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы 1 = = {σ2 = σ21} против альтернативы 2 = {σ2 < σ21}.

Задача 13.34. Пусть 1, . . . , — выборка из показательного распределения с параметром α. Используя статистику , построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы 1 = {α = α1} против альтернативы 2 = {α > α1}.

Задача 13.35. Пусть 1, . . . , — выборка из двухпараметрического показательного распределения с плотностью

где α > 0, β R.

а) Пусть α известно. Используя статистику (1), построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы

1 = {β = β1} против альтернативы 2 = {β ̸= β1}.

б) Построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы 1 = {α = α1, β = β1} против альтернативы

2 = {α < α1, β < β1}.

Задача 13.36. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Бернулли с параметром . Используя статистику , построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы1 = { = 1} против альтернативы 2 = { > 1}.

Задача 13.37. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Используя статистику , построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы1 = {λ = λ1} против альтернативы 2 = {λ > λ1}.

Задача 13.38. Пусть 1, . . . , — выборка из геометрического распределения с параметром . Используя статистику , построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы 1 = { = 1} против альтернативы 2 = { > 1}.

Г Л А В А 14

Критерии согласия

Пусть 1, . . . , — выборка из неизвестного распределения . Пусть 1 — некоторое распределение. Критерии, предназначенные для проверки основной гипотезы 1 = { = 1}, называются критериями согласия. Альтернативой чаще всего является сложная гипотеза 2 = { ̸= 1}. Иногда в качестве 1 выступает тоже сложная гипотеза.

Пусть задан некоторый функционал (P* , 1), обладающий следующим свойством: по заданному ε > 0 можно найти число > 0 такое, что

Другими словами, известно распределение случайной величины(P* , 1) или её слабый предел при верной основной гипотезе.

Значение функционала (P* , 1) можно трактовать как расстояние между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением.

Критерий согласия (асимптотического) размера ε > 0, основанный на функционале , строится следующим образом: критерий отвергает основную гипотезу, если для данной выборки значение

(P* , 1) превосходит .

Если (P* , 1) стремится по вероятности к бесконечности при→ ∞, как только распределение отлично от 1, то данный критерий согласия состоятелен. А именно, при любом распределении ,

отличном от 1, вероятность ошибки второго рода стремится к нулю.

Критерий Колмогорова. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения и *( ) — эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Пусть 1 — некоторое распределение с непрерывной функцией распределения 1( ). Для проверки простой гипотезы 1 = { = 1} используется статистика Колмогорова

√

( 1, . . . , ) = sup | *( ) − 1( )|.

R

Справедлива следующая теорема.

Теорема 17 (Колмогорова). Пусть 1 — распределение с непрерывной функцией распределения. Если = 1, то при → ∞ распределение статистики Колмогорова слабо сходится к распределению Колмогорова с функцией распределения

Критерий Колмогорова асимптотического размера ε отвергает основную гипотезу, если значение статистики Колмогорова ( ) превосходит квантиль ζ1−ε уровня 1 − ε распределения Колмогорова.

Некоторые критерии типа хи-квадрат тоже являются критериями согласия для проверки гипотезы о распределении. Они будут рассмотрены в следующей главе.

Пусть по данной числовой выборке вычислено число * = = ( ) — значение статистики критерия на данной числовой выборке. Число

ε* = P 1 (| ( )| > | *|)

называют реально достигнутым уровнем значимости критерия. По величине ε* можно судить о том, следует принять или отвергнуть основную гипотезу. Именно это число является результатом проверки

гипотезы в любом статистическом пакете программ. Реально достигнутый уровень значимости — это вероятность, взяв выборку из распределения 1, получить по ней большее отклонение эмпирического от истинного распределения, чем получено по проверяемой выборке. Большие значения этой вероятности свидетельствуют в пользу основной гипотезы, малые — в пользу альтернативы.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 14.1. Имеется выборка 1, 2, 3 объёма 3. Для проверки гипотезы о том, что выборка взята из равномерного на отрезке [0, 1] распределения, используется критерий Колмогорова: гипотеза о равномерности отвергается, если

sup | 3*( ) − | > 1/3.

[0,1]

Сформулировать этот критерий в явном виде в терминах порядковых статистик. Чему равен размер этого критерия?

Решение

Поскольку элементы выборки совпадают с нулевой вероятностью, эмпирическая функция распределения имеет три скачка величиной 1/3 в точках (1), (2) и (3). Истинная функция распределения ( ) = в этих точках равна ( ( )) = ( ). Для выполнения неравенства sup | 3*( ) − | > 1/3 должно иметь место хотя бы

[0,1]

одно из неравенств:

а) | (1) − 3*( (1))| = (1) > 1/3;

б) |1/3 − (1)| > 1/3, т. е. (1) > 2/3;

в) | (2) − 3*( (2))| = | (2) − 1/3| > 1/3, т. е. либо (2) < 1/3,

либо (2) > 2/3; г) |2/3 − (2)| > 1/3, т. е. (2) < 1/3;

д) | (3) − 2/3| > 1/3, т. е. (3) < 1/3; е) |1 − (3)| > 1/3, т. е. (3) < 2/3.

Заметим, что неравенства из пп. б и г являются следствиями какого-либо из остальных неравенств. Окончательно получаем, что критическая область есть следующее событие:

{ (1) > 1/3} { (2) < 1/3} { (2) > 2/3} { (3) < 2/3}.

Вычислим вероятность ошибки первого рода. Удобнее искать вероятность противоположного события:

α1 = 1 − P 1 ( (1) 1/3, 1/3 (2) 2/3, (3) 2/3) =

Это есть в точности вероятность, бросив три точки на отрезок [0, 1], получить одну из них на первой трети, другую — на второй, и одну — на третьей трети отрезка.

Задача 14.2. Доказать состоятельность критерия Колмогорова.

Решение

Если гипотеза 1 неверна, то имеют распределение 2, отличное от 1. Пусть 1 и 2 — функции распределения, соответствующие распределениям 1 и 2 соответственно. По закону больших

Мы должны доказать, что вероятность ошибки второго рода при любом 2 ̸= 1 стремится к нулю. Найдём эту вероятность: