Математическая статистика. Учебное пособие

Задача 1.40. Пусть 1, . . . , и 1, . . . , — две независимые выборки одинакового объёма из одного и того же непрерывного распределения, а * и * — эмпирические функции распределения, построенные по этим выборкам. Доказать, что для любого (0, 1] справедливо равенство

где = ξ1 + · · · + ξ , = 1, . . . , 2 , причём случайные величины ξ

независимы и P(ξ = 1) = P(ξ = −1) = 1/2, = 1, . . . , 2 .

Задача 1.41. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Бернулли с параметром , *( ) — эмпирическая функция распределения и ( ) — функция распределения выборки. Доказать (без использования теоремы Гливенко — Кантелли), что при → ∞ с вероятностью 1 имеет место сходимость

sup | *( ) − ( )| → 0.

R

Задача 1.42. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения на множестве целых чисел. Положим = P( 1 = ), Z. Обо-

−∞

Задача 1.43. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Коши с параметрами и σ2. Доказать, что E| ( )| < ∞ при 2−1, а математические ожидания E (1) и E ( ) не существуют.

Так как функция обратима, то существует обратная функция −1 и

Ясно, что оценка, построенная по методу моментов, не единственна и зависит от выбора функции . В качестве чаще всего выбирают степенные функции ( ) = , = 1, 2, . . . В этом случае

В случае многомерного параметра θ ( 2) для построения оценки метода моментов параметра θ выбираются функций : R → R,= 1, . . . , , и рассматриваются функции

(θ) = E ( 1).

Функции выбираются таким образом, чтобы система уравнений

была однозначно и непрерывно разрешима относительно -мерного параметра θ. Оценкой метода моментов называется оценка θ* Θ такая, что

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.1. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения с параметрами и σ2. Используя метод моментов, построить оценку:

а) неизвестного математического ожидания ; б) неизвестной дисперсии σ2, если известно; в) двумерного параметра ( , σ2).

Поэтому (σ2)* = 2 − 2.

в) Используя функции 1( ) = и 2( ) = 2, получаем

Решая систему

{

* = ,

( * )2 + (σ2)* = 2,

находим оценки метода моментов: * = и (σ2)* = 2 − ( )2 = = 2.

Задача 2.2. Используя функции ( ) = , = 1, 2, . . ., построить оценку метода моментов параметра θ > 0 равномерного распределения на отрезке [0, θ].

Решение

Так как

Задача 2.4. Используя функции 1( ) = и 2( ) = 2, построить оценку векторного параметра ( , ) равномерного распределения на отрезке [ , ], < .

Решение

Решая систему уравнений

E 1 = ( + )/2,

E 2 = 2 + 2 + ,

1 3

получаем (по условию < )

Задача 2.7. Можно ли методом моментов с помощью какой-ни- будь функции ( ) получить оценку параметра распределения Бернулли, отличную от ?

Решение

Докажем, что это невозможно. Так как 1 принимает значения 1 и 0 с вероятностями и 1 − соответственно, то

( ) = E ( 1) = (1) + (0)(1 − ).

Если (0) = (1), то функция не зависит от и оценку построить нельзя. Пусть (0) ̸= (1). Тогда

Заметим, что для выборки из распределения Бернулли

Задача 2.8. Пусть и — два распределения с известными математическими ожиданиями и соответственно, причём < . Пусть θ является смесью распределений и :

θ = θ + (1 − θ) , 0 θ 1.

Построить оценку метода моментов параметра θ по выборке из распределения θ.

Задача 2.9. Используя метод моментов с функцией ( ) = , построить оценку параметра сдвига β R смещённого показательного распределения с плотностью

Решение

Нетрудно заметить, что β есть плотность распределения случайной величины ξ + β, где ξ имеет показательное распределение с параметром 1. Действительно, вспоминая формулу плотности линейного преобразования случайной величины

находим:

ξ+β( ) = ξ( − β) = −( −β)I( − β 0) = β( ).

Отсюда легко найти математическое ожидание смещённого показательного распределения: E 1 = E(ξ + β) = β + 1. Теперь найдём оценку метода моментов:

Задача 2.10. Пусть дана выборка из двухпараметрического показательного распределения с плотностью

Построить оценки метода моментов параметров масштаба α > 0 и сдвига β R.

Решение

Из формулы, приведённой в решении задачи , следует, что α,β есть плотность случайной величины αξ+β, где ξ имеет показательное распределение с параметром 1. Тогда E 1 = E(αξ + β) = α + β и

D 1 = D(αξ + β) = α2 и, значит, E 12 = α2 + (α + β)2. Решая систему уравнений

{

E 1 = α + β,

E 12 = α2 + (α + β)2,

получаем α = √E 12 − (E 1)2 и β = E 1 − α, откуда находим оценки метода моментов:

√

α* = 2 − ( )2 = , β* = − .

Задача 2.11. Пусть дана выборка из распределения с плотностью

Построить оценку метода моментов параметра α > 0 с помощью функции ( ) = .

Решение

∞Z

= α /3 − = α · Γ( /3 + 1),

0

где Γ(λ) = ∞R λ−1 − — гамма-функция. Отсюда находим оценку

0

метода моментов:

Задача 2.12. Пусть дана выборка из гамма-распределения с параметрами α > 0 и β > 0. Построить оценки метода моментов:

а) параметра α, если значение β известно; б) параметра β, если значение α известно; в) векторного параметра (α, β).

Решение

Плотность гамма-распределения с параметрами α > 0 и β > 0 равна