Математическая статистика. Учебное пособие

Задача 1.3. Доказать, что 2 = 2 − ( )2.

Решение

Раскрывая квадрат, получаем

Задача 1.4. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения с параметрами и σ2.

а) Вычислить математическое ожидание и дисперсию статистики . Какое распределение имеет ?

б) Вычислить математическое ожидание статистик 2 и 02.

Решение

а) Воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:

Заметим, что 1 + . . . + имеет нормальное распределение с параметрами и σ2 в силу устойчивости нормального распределения по суммированию. Нормальное распределение также устойчиво к линейным преобразованиям: если случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами и σ2, то ξ имеет нормальное распределение с параметрами и 2σ2, ̸= 0. Итак,= 1 ( 1 + . . . + ) имеет нормальное распределение с параметрами и σ2/ .

б) Как показано в п. а, E = E 1 и D = D 1/ . Тогда из задачи получаем

откуда следует равенство

E 02 = − 1 E 2 = D 1 = σ2.

Равенство E 02 = D 1 объясняет название статистики 02 — несмещённая выборочная дисперсия.

Задача 1.5. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Вычислить математическое ожидание и дисперсию статистики . Имеет ли статистика распределение Пуассона? Нормальное распределение?

Случайная величина = 1 + . . . + имеет распределение Пуассона с параметром λ в силу устойчивости распределения Пуассона по суммированию. Следовательно, не может иметь распределения Пуассона, так как она может принимать дробные значения.

В частности, P( = 1/ ) = P( 1 + . . . + = 1) = λ −λ > 0. Статистика не может иметь нормального распределения, так как

она отрицательна с нулевой вероятностью: P( < 0) = 0.

Задача 1.6. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [ , ]. Вычислить математическое ожидание и дисперсию статистики . Имеет ли статистика равномерное распределение? Нормальное распределение?

Статистика не может иметь равномерного распределения на отрезке [ , ], так как имеет другую дисперсию (при > 1). Статистика не может иметь равномерного распределения на каком-либо другом отрезке, так как носитель её распределения — отрезок [ , ]. Статистика не может иметь нормального распределения, так как её распределение имеет ограниченный носитель.

Задача 1.7. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения с плотностью

{

2 , если [0, 1],

( ) =

0, если ̸ [0, 1].

Какое распределение имеет выборка 1, . . . , , где = 2?

Решение

Значение функции распределения случайной величины 1 в точке [0, 1] равно

Следовательно, 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 1].

Задача 1.8. Пусть 1, . . . , — выборка из показательного распределения с параметром α = 3. Найти распределение выборки

1, . . . , , где = 1 − −3 .

Решение

Значение функции распределения случайной величины 1 в точке [0, 1) равно

Следовательно, 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 1].

Задача 1.9. Пусть 1, . . . , — выборка из некоторого распределения, у которого функция распределения непрерывна и строго возрастает. Какое распределение имеет выборка 1, . . . , , где =

= ( )?

Решение

Так как функция непрерывна и строго возрастает, то существует обратная функция −1 (которая также является непрерывной и строго возрастающей) и для всех (0, 1) имеет место равенство( −1( )) = . Тогда значение функции распределения случайной величины 1 в точке (0, 1) равно

( )

P( 1 < ) = P( ( 1) < ) = P 1 < −1( ) = ( −1( )) = .

Следовательно, 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 1].

Задача 1.10. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Бернулли с параметром . Какое распределение имеет выборка1, . . . , , где = ( ), а — функция распределения Бернулли?

Решение

Так как 1 принимает значения 0 и 1, а (0) = 0, (1) = 1 − , то случайные величины 1, . . . , будут иметь дискретное распре-

деление:

P( 1 = 0) = P( 1 = 0) = 1 − ,

P( 1 = 1 − ) = P( 1 = 1) = .

Задача 1.11. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Какое распределение имеет выборка 1, . . . , , где = ( ), а — функция распределения Пуассона?

Решение

Так как 1 принимает только целые неотрицательные значения,

а

то случайные величины 1, . . . , будут иметь следующее дискретное распределение:

Задача 1.12. В терминах общей функции распределения элементов выборки найти функцию распределения:

а) максимального члена вариационного ряда ( ); б) минимального члена вариационного ряда (1).

Решение

а) Так как случайные величины 1, . . . , независимы и

{ ( ) < } = { 1 < , . . . , < },

б) Так как

{ (1) } = { 1 , . . . , },

то аналогично получаем

P( (1) < ) = 1 − P( (1) ) = 1 − P( 1 , . . . , ) = = 1 − P( 1 ) · . . . · P( ) = 1 − (1 − ( )) .

Задача 1.13. Найти вероятность P( ( ) < , ( +1) ) в терминах общей функции распределения .

Решение

Заметим, что событие { ( ) < , ( +1) } означает, что ровноэлементов выборки 1, . . . , лежит левее точки :

{ }

∑

{ ( ) < , ( +1) } = {#{ < } = } = I( < ) = .

=1

Так как события { 1 < }, . . . , { < } независимы и име-

ют одинаковую вероятность = ( ), то ∑ I( < ) есть число

=1

успехов в схеме Бернулли с вероятностью успеха . Таким образом, искомая вероятность совпадает с вероятностью того, что в схеме Бернулли произошло ровно из успехов, и, значит, равна

P( ( ) < , ( +1) ) = ( )(1 − ( )) − .

Задача 1.14. Найти функцию распределения -й порядковой статистики ( ) в терминах общей функции распределения .

Решение

Событие { ( ) < } означает, что по крайней мере элементов выборки 1, . . . , лежат левее точки , и это событие есть объединение попарно несовместных событий { ( ) < , ( +1) },

= , . . . , :

={ровно элементов выборки меньше } =

=

={ ( ) < , ( +1) }.

=

Значит, в силу предыдущей задачи имеем равенство

=

Задача 1.15. Для выборки из равномерного распределения на отрезке [0, θ] найти плотность распределения -й порядковой статистики ( ).

производную функции распределения величины ( ). Учитывая ра-

Вычисление плотности можно провести и непосредственно:

( ) = P( ( ) [ , + )).

Событие { ( ) [ , + )} означает, что из элементов выборки один принимает значения из множества , −1 элемент — левее и − элементов — правее . Вероятность этого события вычислим в соответствии с полиномиальным распределением:

Следовательно, плотность распределения случайной величины ( ) равна

В частности, ( ) ( ) = −1/θ и (1) ( ) = (θ − ) −1/θ при

[0, θ].

Полезно заметить, что величина ( )/θ имеет бета-распределе- ние с параметрами и − + 1.

Задача 1.16. Для выборки из абсолютно непрерывного распределения найти плотность -й порядковой статистики.

Решение

Аналогично решению предыдущей задачи

= −1 −1( )(1 − ( )) − ( ) .

−1

Следовательно, плотность распределения случайной величины ( ) равна

Задача 1.17. Для выборки из равномерного распределения на отрезке [0, θ] найти математическое ожидание, второй момент и дисперсию:

а) максимального члена вариационного ряда ( ); б) минимального члена вариационного ряда (1).

Тогда