Математическая статистика. Учебное пособие

= 3θ(1 − 3θ)/9 . Таким образом, в неравенстве Рао — Крамера до-

стигается равенство. Поэтому оценка ^ является -эффективной и,

θ

следовательно, эффективной.

Задача 9.20. Проверить, является ли -эффективной: а) оценка максимального правдоподобия; б) оценка 02

дисперсии σ2 нормального распределения с нулевым средним.

Из этого представления видно, что оценка 2 является -эффектив- ной. Её смещение равно нулю:

Установить, что именно 2 является оценкой максимального правдоподобия, можно и привычным способом. Продифференцируем логарифмическую функцию правдоподобия:

ние. Допустим, что она -эффективна. Тогда она является единствен- ной несмещённой эффективной оценкой, а значит, совпадает с 2. Но это не так, следовательно, предположение о -эффективности02 неверно.

Задача 9.21. Пусть 1, . . . , 3 — выборка объёма 3 из нормального распределения со средним и единичной дисперсией. Являются ли -эффективными (эффективными) следующие оценки параметра :

Решение

в) Рассмотрим выборочное среднее. Среднеквадратическое отклонение этой несмещённой оценки равно

E( − )2 = D = σ2 , 3

тогда как среднеквадратическое отклонение нашей оценки равно

=1

жет быть лучшей в среднеквадратическом смысле в классе 0. Таким образом, она не является эффективной и тем более -эффективной.

Отметим, что в этой задаче единственной -эффективной, а значит, и эффективной, является оценка максимального правдоподобия

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 9.22. Пусть 1, . . . , — выборка из двухпараметрического показательного распределения с плотностью

где α > 0, β R. Найти эффективную несмещённую оценку для: а) параметра β, если значение α известно; б) параметра α, если значение β известно; в) двумерного параметра θ = (α, β).

Задача 9.23. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Парето с параметрами β и θ, причём значение β известно. Найти эффективную несмещённую оценку параметра θ.

Задача 9.24. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Вейбулла с параметрами α и θ, причём значение α известно. Проверить, что α является полной и достаточной статистикой для параметра θ. Построить эффективную оценку параметра τ(θ) = 1/θ.

Задача 9.25. Распределение Кэптейна определяется плотностью

где ( ) — неубывающая дифференцируемая функция. Найти эффективную несмещённую оценку для:

а) параметра θ, если значение σ известно; б) параметра σ2, если значение θ известно.

Задача 9.26. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения с плотностью θ θ−1 при [0, 1], где θ > 0. Найти эффективную несмещённую оценку параметра τ(θ) = 1/θ.

Задача 9.27. Пусть 1, . . . , — выборка из биномиального распределения с параметрами и при известном . Найти смещение и дисперсию оценки:

неизвестного параметра . Улучшить эту оценку усреднением при фиксированном значении достаточной статистики . Найти смещение и дисперсию улучшенной оценки. Является ли улучшенная оценка эффективной?

Задача 9.28. Пусть 1, . . . , , 2, — выборка из геометрического распределения с параметром (0, 1).

а) Доказать, что статистика = имеет распределение

б) Доказать, что статистика = является достаточной и полной статистикой.

в) Найти смещение оценки * = I( 1 = 0). Используя пп. а и б, построить эффективную оценку в классе с таким смещением.

Задача 9.29. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на конечном множестве {1, . . . , θ}, где θ — целый положительный параметр. Доказать, что статистика

+1 − ( ( ) − 1) +1 ( )

( ) − ( ( ) − 1)

является эффективной оценкой параметра θ в классе несмещённых оценок.

Задача 9.30. Объяснить на качественном уровне присутствие выражения (1 + ′(θ))2 в общей форме неравенства Рао — Крамера. В процессе этого:

а) объяснить, почему появляется ′(·), а не (·); б) объяснить, почему граница должна обращаться в нуль, когда

′(·) = −1; в) объяснить, почему упомянутое выше выражение возводится в

квадрат, а не в первую степень.

Задача 9.31. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения θ, θ Θ. Доказать, что если оценка θ* является -эффективной оценкой для θ в классе оценок со смещением (θ) = θ/ , то она состоятельна. Построить эффективную оценку в классе несмещённых оценок.

Задача 9.32. Выполнены ли условия регулярности для следующих семейств распределений, зависящих от параметра θ:

а) нормальное со средним θ и дисперсией θ2, θ > 0; б) равномерное на отрезке [θ, θ + 1]; в) равномерное на отрезке [−θ, 0], θ > 0; г) с плотностью θ −θ при > 0; д) с плотностью θ+ при < −θ;

е) биномиальное с параметрами 5 и θ, 0 < θ < 1; ж) Пуассона с параметром θ, θ > 0;

з) с функцией распределения θ( ) = 1 − θ/ при θ, θ > 1; и) с плотностью 4(θ − )3/θ4 на отрезке [0, θ]?

Задача 9.33. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения, являющегося смесью двух нормальных распределений, а именно, 92% составляет нормальное распределение со средним и дисперсией 1, 8% составляет нормальное распределение с тем же средним и дисперсией 16. Является ли выборочное среднее -эффективной оценкой параметра ?

Задача 9.34. Пусть 1, . . . , — выборка из двухпараметрического показательного распределения с плотностью

где α > 0, β R. Пусть β известно. Является ли -эффективной оценка метода моментов для параметра α? Эффективной?

Задача 9.35. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения с плотностью из задачи . Пусть α известно. Является ли -эффек- тивной оценка метода моментов для параметра β? Эффективной? Является ли -эффективной оценка максимального правдоподобия для параметра β? Эффективной?

Задача 9.36. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Будет ли -эффективной оценка

θ* = + 1 ( )?

Будет ли эта оценка эффективной?

Задача 9.37. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [θ, θ + 1]. Будет ли -эффективной оценка

θ* = (1) − +1 1?

Задача 9.38. Пусть 1, . . . , — выборка из логистического распределения, плотность которого имеет вид

а) Проверить, что — несмещённая оценка параметра θ.

б) Найти среднеквадратическое отклонение оценки от параметра θ.

Указание: использовать равенство

в) Найти информацию Фишера.

г) Проверить -эффективность оценки .

Задача 9.39. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения с плотностью θ θ−1 при [0, 1], где θ > 0. Доказать, что оценка −ln является -эффективной для параметра τ = 1/θ в классе несмещённых оценок.

Задача 9.40. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Вейбулла с параметрами α и θ, причём значение α известно. Доказать, что оценка α является -эффективной для параметра τ = 1/θ в классе несмещённых оценок.

Задача 9.41. Пусть — распределение с нулевым математическим ожиданием и плотностью ( ). Пусть ( ) — дифференцируемая чётная функция. Рассматривается распределение θ с плотностьюθ( ) = ( −θ), θ R. Доказать, что выборочная медиана не может быть -эффективной оценкой параметра сдвига θ.

Задача 9.42. Проверить, является ли -эффективной оценка максимального правдоподобия параметра биномиального распределения с параметрами и , если значение известно.

Задача 9.43. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. В качестве оценки параметра θ = −λ рассматривается статистика θ* = I( = 0). Вычислить смещение

(θ) = Eθ* −θ этой оценки и проверить, является ли она -эффективной.

Задача 9.44. Пусть 1, . . . , — выборка из геометрического распределения с параметром . Является ли -эффективной оценка τ* = 1 + параметра τ = 1/ ?

Задача 9.45. Семейство распределений {θ, θ Θ} называется экспоненциальным, если функция правдоподобия Ψ (θ) допускает представление

Ψ (θ) = (θ) ( 1,..., )+ (θ) ( 1, . . . , ).

Являются ли экспоненциальными семейства:

а) нормальных распределений с параметрами и σ2, если значение σ2 известно;

б) нормальных распределений с параметрами и σ2, если значение известно;

в) гамма-распределений с параметрами α и λ, если значение λ известно;

г) гамма-распределений с параметрами α и λ, если значение α известно;

д) распределений Бернулли с параметром ; е) распределений Пуассона с параметром λ;

ж) равномерных распределений на отрезке [ , ]?

Г Л А В А 10

Доверительные интервалы

Пусть {θ, θ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений, θ R, и 1, . . . , — выборка из распределения θ.

Пусть θ− = θ−( 1, . . . , ) и θ+ = θ+( 1, . . . , ) — некоторые статистики. Случайный интервал (θ−, θ+) называется доверительным

интервалом уровня 1 − ε, если для всех θ Θ

P(θ (θ−, θ+)) 1 − ε.

Случайный интервал (θ−, θ+) называется точным доверительным интервалом уровня 1 − ε, если для всех θ Θ

P(θ (θ−, θ+)) = 1 − ε.

Для построения точного доверительного интервала обычно используется следующий подход. Выбирается функция ( 1, . . . , , θ) такая, что распределение P( ( 1, . . . , , θ) ·) не зависит от параметра θ (распределение свободно от параметра θ). Как правило, функция представляет из себя подходящее преобразование какойнибудь (желательно эффективной) оценки параметра θ. Функция должна быть монотонной и обратимой функцией аргумента θ при любых фиксированных значениях выборки 1, . . . , . Пусть для определённости функция возрастает. Обозначим через ( 1, . . . , , ) функцию, обратную к функции ( 1, . . . , , θ) по параметру θ. Тогда доверительный интервал уровня 1 − ε имеет вид

( ( 1, . . . , , −), ( 1, . . . , , +)),

где числа − и + находятся (вообще говоря, неоднозначно) из уравнения

P( − < ( 1, . . . , , θ) < +) = 1 − ε.

Случайный интервал (θ−, θ+) называется асимптотическим доверительным интервалом уровня 1 − ε, если при всех θ

Случайный интервал (θ−, θ+) называется асимптотически точным доверительным интервалом уровня 1 − ε, если при всех θ

Асимптотические доверительные интервалы строятся таким же способом, при этом возникают квантили распределения, являющегося предельным для распределения при → ∞.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 10.1. С помощью статистики 1 по выборке объёма 1 из равномерного распределения на отрезке [0, θ] построить точный доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра θ.

Решение

В силу свойств равномерного распределения случайная величина ( , θ) = 1/θ имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение.

Найдём ψ (0, 1) такое, что P(ψ < < 1) = 1 − ε. Имеем 1 − ψ = 1 − ε и, соответственно, ψ = ε.

Искомый доверительный интервал равен ( 1, 1/ε).

Задача 10.2. Пусть 1, . . . , — выборка из нормального распределения со средним и дисперсией σ2, причём значение σ2 известно. Построить точный доверительный интервал для .