Математическая статистика. Учебное пособие

Задача 15.10. Имеется корреляционная таблица, в которой указаны частоты появления значений , в серии из 100 экспериментов над парой ( , ):

Проверить гипотезу независимости.

Задача 15.11. Имеется корреляционная таблица, в которой указаны частоты появления значений , в серии экспериментов над парой ( , ):

Проверить гипотезу независимости.

Г Л А В А 16

Критерии однородности

Критерий Колмогорова — Смирнова. Даны две независимые вы-

борки = ( 1, . . . , ) и = ( 1, . . . , ) из неизвестных распределений и соответственно. Проверяется сложная гипотеза

1 = { = } при альтернативе 2 = { ̸= }.

Критерий Колмогорова — Смирнова используют, если и имеют непрерывные функции распределения.

Пусть *( ) и * ( ) — эмпирические функции распределения, построенные по выборкам и ,

Теорема 20. Если гипотеза 1 верна, то статистика ( , ) слабо сходится при , → ∞ к распределению Колмогорова.

Критерий Колмогорова — Смирнова асимптотического размера ε отвергает основную гипотезу, если значение статистики Колмогорова ( , ) превосходит квантиль ζ1−ε уровня 1−ε распределения Колмогорова.

Рассмотрим ещё один критерий для проверки гипотезы 1 =

= { = }.

Критерий Вилкоксона, Манна и Уитни также используют, если

и имеют непрерывные функции распределения. Составим из

и зададим статистику критерия ρ( , ) как ρ( , ) = 02( )/ 02( ). Наряду с распределениями Стьюдента и хи-квадрат в статистике

часто используется распределение Фишера. Говорят, что случайная величина , имеет распределение Фишера с и степенями свободы, если она распределена так же, как случайная величина

χ2 / ,

χ2 /

где случайные величины χ2 и χ2 независимы и имеют распределения хи-квадрат с и степенями свободы соответственно..

Теорема 22. При верной гипотезе 1 величина ρ( , ) имеет распределение Фишера с − 1 и − 1 степенями свободы.

Основная гипотеза принимается критерием Фишера, если статистика критерия попадает в интервал [ 1, 2], где 1 и 2 суть квантили уровней ε/2 и 1 −ε/2 соответственно распределения Фишера с −1 и − 1 степенями свободы.

Критерий Стьюдента. Пусть имеются две независимые выборки: выборка = ( 1, . . . , ) из нормального распределения с параметрами 1 и σ2 и выборка = ( 1, . . . , ) из нормального распределения с параметрами 2 и σ2 с неизвестными средними и одной и той же неизвестной дисперсией σ2. Проверяется сложная

гипотеза 1 = { 1 = 2}. Статистика критерия Стьюдента:

Теорема 23. При верной гипотезе 1 величина ( , ) имеет распределение Стьюдента с + − 2 степенями свободы.

Критерий Стьюдента точного размера ε отвергает основную гипотезу, если значение | ( , )| превосходит квантиль 1−ε/2 уровня 1 − ε/2 распределения Стьюдента с + − 2 степенями свободы.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 16.1. При переписи населения Англии и Уэльса в 1901 г. было зарегистрировано (с точностью до тысячи) 15 729 000 мужчин и 16 799 000 женщин; 3 497 мужчин и 3 072 женщины были зарегистрированы как глухонемые от рождения. Проверить гипотезу о том, что глухонемота не связана с полом.

Решение

Можно использовать критерий, основанный на том, что при верной основной гипотезе о равенстве параметров двух распределений Бернулли статистика

= √

−

*(1 − *)(1/ + 1/ )

(нормированное расстояние между выборочными средними) слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Здесь через и обозначены объёмы независимых выборок 1, . . . , и1, . . . , соответственно, а * — оценка для параметра , полученная по объединённой выборке в предположении справедливости основной гипотезы:

+

Подставив данные задачи, получим значение = 7,91489. Реально достигнутый уровень значимости равен (практически точно, так как объёмы выборок очень велики)

ε* = P(|ξ| > ) = 2Φ(7,91),

где ξ имеет стандартное нормальное распределение. Правая часть равна 0 с большой степенью точности. Тем самым следует отвергнуть основную гипотезу, так как статистика критерия даёт такое громадное отклонение, какое при верной основной гипотезе может получиться лишь с почти нулевой вероятностью.

Задача 16.2. Доказать состоятельность критерия Фишера.

Решение

Читателю предлагается убедиться в том, что последовательность квантилей δ = δ( , ) распределения Фишера F , любого уровня δ (0, 1) сходится к единице при , → ∞ (см. задачу ).

Для доказательства состоятельности критерия Фишера осталось предположить, что гипотеза 1 неверна, т. е. σ1 ̸= σ2. Но, как сле-

статистике критерия оставаться 2зажатой в границах, сходящихся к единице, стремится к нулю:

α2(δ) = P 2 ( ε/2 < ρ( , ) < 1−ε/2) → 0 при , → ∞.

Задача 16.3. По двум независимым выборкам из нормальных распределений найдены выборочные средние = 136,53 и =

=142,21, а также несмещённые выборочные дисперсии 02( ) =

=2,7 и 02( ) = 3,3. Объёмы выборок равны 13 и 10 соответственно. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу равенства средних1 = { 1 = 2} при односторонней альтернативе 1 = { 1 < 2}.

Решение

Проверим сначала критерием Фишера гипотезу равенства дисперсий. Дисперсионное отношение равно (делим для удобства большую дисперсию на меньшую и используем односторонний критерий)

Найдём по таблице из приложения число такое, что

P( 9, 12 > ) = 0,05.

Получаем = 2,8. Поскольку значение статистики критерия 1,222 меньше, чем 2,8, нет оснований отвергнуть гипотезу равенства дисперсий.

Воспользуемся критерием Стьюдента для проверки равенства средних. Вычислим статистику критерия Стьюдента:

Поскольку альтернатива односторонняя, критическая область бу-

дет иметь вид ( , ) − , где таково, что P( 21 > ) = 0,05. Получим = 1,72. Видим, что значение статистики критерия попада-

ет в критическую область: −7,853 < −1,72, поэтому основную гипотезу о равенстве средних следует отвергнуть в пользу альтернативы: истинное математическое ожидание у первой выборки меньше, чем у второй.

Заметим, что при такой большой разнице средних даже весьма «нетребовательный» критерий с размером ε = 0,0005, почти никогда не отвергающий основную гипотезу, всё равно вынужден будет отвергнуть наше предположение, поскольку −7,853 < −3,82.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 16.4. Пусть 1, . . . , — выборка объёма из нормального распределения со средним и единичной дисперсией, и пусть1, . . . , — выборка объёма из нормального распределения со средним и единичной дисперсией; выборки и независимы. Проверяется гипотеза о близости математических ожиданий и . Основная гипотеза 1 = { = } принимается, если − 1. Иначе принимается альтернатива 2 = {| − | > 1}. Является ли данный критерий состоятельным (при , → ∞)? Найти вероятность ошибки первого рода этого критерия.

Задача 16.5. Пусть 1, . . . , — выборка объёма из нормального распределения со средним и единичной дисперсией, и пусть1, . . . , — выборка объёма из нормального распределения со средним и единичной дисперсией; выборки и независимы.

Известно, что . Проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий и . Основная гипотеза 1 = { = } принимается, если

√

− .

+

Впротивном случае принимается альтернатива 2 = { > }. Здесь> 0 — заранее выбранное число. Найти размер данного критерия в зависимости от . Проверить состоятельность этого критерия.

Задача 16.6. Пусть 1, . . . , — выборка объёма из нормального распределения со средним и известной дисперсией σ21, и пусть1, . . . , — выборка объёма из нормального распределения со средним и известной дисперсией σ22; выборки и независимы. Рассматривается основная гипотеза 1 = { = } против альтернативы 2 = { > }. Построить какой-нибудь состоятельный критерий размера ε, основываясь на статистике

Задача 16.7. Доказать состоятельность критерия Стьюдента.

Задача 16.8. Есть две независимые выборки разного объёма из нормальных распределений с неизвестными математическими ожиданиями и одинаковой единичной дисперсией. Гипотеза о равенстве средних принимается, если пересекаются доверительные интервалы для средних одного и того же заданного уровня доверия. Найти вероятность ошибки первого рода этого критерия.

Задача 16.9. По двум независимым выборкам из нормальных распределений найдены выборочные средние = 13 и = 11, а также несмещённые выборочные дисперсии 02( ) = 7 и 02( ) = 8. Объёмы выборок равны 25 и 40 соответственно. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу равенства средних 1 = { 1 = 2}

при односторонней альтернативе 1 = { 1 < 2}.

Задача 16.10. Вычислить при верной основной гипотезе математическое ожидание и дисперсию статистики Вилкоксона.

Задача 16.11. Даны две числовые выборки из нормальных распределений: выборка

0,319; 1,661; 0,187; 0,994; 1,205; 1,567; 0,654; 1,749; 1,251; 0,996;

−1,531; 1,664; −0,628; 0,673; 1,242; 1,827; 1,363; 2,409; 1,727; 0,789

и выборка

2,877; 0,770; 2,097; 0,723; 0,292; 1,552; 0,541; 1,629; 0,490; 0,408;

0,320; 1,333; 0,573; −0,126; 1,795; 1,285; 1,267; −0,412; 2,069;1,485;

1,483; 0,636; 0,779; −0,241; 1,223; 1,932; 0,823; 1,541; 1,210; 1,302.

Проверить однородность этих распределений.

Задача 16.12. Студент проверяет гипотезу однородности двух независимых выборок из распределения Бернулли. Выборки имеют одинаковый и достаточно большой объём. Студент использует критерий Колмогорова — Смирнова, статистика которого

оказалась равна 1,2. Сравнивая значение статистики критерия с квантилью уровня 0,9 распределения Колмогорова, примерно равной 1,23, студент сделал вывод, что критерий с вероятностью ошибки первого рода ε = 0,1 принимает основную гипотезу.

Примет ли на самом деле критерий асимптотического размера 0,1 проверяемую гипотезу, если выборки действительно взяты из одного и того же распределения Бернулли с вероятностью успеха

= 1/5?

Задача 16.13. Пусть δ = δ( , ) — квантиль уровня δ (0, 1) распределения Фишера с и степенями свободы. Доказать, чтоδ → 1 при , → ∞.