Математическая статистика. Учебное пособие

Также полезно заметить, что функции распределения случайных

величин ( ) и θ − (1) совпадают, т. е. ( ) и θ − (1) одинаково распределены. Значит, E (1) = θ − E ( ) и D (1) = D ( ).

Задача 1.18. Найти совместную функцию распределения минимального и максимального членов вариационного ряда для выборки из некоторого распределения с функцией распределения .

Решение

Найдём (1), ( ) ( , ) = P( (1) < , ( ) < ). Воспользуемся известной формулой P( ) + P( ) = P( ):

P( (1) < , ( ) < ) = P( ( ) < ) − P( (1) , ( ) < ).

Если < , то

P( (1) < , ( ) < ) = P( ( ) < ) − P( (1) , ( ) < ) =

=( ) − P( 1 , . . . , , 1 < , . . . , < ) =

=( ) − P( 1 < , . . . , < ) =

=( ) − ( ( ) − ( )) .

Если , то P( (1) , ( ) < ) = 0 и, следовательно,

Задача 1.19. Для выборки из равномерного распределения на отрезке [0, θ] найти ковариацию минимального (1) и максимального ( ) членов вариационного ряда.

Решение

Так как ( ) = /θ при [0, θ], то из предыдущей задачи найдём совместную функцию распределения (1) и ( ):

Задача 1.20. Для выборки из равномерного распределения на отрезке [0, θ] найти предельное при → ∞ распределение случайной величины:

Таким образом, последовательность случайных величин (1)/θ при→ ∞ слабо сходится к показательному распределению с параметром 1:

Здесь и далее символом будем обозначать слабую сходимость. б) Так как случайные величины (1) и θ− ( ) одинаково распре-

делены (выписать функции распределения этих случайных величин, пользуясь задачей ), то предельные распределения последовательностей (1)/θ и (θ − ( ))/θ будут совпадать:

Задача 1.21. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Зафиксируем натуральное число . Доказать слабую сходимость при → ∞ распределения случайной величины:

а) ( )/θ; б) (θ − ( − +1))/θ

к Γ-распределению с параметрами 1 и .

Последнее выражение равно вероятности получить ровно −1 успех в − 1 испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха −1 = = / . Воспользовавшись оценкой скорости сходимости в теореме Пуассона, для любого [0, ] получаем оценку

Следовательно, имеет место равномерная по 0 из любого компакта сходимость плотности ( ) к плотности Γ-распределения:

Равномерная на компактах сходимость плотностей влечёт слабую сходимость распределения величины ( )/θ к Γ-распределению с параметрами 1 и .

б) Убедиться, что плотности распределения случайных величин(θ − ( − +1))/θ и ( )/θ совпадают.

Задача 1.22. Пусть * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из некоторого распределения с функцией распределения . Доказать, что для любых R и {0, 1, . . . , } справедливо равенство

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что I( < ) имеет распределение Бернулли с параметром ( ) − ( ).

Если же > , то

D( *( ) − *( )) = D( *( ) − *( )) =

=1 ( ( ) − ( ))(1 − ( ) + ( )).

Задача 1.24. Пусть * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из некоторого распределения с непрерывной функцией распределения . Доказать, что при любом [0, 1] справедливо равенство

где * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из равномерного распределения на отрезке [0, 1] (это свойство используется при построении критерия Колмогорова и называется

непараметричностью этого критерия).

Решение

Для произвольной функции распределения обозначим через

−1 её квантильное преобразование:

Если функция непрерывна, то ( −1( )) = для любого (0, 1), и, следовательно, если случайная величина ξ имеет непрерывную функцию распределения , то (ξ) имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]:

Обозначим = ( ), = 1, . . . , . Тогда случайные величины 1, . . . , имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1].

Пусть * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке 1, . . . , . Сделаем замену = ( ). Тогда

Задача 1.25. Пусть 1, . . . , — выборка из показательного распределения с параметром 1. Описать класс числовых последовательностей таких, что последовательность √ ( *(2) − ) слабо сходится при → ∞ к некоторому нормальному распределению.

Решение

Воспользуемся центральной предельной теоремой для последовательности независимых случайных величин ξ = I( < 2) из распределения Бернулли с параметром = (2) = 1 − −2:

где σ2 = DI( 1 < 2) = −2(1 − −2).

Нетрудно заметить, что предельное распределение последовательности √ ( *(2) − ) будет нормальным тогда и только тогда, когда = (2) + δ , где числовая последовательность δ такова, что δ √ → при → ∞, | | < ∞.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1.26. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения с плотностью

{

2/ 3, если 1,

( ) =

0, если < 1.

Какое распределение имеет выборка 1, . . . , , где = 1 − 1/ 2?

Задача 1.27. Пусть 1, . . . , — выборка из некоторого распределения с непрерывной функцией распределения . Какое распределение имеет выборка 1, . . . , , где = ( )?

Задача 1.28. Пусть 1, . . . , — выборка из дискретного рас-

пределения с вероятностями P( 1 = ) = , где ∑ = 1. Найти распределение -й порядковой статистики ( ). =0

Задача 1.29. Пусть 1, . . . , — выборка из показательного распределения с параметром α.

а) Доказать, что случайные величины (1), (2) − (1), . . . ,( ) − ( −1) независимы.

б) Найти распределение минимального члена вариационного ря-

да (1).

в) Найти распределение разности соседних порядковых стати- стик ( +1) и ( ).

Задача 1.30. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения, функция распределения которого удовлетворяет условию

Здесь и далее символом p будем обозначать сходимость по ве-

→

роятности.

Задача 1.31. Пусть 1, . . . , — выборка из распределения с конечным математическим ожиданием. Доказать, что (1)/ → 0 и( )/ → 0 почти наверное при → ∞.

Задача 1.32. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Для любых фиксированных 1 и1 найти совместное предельное при → ∞ распределение случайного вектора

( ( )/θ, (θ − ( − +1))/θ).

Задача 1.33. Пусть 1, . . . , — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 1]. Доказать, что если = ( ) → ∞ при→ ∞ так, что / → (0, 1), то последовательность случайных величин √ ( ( ) − / ) слабо сходится к нормальному распределению с нулевым средним и дисперсией (1 − ).

Задача 1.34. Пусть 1, . . . , — выборка из показательного распределения с параметром α. Найти предельное при → ∞ распределение последовательности α ( ) − ln .

Задача 1.35. По выборке объёма из распределения Бернулли с параметром построить график эмпирической функции распределения *.

Задача 1.36. Пусть > 0 и — два фиксированных действительных числа. Пусть * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке 1, . . . , , а * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке 1, . . . , , где = + . Доказать, что при всех R имеет место равенство

Задача 1.37. Пусть * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке 1, . . . , , а * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке 1, . . . , , где = ( ) и — монотонно возрастающая непрерывная функция. Доказать, что при всех R и (0, 1) справедливо равенство

P( *( ) < ) = P( * ( ( )) < ).

Задача 1.38. Какова вероятность наличия у эмпирической функции распределения хотя бы одного скачка размера 2/ , если функция распределения выборки непрерывна?

Задача 1.39. Пусть * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из произвольного распределения с функцией распределения . Доказать, что при любом [0, 1] справедливо равенство

где * — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из равномерного распределения на отрезке [0, 1].