Математическая статистика. Учебное пособие

УДК 519.22 ББК 22.172я73 Б194

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент Н. И. Чернова

Б194 Бакланов, Е. А.

Математическая статистика : учеб. пособие / Е. А. Бакланов, А. А. Быстров ; Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2023. — 268 с.

ISBN 978-5-4437-1424-0

Учебное пособие является руководством к решению задач по математической статистике и содержит развёрнутое обсуждение стандартных и нестандартных приёмов решения задач, а также перечень задач для самостоятельного решения. Подбор задач соответствует курсу лекций и семинаров по математической статистике, традиционно проводимых на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета.

Пособие предназначено для студентов третьего курса механикоматематического факультета НГУ всех направлений, но будет полезно студентам других факультетов, а также преподавателям математической статистики.

УДК 519.22 ББК В172я73

Рекомендовано к печати кафедрой теории вероятностей и математической статистики механико-математического факультета НГУ (протокол № 2/23 от 09.11.2023)

ISBN 978-5-4437-1424-0 © Новосибирский государственный университет, 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

. . . . . . . . . . . . . . . . 252

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие содержит указания и подробные решения задач по математической статистике, большая часть из которых предлагается на семинарских занятиях студентам третьего курса механикоматематического факультета НГУ.

Цель настоящего пособия — предложить студентам и начинающим преподавателям образцы решения задач с подробным обсуждением, что поможет лучше усвоить материал практических занятий.

Пособие разбито на 16 глав. Разбиение соответствует семестровому курсу семинарских занятий по математической статистике. В начале каждой главы приводятся необходимые теоретические сведения. Все приведённые утверждения содержатся в курсе лекций.

Приложение содержит таблицы значений функций распределения стандартного нормального закона и распределения Колмогорова, значений квантилей распределений хи-квадрат, Стьюдента и Фишера.

Большая часть задач заимствована из задачника Д. А. Коршунова и Н. И. Черновой, являющегося основным задачником по курсу математической статистики на третьем курсе ММФ НГУ.

Авторы выражают искреннюю благодарность Н. И. Черновой, без чьей неоценимой поддержки это пособие не могло появиться на свет. Авторство значительной части решений в главах 10–14 принадлежит именно ей.

Г Л А В А 1

Выборочные характеристики

Основным объектом исследования в математической статистике является выборка = ( 1, . . . , ), т. е. набор значений некоторой случайной величины, полученный в результате независимых воспроизведений эксперимента. Иначе говоря, выборка представляет собой случайный вектор, координаты которого — элементы выборки (наблюдения) 1, . . . , — независимые случайные величины, имеющие общее распределение (частично или полностью неизвестное) с функцией распределения . Будем говорить в этом случае, что имеется выборка из распределения . Число называется

объёмом выборки.

Эмпирическим распределением P* , построенным по выборке = = ( 1, . . . , ), называется распределение, определяемое для любого борелевского множества R равенством

где #( ) — число элементов выборки, попавших в множество . Для каждого фиксированного элементарного исхода P* есть распределение на R. Для каждого фиксированного борелевского множества отображение P* ( ): Ω → R есть случайная величина.

Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке = ( 1, . . . , ), называется функция

где случайная функция переменной R

называется индикатором события { < }.

Заметим, что эмпирическая функция распределения, построенная по выборке , является случайной функцией, поскольку определяется через элементы выборки 1, . . . , , являющиеся случайными величинами. В то же время любая реализация = ( 1, 2, . . . , ) выборки порождает соответствующую реализацию эмпирической функции распределения (по той же формуле), которая является обычной (а не случайной) функцией распределения. Для каждого фиксированного числа отображение *( ): Ω → R есть случайная величина.

В силу определения для каждого R имеет место равенство

*( ) = P* ((−∞, )).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1 (Гливенко — Кантелли). Пусть 1, . . . , — выборка из распределения с функцией распределения и пусть * — эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Тогда почти наверное при → ∞ имеет место сходимость

sup | *( ) − ( )| → 0.

R

Если эмпирическая функция распределения * является выборочным аналогом неизвестной теоретической функции распределения (её называют также оценкой для ), то выборочным аналогом

8 Глава 1. Выборочные характеристики

для теоретической плотности распределения является гистограм-

ма, или эмпирическая плотность распределения, которая строится по выборке = ( 1, . . . , ) следующим образом.

Разобьём область выборочных данных на интервалы 1, . . . , и построим ступенчатую функцию *( ), которая на каждом интер-

ма, построенная по этой выборке. Если плотность непрерывна в точке и число интервалов группировки = ( ) → ∞ так, что( )/ → 0, то почти наверное при → ∞ имеет место сходи-

мость *( ) → ( ).

Статистикой называется любая измеримая (борелевская) функция выборки, т. е. любая (вообще говоря, многомерная) случайная величина вида ( 1, . . . , ), где — измеримая функция из R в R .

Важными примерами статистик являются выборочные моменты «порядка »:

где — измеримая скалярная функция. В частности, при ( ) = имеем так называемый k-й выборочный момент:

= 1 ∑ .

=1

а несмещённой выборочной дисперсией назовём случайную величину

Если элементы выборки 1, . . . , упорядочить по возрастанию, то получится новый набор случайных величин, называемый

вариационным рядом:

(1) (2) . . . ( ).

Случайная величина ( ), = 1, . . . , , называется -й порядковой статистикой, или -м членом вариационного ряда. В частности, случайная величина (1) = min{ 1, . . . , } называется минималь-

ным членом вариационного ряда, а ( ) = max{ 1, . . . , } — мак-

симальным.

Следует отметить, что случайные величины (1), . . . , ( ) являются попарно зависимыми и разнораспределёнными.

Выборочной медианой называется случайная величина

Выборочной квантилью ζ*δ уровня δ (0, 1) называется порядковая статистика ([ δ]+1), где [ ] — целая часть числа .

10 Глава 1. Выборочные характеристики

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.1. Пусть дана числовая выборка

= (0; 2; 1; 2,6; 3,1; 4,6; 1; 4,6; 6; 2,6; 6; 7; 9; 9; 2,6).

Построить график эмпирической функции распределения.

Решение

Построим вариационный ряд

(0; 1; 1; 2; 2,6; 2,6; 2,6; 3,1; 4,6; 4,6; 6; 6; 7; 9; 9)

и эмпирическую функцию распределения (рис. 1).

Рис. 1. Эмпирическая функция распределения

Эта функция является функцией распределения случайной величины, принимающей значение 0 с вероятностью 151 , значение 1 с вероятностью 152 , значение 2 с вероятностью 151 и т. д.