Квантовые и оптические процессы в твердых телах. Теория и практика. Учебное пособие

волновых функций ψ и их производных по координате в точках x = 0 и x = l (см. рис. 31):

ψ1 (0) =ψ 2 (0); ψ 2 (l) =ψ3 (l); ψ1/ (0) =ψ 2/ (0); ψ 2/ (l) =ψ3/ (l).

Четыре этих условия позволяют выразить коэффициенты А2, А3, В1 и В2 через А1 и, следовательно, найти коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера:

где Do - постоянный множитель, близкий к единице.

Для потенциального барьера произвольной формы, когда U = U(x), в условиях квазиклассического приближения можно получить:

где координаты х1(начало барьера) и х2(конец барьера) находятся из условия U(x1) = U(x2) = E.

1.13.Туннельный эффект в р−n-переходе с вырожденными р- и n- областями

Туннельный эффект является основой действия обширного класса полупроводниковых приборов - туннельных диодов (ТД), в которых р−n-переход, образован из сильно легированных полупроводников.

При большой концентрации доноров в n-полупроводнике и акцепторов в р-полупроводнике взаимодействие между примесными атомами столь велико, что их донорные уровни образуют донорную зону, перекрывающуюся с зоной проводимости, а акцепторые уровни - акцепторную зону, перекрывающуюся с валентной зоной. Слияние примесных зон с основными происходит при некоторой критической концентрации примеси. Запрещенная зона при этом сужается, а уровень Ферми Еф располагается внут-

61

ри зоны проводимости для n-полупроводника и внутри валентной зоны для р-полупроводника. Такие примесные полупроводники

называютс вырожденными, а величины u n = (Eф - Епn)/e и

u p= (Eвp - Еф)/e - степенями вырождения соответственно донор-

ного и акцепторного полупроводников. Здесь Епn - энергия дна зоны проводимости n-полупроводника, а Eвp - энергия потолка валентной зоны р-полупроводника. Степени вырождения обычно составляют несколько kT/e.

Для р-n-переходов, образованных вырожденными полупроводниками высота барьера близка к ширине запрещенной зоны, а ширина переходного слоя меньше в 10-100 раз чем для обычных полупроводников и составляет около 10-8 м. Таким образом, при выравнивании уровней Ферми происходит перекрытие зоны проводимости n-области и валентной зоны р-области. Области с различным типом проводимости разделены узким потенциальным барьером (рис. 32), который характеризуется большой напряженностью электрического поля объемных пространственных зарядов порядка (6-7)×107 В/м. При этом упрощение функции Ферми и использование статистики МаксвеллаБольцмана недопустимо, поэтому на рис. 32 построен график функции Ферми fф(E) для данного случая. Сплошными линиями показаны плотность электронных состояний nn(E) = rn(Е)×fф(Е), занятых электронами в n-области, и плотность свободных электронных состояний в р-области рр(Е) = rр(Е)×fф(Е), которые могут быть заняты электронами из n-области. Штриховкой показано распределение электронов по энергиям в n- и р- областях. Разность rn(Е) - nn(Е) представляет собой плотность свободных электронных состояний в n-области, которые могут быть заняты электронами из р-области.

62

Рис. 32. Энергетическая диаграмма р−n-перехода и распределение электронов по энергии в вырожденных n- и р- областях при отсутствии смещения

Для того чтобы электроны могли проходить сквозь барьер за счет туннельного эффекта, необходимо, чтобы против занятого электроном состояния по одну сторону барьера имелось свободное состояние по другую сторону барьера.

При отсутствии внешнего смещения (напряжения u) усло-

вия для туннельного перехода электронов из n-области в р-область соответствуют условиям туннельного перехода электронов обратно. Сквозь переход протекают два встречных потока электронов, которые уравновешивают друг друга. Электроны проводимости из n-области переходят на свободные уровни в валентной зоне p-области. Валентные электроны из р-области пере-

63

ходят на свободные уровни в зоне проводимости n-области. Результирующий ток через переход отсутствует.

При подаче на р−n-переход отрицательного смещения − u

перекрытие зон возрастает (рис. 33). При этом возрастают плотность состояний nр(Е), занятых электронами в р-области, по отношению к плотности состояний, занятых электронами в n- области, и плотность свободных электронных состояний в n- области по отношению к плотности свободных электронных состояний в р-области. Таким образом увеличивается вероятность туннельных переходов электронов из р- в n-область по сравнению с обратными переходами. Через переход в обратном направлении будет течь суммарный туннельный ток, возрастающий с величиной обратного смещения.

При подаче на туннельный р−n-перехода небольшого положительного смещения границы зоны проводимости в n-области и валентной зоны в р-области будут сближаться. Будут сближаться и точки максимумов занятых состояний в электронном полупроводнике (1) и свободных состояний в дырочном полупроводнике (2) (рис. 34). Вероятность туннельных переходов электронов из n-области в p-область возрастает.

Вероятность обратного перехода электронов будет падать, так как плотность занятых состояний в р-области с энергией выше дна зоны проводимости Епn будет убывать. Количество электронов, проходящих из n-области в р-область, будет значительно превышать количество электронов, проходящих в обратном направлении. Через переход потечет прямой ток.

64

Рис. 33. Взаимное положение энергетических зон для электронной и дырочной областей туннельного р−n-перехода при отрицательном смещении

В случае, показанном на рис. 34, когда максимуму занятых состояний соответствует максимум свободных состояний, вероятность перехода электронов из n-области в р-область будет наибольшей и туннельный ток достигнет максимального значения.

При дальнейшем увеличении прямого смещения туннельный ток через переход будет падать, так как при этом уменьшается и плотность занятых состояний в n-области. Когда границы зоны проводимости и валентной зоны совпадут, против занятых состояний будут находиться уровни запрещенной значений энергии (рис. 35). Туннельный переход электронов не будет больше возможен и туннельный ток прекратится.

65

Рис. 34. Взаимное положение энергетических зон для электронной и дырочной областей туннельного р−n-перехода при положительном смещении, соответствующем максимуму туннельного тока

Таким образом, вольт-амперная характеристика туннельного р−n-перехода должна иметь максимум, соответствующий максимуму туннельного тока, и минимум, соответствующий прекра-

щению туннельного тока при u мин = u n + u р (рис. 36). Падающий участок вольтамперной характеристики соответствует области отрицательного дифференциального сопротивления Rд,

то есть ddIu = RД < 0 .

66

Рис. 35. Взаимное положение энергетических зон для электронной и дырочной областей туннельного р−n-перехода при положительном смещении, соответствующем прекращению туннельного тока

67

Рис. 36. Вольт-амперная характеристика туннельного диода

Не следует забывать, что при положительных смещениях будет иметь место инжекция электронов из электронной области в дырочную и инжекция дырок из дырочной области в электронную как и в обычном р−n-переходе. Поэтому полная вольтамперная характеристика диода, после падающего участка имеет восходящую ветвь (рис. 36)

68

ЧАСТЬ 2. ОПТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРАХ

2.1. Поглощение света веществом

Многие вещества и их растворы являются прозрачными для видимого электромагнитного излучения (света). В основном это относится к веществам с ионным типом связи (окислы, щелочи, кислоты, соли), которые прозрачны почти для всех частот вплоть до некоторой граничной частоты, называемой также основной или граничной частотой поглощения. Для излучения более высоких частот они непрозрачны. Это обусловлено тем, что высшие уровни электронных состояний заполненной зоны не имеют непосредственно примыкающих к ним свободных уровней. Однако при частотах выше граничного значения энергия фотонов становится достаточно большой, чтобы возбудить электроны и перебросить их через запрещенную зону на незанятые уровни. Все такие фотоны поглощаются полностью. Типичная кривая поглощения показана на рис. 37.

Рис. 37. Частотная зависимость поглощения электромагнитного излучения веществом

Основная частота поглощения для веществ с ионным типом связи находится в ультрафиолетовой области, где энергия фотонов превышает 4 эВ. Для большинства полупроводников

69

граничная частота поглощения расположена в красной или инфракрасной области спектра. Металлы поглощают все виды электромагнитного излучения.

На рис. 37 показано, что и при частотах меньше основной имеется несколько максимумов поглощения. Максимум при наименьшей частоте обусловлен колебаниями расположенных в узлах кристаллической решетки ионов, возникающих под действием сил электрического поля электромагнитной волны при совпадении частоты излучения с частотой собственных колебаний ионов (резонансное поглощение). Собственная частота колебаний ионов в твердом теле, равная примерно 1013 Гц, находится в инфракрасной области спектра.

Второй максимум поглощения обусловлен примесями или дефектами кристаллических решеток. Поскольку в веществе с ионным типом связи может оказаться множество примесей или дефектов различного рода, то может быть обнаружен целый ряд таких максимумов. Они вызываются электронами, связанными с примесью или дефектом решетки менее сильно, чем электроны атомов или ионов основной решетки. И поэтому их легче возбудить и перебросить на уровни незаполненной зоны. Полосы примесного поглощения встречаются обычно в видимой части спектра. Именно они обуславливают окраску многих веществ с ионным типом связи. Например, корунд - окисел алюминия Al2O3 в чистом виде не окрашен. Примеси трехвалентного хрома дают красную окраску рубинов, обусловленную полосой поглощения света с максимумом около 550 нм. А примеси трехвалентного железа - голубую окраску сапфиров. Чистые и совершенные кристаллы NaCl не окрашены, но наличие в кристаллической решетке вакантных узлов, образовавшихся при удалении части отрицательных ионов, приводит к тому, что кристаллы желтеют.

При прохождении света через вещество возбужденные в результате поглощения фотонов электроны возвращаются в основное состояние, отдавая энергию обратно частично в виде электромагнитного излучения, и частично - в виде тепловых колеба-

70