Квантовые и оптические процессы в твердых телах. Теория и практика. Учебное пособие

dW

ность вырождения g, получим число состояний g h3 с энергия-

ми от Е до Е + dЕ. Разделив полученное число состояний на величину интервала энергий dE и на рассматриваемый объем вещества V, получим плотность квантовых состояний в единице объема вещества

Энергия свободной частицы равна кинетической энергии и определяется импульсом частицы р, то есть

где m - масса частицы. Объем dΩ равен объему шарового слоя радиуса р и толщины dp, умноженному на рассматриваемый объем вещества:

ванная область соответствует числу квантовых состояний в единице объема вещества, приходящихся на интервал dE.

Обозначим вероятность заполнения ячейки в фазовом про-

странстве размером h3 через f(E). Функция f(E) называется функцией распределения по состояниям. Тогда среднее число частиц в состоянии с конкретным значением энергии Е будет опре-

11

деляться функцией распределения, то есть среднее число частиц, обладающих энергией Е, равно g× f(E), и среднее число частиц в единице объема с энергией от E до E + dE будет равно

Рис. 3. Распределение плотности квантовых состояний по энергии свободной частицы

Если проинтегрировать его по всем доступным значениям энергии, то есть от 0 до ¥, то получится общее число частиц в единице объема системы

Частицы, которые обладают полуцелым спином и подчиняются принципу Паули (например, электроны), называются фермионами. Идеальный газ из фермионов - Ферми-газ - описывается квантовой статистикой Ферми - Дирака. Функция распределения Ферми - Дирака имеет вид:

12

и определяет вероятность заполнения состояния с энергией Е. Здесь μ - химический потенциал, который равен изменению внутренней энергии системы при изменении числа ее частиц на единицу при данных условиях. При температуре Т = 0 К функция распределения Ферми - Дирака выглядит следующим образом

(рис. 4):

Рис. 4. Функция распределения Ферми - Дирака при 0 К (сплошная линия) и при некоторой температуре Т > 0 (пунктирная линия)

То есть при Т = 0 К все состояния (уровни) с энергией в интервале от 0 до μ заняты электронами. Среднее число электронов на каждом таком уровне при кратности вырождения g = 2 равно двум. Последний заполненный уровень, соответствующий энергии Еф = μ, называется уровнем Ферми, а энергия Еф - энергией Ферми. Уровни, соответствующие Е > Еф, остаются свободными, то есть вероятность их заполнения равна нулю: fф(Е) = 0.

Таким образом, энергия Ферми Еф - это максимальная энергия, которой могут обладать электроны при 0 К. Эта величи-

13

на является характеристикой металла или полупроводника. При Е = Еф независимо от температуры выполняется равенство

fф(Е) = 0,5 (рис. 4), то есть уровень Ферми представляет собой уровень энергии, среднее число заполнения которого электронами при любой температуре равно 1.

Используя выражение (6) можно написать для среднего числа электронов с энергиями от Е до Е + dE при Т = 0 К:

На рис. 5 показан график функции n(E) для Т = 0 К и Т > 0 К, характерной для свободных электронов в металлах.

Рис. 5. Распределение электронов по энергиям при Т = 0 К (сплошная линия) и при Т > 0 К (пунктир)

При T > 0 К электроны под действием теплового возбуждения переходят на более высокие энергетические уровни, причем переходы совершают только электроны, находящиеся в узкой энергетической полосе порядка kT вблизи уровня Ферми. В результате энергия части электронов становится больше Еф (рис. 4). Электронам, находящимся на более глубоких энергетических уровнях этой энергии ~ kT не хватает для перехода на бо-

14

лее высокие уровни. Поэтому при небольшом повышении температуры размывается только “хвост” функции распределения fф(Е).

В области больших энергий, то есть при Е - Еф >> kT (это выполняется в области “хвоста” кривой распределения) единицей в знаменателе выражения (8) можно пренебречь. Тогда функция Ферми - Дирака принимает вид

и переходит в классическую функцию распределения Максвелла - Больцмана fМ-Б(E).

1.3.Электропроводность металлов

1.3.1.Классическая теория

Согласно классической теории электронный газ в кристаллической решетке металла подобен одноатомному идеальному газу. Свободные электроны движутся по законам классической механики, а их распределение по энергиям и скоростям движения подчиняется классической статистике Максвелла - Больцмана.

Согласно классической теории электропроводности метал-

лов:

где σ - удельная электропроводность, измеряемая в Ом-1×м-1, ρ - удельное сопротивление (имеет ед. измерения Ом×м),

áλñ - средняя длина свободного пробега электрона (в метрах), n – количество электронов в единице объема ([n] = м-3),

áuñ - средняя тепловая скорость ([áuñ] = м/с), е - заряд электрона, равный -1,6×10-19 Кл, m - его масса, равная 9,11×10-31 кг.

От температуры зависит только áuñ, причем áuñ ~ T . Значит, при увеличении температуры электропроводность должна

15

уменьшаться пропорционально 1T , однако из эксперимента следует, что σ ~ T1 .

1.3.2. Квантовая теория

Квантовая теория электропроводности, основанная на квантовой механике и квантовой статистике Ферми - Дирака, пересмотрела выводы классической теории. Расчет электропроводности металлов на основе этой теории приводит к следующему выражению:

где

ál(ЕФ)ñ - средняя длина свободного пробега электронов, имеющих энергию Ферми;

áu(ЕФ)ñ - средняя тепловая скорость электронов, имеющих энергию Ферми.

Это выражение похоже на классическое, но имеет другой физический смысл. Здесь в электропроводности участвуют только электроны из области, прилегающей к уровню Ферми и имеющие реальную возможность за счет энергии электрического поля перейти в более высокие по энергии незанятые состояния. Поэтому учитываются средняя длина свободного пробега электронов ál(Еф)ñ, имеющих энергию Ферми, и средняя скорость áu(Еф)ñ таких электронов.

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка, в узлах которой расположены неподвижные частицы и отсутствуют нарушения периодичности, “электронные волны” не рас-

16

сеивает. В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, такие, как примеси, вакансии, тепловые колебания и т. д. В такой кристаллической решетке происходит рассеяние “электронных волн” на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов. Если согласно клас-

сической теории áuñ ~ T , то по квантовой теории средняя скорость áu(Еф)ñ от температуры практически не зависит, так как уровень Ферми в металлах зависит от температуры очень слабо. Однако с повышением температуры рассеяние электронных волн на тепловых колебаниях кристаллической решетки (фононах) возрастает, что приводит к уменьшению ál(Еф)ñ, причем

ál(Еф)ñ ~ T1 . Учитывая, что средняя скорость электронов с энер-

гией Ферми áu(Еф)ñ почти не зависит от температуры, из выраже-

ния (11) получаем: σ = ρ1 ~ T1 , что соответствует эксперимен-

тальным данным.

1.4. Полупроводники

Полупроводниками называются кристаллические вещества, у которых при Т = 0 К валентная зона полностью заполнена электронами, зона проводимости свободна, а ширина запрещенной зоны DЕ ~ 1¸2 эВ. Полупроводники обязаны своим названием тому, что по электропроводности при нормальных температурах они занимают промежуточное положение между металлами и диэлектриками. Однако характерным для них является не само значение проводимости, а то, что проводимость увеличивается с ростом температуры, тогда как у металлов она уменьшается. К полупроводникам относятся химически чистые вещества, такие как Ge, Si, а также соединения GaAs, InAs и др.

17

1.4.1. Собственные полупроводники

Как уже отмечалось (подраздел 1.1), при Т = 0 К все уровни валентной зоны у собственных полупроводников заполнены электронами и зона проводимости свободна. Поэтому при Т = 0 К они ведут себя как диэлектрики, поскольку электрическое поле не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости (рис. 6, а).

При Т > 0 К часть электронов, определяемая статистическим распределением их по энергии (параграф 1.2), в результате теплового возбуждения, получая энергию Е, переходит с верхних уровней валентной зоны на нижние уровни зоны проводимости, где они становятся “свободными”, то есть могут участвовать в проводимости и переноситься электрическим полем (рис. 6, б). Кроме того, освобождение мест на верхних уровнях валентной зоны приводит к переходу электронов с нижних уровней валентной зоны на освободившиеся места, что может быть представлено как движение положительно заряженных квазичастиц, называемых “дырками”, которые таким образом участвуют в проводимости.

Рис. 6. Энергетическая зонная диаграмма собственного полупроводника при Т = 0 К (а) и при Т > 0 К (б)

18

То есть собственная проводимость является стимулированной, появляясь только под действием внешних факторов (в данном случае температуры). В зоне проводимости возникает некоторое число электронов, одновременно в валентной зоне появляется такое же число “дырок”. То есть в собственном полупроводнике число свободных электронов и дырок одинаково (условие электронейтральности). Уравнение электронейтральности в этом случае имеет вид

где n - концентрация свободных электронов; p - концентрация дырок.

Распределение электронов и дырок по уровням зон описывается функцией Ферми - Дирака (8), а плотность электронных состояний в зонах выражением (5), в котором кинетическая энергия электронов отсчитывается от дна в зоне проводимости (уровень Eп , рис. 7) и от потолка в валентной зоне (уровень Eв,

рис. 7).

Решение уравнения (12) с учетом соотношений (5), (7) и (8) показывает, что уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен точно в середине запрещенной зоны (см. рис. 7).

Рис. 7. Распределение электронов и дырок по энергиям в собственном полупроводнике; Ев - верхний уровень валентной зоны; Еп – нижний уровень зоны проводимости

19

Если Еп - нижний уровень зоны проводимости, то для электронов, перешедших в зону проводимости Еп - Еф = Е/2. Так как уровни энергии вблизи дна зоны проводимости (см. рис. 7) лежат в области «хвоста» функции распределения, и для собственных полупроводников Е >> kT, распределение Ферми - Дирака переходит в распределение Максвелла - Больцмана:

Тогда концентрация свободных электронов и дырок в собственном полупроводнике, пропорциональная fф(Е), равна

где n0 - постоянная, зависящая от температуры и природы полупроводника. Поскольку проводимость пропорциональна концентрации свободных носителей, то получаем:

− E

σ = σ 0e 2kT ,

(14)

где σ0 - постоянная, характерная для данного полупроводника.

При Т → ∞ величина T1 → 0 и, следовательно, σ → σ0.

Таким образом, проводимость полупроводников экспоненциально растет с температурой. С точки зрения зонной теории это объясняется довольно просто: с повышением температуры растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят из валентной зоны в зону проводимости и участвуют в

Следовательно, зависимость σ от Т удобно представлять в полулогарифмическом масштабе, откладывая по оси абсцисс значения

20