Квантовые и оптические процессы в твердых телах. Теория и практика. Учебное пособие

ek - единичный вектор в направлении распространения вол-

ны;

eE , eH - единичные векторы в направлении E и H , r - ра- диус-вектор из начала координат в точку, где рассматриваются колебания векторов E и H ;

(K × r ) - скалярное произведение волнового вектора K и ра-

диус-вектора r .

Существование электромагнитных волн всех типов вытекает из четырех уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

дополненных двумя уравнениями связи для однородной изотропной среды:

ры в направлении осей x, y, z; D - вектор электрического смещения или, что то же самое, вектор электростатической индукции,

измеряемый в Кл/м2; B - вектор магнитной индукции ([B] = Тл =

=H/(А×м) = Вб/м2); J - вектор плотности тока проводимости ([J] = А/м2); σ - удельная электропроводность среды, имеющая ед. измерения Ом-1×м-1; ρ - объемная плотность заряда ([ρ]=Кл/м3); ε0

=8,85×10-12 Ф/м - электрическая постоянная; μ0 = = 4π×10-7 Гн/м -

магнитная постоянная; ε, μ - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

101

Для того чтобы функции (54) и (55) удовлетворяли уравнениям Максвелла, необходимо следующее условие: амплитуды напряженности электрического и магнитного полей должны быть связаны соотношением:

В самом деле, подставив (54) и (55) в (56) с учетом (57) и (58), получим (60) (более подробно см. приложение 1). Учтем, что

можно выразить входящий в (64) и (65) косинус угла преломления:

102

Таким образом, коэффициенты Френеля Rp для отражения света от границы раздела сред 1, 2 и пропускания Тр через эту границу зависят только от абсолютных показателей преломления сред и угла падения ϕ1 света на образец.

Отметим, что с использованием (66) формула (64) может

быть написана в более компактном виде:

Rp = tg((ϕ1 − ϕ2 )) . tg ϕ1 + ϕ2

При ϕ1 + ϕ2 = 90о имеем tg(ϕ1 + ϕ2 )= ∞ и Rp → 0, то есть амплитуда отраженного луча равна нулю. Соответствующий угол

Б. Вектор E перпендикулярен плоскости падения света p, то есть лежит в плоскости s (рис. 52, б).

Рассмотрев проекцию вектора E на ось у и вектора H на ось х (рис. 52, б) и рассуждая аналогично п. А, получим:

E0s + E1s = E2s , H0 cosϕ1 - H1 cosϕ1 = H2 cosϕ2 .

После проведения выкладок, аналогичных выполненным в п. А, получаются выражения для амплитудных коэффициентов отражения Rs и пропускания Ts Френеля для s- компоненты:

Выражения (64), (65), (68) и (69) называются формулами Френеля. Из (64) и (68) следует, что амплитуды р- и s- компонент

103

световой волны после отражения от диэлектрика уменьшаются по сравнению с амплитудами падающей волны.

В. Падающий свет поляризован в плоскости, составляющей угол 45о с плоскостью p.

В этом случае вектор E1 отраженной волны совершает колебания в плоскости, наклон которой определяется отношением р- и s- компонент E1 (рис. 53).

ризованного света, отраженного от диэлектрика. E0 - вектор напряжен-

ности электрического поля падающей волны, E1 - вектор напряжен-

ности электрического поля отраженной волны, ψ - угол наклона плоскости поляризации отраженной волны относительно плоскости S

Угол наклона ψ плоскости поляризации отраженного луча к плоскости S, перпендикулярной к плоскости падения и проходящей через отраженный луч (см. рис. 53), может быть найден из следующего соотношения:

104

Так как в падающей волне Еор = Еos (см. рис. 53), то, разде-

arctgæ n2 ö .

ççè n1 ÷÷ø

Чтобы исключить неоднозначность в определении n2 по формуле (72), угол ϕ1 выбирают заведомо большим, чем ϕ Бр для исследуемой группы материалов (например, стекол). Выбрав угол падения ϕ1 , помещают исследуемый диэлектрик в среду с из-

вестным показателем преломления n1 и измеряют угол ψ. Затем по формуле (72) рассчитывают показатель преломления диэлектрика n2.

Угол ψ может быть измерен простейшим компенсационным эллипсометром, оптическая схема которого представлена на рис. 54.

105

Рис. 54. Упрощенная оптическая схема эллипсометра компенсационного типа. П - поляризатор, О - образец, А - анализатор, s - след плоскости образца, S - след плоскости, перпендикулярной плоскости падения и проходящей через отраженный луч

Он состоит из поляризатора П, то есть поляроида, плоскость пропускания которого составляет угол 45о с плоскостью падения луча Р, и другого поляроида, называемого анализатором А. Перед измерениями плоскость пропускания анализатора А устанавливается параллельно плоскости Р (положение А0 на рис. 55). Вышедшая из поляроида П плоскополяризованная волна с Eop = Eos , отражаясь от образца О, изменяет плоскость поляри-

зации. После этого она попадает в анализатор А. Вращая анализатор А, добиваются, чтобы интенсивность прошедшего через него света стала равна нулю. В соответствии с законом Малюса это происходит, если плоскость пропускания поляризатора А установлена перпендикулярно плоскости колебаний Е1 отраженного луча (положение А1 на рис. 55). Как видно из рис. 55, угол между плоскостями А0 и А1, то есть угол поворота анализатора, равен ψ. На практике применяют более сложные системы для измерения эллипсометрических параметров.

Другой способ определения угла ψ состоит в измерении интенсивностей I1 и I2 р- и s- компонент отраженного луча (рис.56).

106

Рис. 55. Измерение угла ψ компенсационным эл-

липсометром. Е0 и Е1 - положение плоскости

колебаний в падающем и отраженном лучах, Р - плоскость падения луча, Ао и А1 - исходное и конечное положения плоскости пропускания анализатора при измерении

Рис. 56. Упрощенная оптическая схема эллипсометра с двумя анализаторами А1 и А2 с взаимно перпендикулярными плоскостями пропускания

Поставив на пути отраженного луча поочередно анализаторы А1 с плоскостью пропускания P, совпадающей с плоскостью падения луча р, и А2 с плоскостью пропускания S, перпендикулярной плоскости Р (плоскости Р и S на рис. 53) измеряют интенсивности прошедшего света I1 и I2, а tgψ находят из соотноше-

ния:

107

Последнее равенство учитывает, что интенсивность света I пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля в электромагнитной волне (I ~ E2).

3.2. Отражение света от проводящих сред (металлы, полупроводники)

Если выражения (54) и (55), описывающие плоскую электромагнитную волну, подставить в уравнения Максвелла (56) (I и II), то можно получить следующие соотношения, связываю-

щие векторы E и H с волновым вектором плоской электромаг-

При выводе (64) считалось, что среда диэлектрическая, то есть σ = 0 и, следовательно, j = 0.

Из (74) следует выражение (60), которое вместе с выражениями (50), (51) положено в основу вывода уравнений Френеля

(64), (65), (68), (69).

Если среда проводящая (σ ¹ 0), то уравнения (74) приобре-

где i = -1 - мнимая единица.

Комплексным становится и показатель преломления среды

~ = ε n c .

108

ризует отношение их амплитуд.

Волна, отраженная от проводящей поверхности, имеет не равную нулю или 180о разность фаз между р- и s- компонентами

E (D ¹ 0, 180о). Такая волна является эллиптически поляризо-

ванной, то есть конец вектора E с течением времени описывает в пространстве эллипс.

Практически величину D можно определить, если ввести в

схему эллипсометра два дополнительных анализатора А3 и А4 с плоскостями пропускания, составляющими угол 45о с плоскостью S, и на пути отраженного луча, идущего через анализатор А4, поставить компенсатор С, который вносит сдвиг фаз в 90о между р- и s- компонентами при прохождении через него световой волны

(рис. 57).

Необходимость использования компенсатора при определении угла D можно понять из следующих рассуждений. Пусть при отражении от диэлектрического образца |Rp| = |Rs|, то есть то есть

110