Квантовые и оптические процессы в твердых телах. Теория и практика. Учебное пособие

вектор E1 наклонен под углом 45о к плоскости S и имеет величи-

Рис. 57. Оптическая схема эллипсометра с четырьмя анализаторами и компенсатором С. Плоскость пропускания анализатора А1 совпадает с плоскостью падения луча, А2 - совпадает с плоскостью S, А3 и А4 - образует угол 45о с плоскостью S

Ту же величину он будет иметь и после прохождения через анализатор А3: E3 = E1

(рис. 58).

Рис. 58. Уменьшение амплитуды света, отраженного от проводящего образца и прошедшего через анализатор А3 по сравнению с отраженным от диэлектрика. А3 - плоскость пропускания анализато-

ра; E1 , E3 , E3/ - векторы

напряженности электрического поля соответственно для света, отраженного от диэлектрика, отраженного от диэлектрика и прошедшего через анализатор А3, отраженного от проводящего образца и прошедшего через анализатор А3

111

Заменим теперь диэлектрический образец на проводящий, обладающий таким же отношением E1p E1s = tgψ = 1, что

и диэлектрический, но с разностью фаз между p- и s- составляющими = 90о. В результате после отражения получим циркуля-

ционно поляризованный свет, то есть конец вектора E1 описыва-

ет окружность и E1 = E1p = E1s .

Вращающийся вектор E1 находится в плоскости пропуска-

ния анализатора А3 лишь в моменты времени, когда его угол относительно этой плоскости равен 0 или 180о. Поэтому свет, про-

шедший через анализатор, имеет амплитуду E3 < E1 .

Однако, если образец дает сдвиг фаз между р- и s- компонентами = 2700, то также получим циркуляционно поляризованный свет, при этом амплитуда луча, прошедшего через А3, будет такой же, что и при = 90о. Для однозначного определения величины свет, отраженный от образца, пропускается через компенсатор С и анализатор А4. Компенсатор вносит дополни-

тельный сдвиг фаз между р- и s- компонентами E1 величиной

comp = 90о. Если равно 270о или 90о, то после прохождения компенсатора с = 270о + 90о = 360о или с = 90о + 90о = 180о и

свет будет плоскополяризованным. Так как E1p = E1s , то свет

после компенсатора может быть поляризован либо в плоскости А, составляющей с плоскостью S угол 45о, в первом случае (колеба-

ния E1p и E1s совершаются в одной фазе), либо в плоскости В, составляющей с плоскостью S угол 135о, во втором случае (колебания E1p и E1s совершаются в противофазе), (рис. 59).

Таким образом, в случае = 270о и с = 360о свет оказывается поляризован в плоскости А, совпадающей с плоскостью пропускания анализатора А4, и проходит через него без уменьшения амплитуды. Если же = 90о, то с = 180о, свет поляризован в

112

плоскости В, составляющей с плоскостью пропускания А4 угол 90о, и в соответствии с законом Малюса интенсивность света I4, прошедшего через анализатор А4, равна 0.

Рис. 59. Линейная поляризация света, прошедшего через

компенсатор С. Ec/ и Ec// - векто-

ры напряженности электрического поля световой волны, прошедшей через компенсатор при = 270о и

= 90о; А, В - плоскости колебания этих векторов, А4 - плоскость пропускания анализатора А4

В других случаях, когда E1p ¹ E1s , величина угла ψ

для проводящего образца будет определяться по формуле (73), как и для диэлектрического, а величины интенсивностей света

заторы А1, А2, А3, компенсатор С и анализатор А4, позволяют рассчитать также и величину D.

~ ~

Воспользовавшись выражениями (64), (68) для Rp и Rs ,

учитывая закон преломления света (66) и представив комплексный показатель преломления в виде суммы реального и комплексного числа n~2 = n2 - ik2 , можно получить следующий вид основного уравнения эллипсометрии:

113

Это уравнение решается в явном виде относительно неизвестной величины - показателя преломления n~ = n2 − ik2 , если

известны эллипсометрические параметры ψ и D, измеренные при некотором угле падения ϕ1:

Для того, чтобы найти значения показателя преломления n2 и коэффициента поглощения k2 необходимо правую часть выражения (84) привести к виду А − iB, используя правила действия с комплексными числами. При отражении электромагнитной вол-

ны от поверхности диэлектрика D = 0о, 180о, ei = ±1 и (84) переходит в (72).

3.3. Отражение световой волны от образца с тонкой диэлектрической пленкой на поверхности

При отражении световой волны от системы, состоящей из прозрачной пленки и поглощающей подложки, происходит интерференция многократно отраженных на границах среда-пленка и пленка-подложка лучей 1, 3, 5, ... (рис. 60):

комплексные амплитуды лучей 1, 3, 5.

При этом каждый последующий луч будет сдвинут по фазе относительно предыдущего на величину

2δ = δ1 - δ3 = δ3 - δ5 = ... (86)

Величина δ, называемая фазовой толщиной пленки, соответствует оптической разности хода на участках АВС и АА1.

Длина S1 участка АА1 равна S1 = AC×sinϕ1 = 2(d×tgϕ2 )sinϕ1,

где d - толщина пленки. Длина S2 участка АВС равна

S2 = 2d / cosϕ2 .

114

Рис. 60. Отражение и пропускание света образцом с тонкой плен-

~ ~

кой. n1 ,n2 ,n3 - показатели преломления окружающей среды, пленки и подложки; d - толщина пленки

На участке АА1 вектор E совершит число колебаний m1 = S1/λ1, а на участке АВС - m2 = S2/λ2. За одно колебание фаза увеличивает-

ся на 2π, следовательно:

2δ = δ1 − δ3 = 2π (m2 − m1 ) = 2π (S2 λ2 − S1 λ1 ).

(87)

Длина волны света в пленке λ2 зависит от показателя преломления пленки n~2 :

где λ - длина световой волны в вакууме; v2 - скорость распространения света в пленке. Если среда 1 - воздух, то n1 ≈ 1 и λ1 ≈ λ. Поэтому из (87) с учетом (88) получим:

115

Пусть на систему пленка-подложка падает свет, поляризованный в плоскости Р, перпендикулярной плоскости образца. Обозначим комплексные коэффициенты Френеля для отражения

~

пленка-подложка - R23 p . Соответствующие комплексные коэффициенты Френеля, характеризующие пропускание границ раз-

амплитуду падающего на образец луча равной 1, тогда амплитуда

~

отраженного луча будет равна R12 p , а прошедшего в пленку луча

~

- T12 p .

тельно отраженной волны 1. Аналогично могут быть рассмотрены лучи 5, 7 и т. д. Поэтому, с учетом выражения (86), соотношение (85) можно записать в виде:

нием для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии - S = a/(1-q) получим:

среды I в среду II и из среды II в среду I и сопоставления формул Френеля для этих случаев.

Аналогичные рассуждения можно провести и для луча, поляризованного в плоскости S:

~

П. Друде в 1889 году. Комплексный коэффициент Френеля R12 , входящий в (92) в соответствии с (64), (68), является функцией

117

показателя преломления окружающей cреды n1, показателей пре-

~

ломления n2 и поглощения k2 пленки; коэффициент R23 - функци-

ей n2 и k2, а также показателей преломления n3 и поглощения k3 подложки. Углы преломления света ϕ2 в пленке и ϕ3 в подложке определяются по закону преломления (66) на основании комплексных показателей преломления соответствующих сред и выбранного экспериментатором угла падения света на образец ϕ1. Фазовая толщина пленки δ при известных ϕ2 и λ определяется ее толщиной d. Таким образом, уравнение Друде (92) устанавливает связь между измеряемыми с помощью эллипсометра углами ψ и

и характеристиками исследуемой системы подложка-пленка n3,

k3, n2, k2, , подлежащими определению.

Если пленка прозрачна (k2 = 0) и известны оптические константы подложки n3 и k3, уравнение (92) содержит две неизвестные величины - показатель преломления пленки n2 и ее толщину d.

Используя правила действия с комплексными числами, а также формулу Эйлера (78), уравнение (92) можно привести к виду

А(n2, d) + iB(n2, d) = C + iD,

где А(n2, d) и B(n2, d) - соответственно, действительная и мнимая составляющие левой части (92), С и D - то же - для правой ча-

сти (92).

Таким образом, основное уравнение эллипсометрии сводится к системе трансцендентных уравнений:

ìA(n2 ,d) = C,

í (93)

îB(n2 ,d) = D,

которая может быть решена относительно n2 и d численными методами с использованием ЭВМ.

В случае прозрачных слоев из выражения (92) можно получить (см. приложение 2) уравнение вида f(n2) = 0, которое решить численно значительно легче, чем систему (93).

118

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Лабораторная работа № 1. Исследование туннельного диода

Цель работы: изучение элементов теории туннельного эффекта; исследование проявления туннельного эффекта в туннельном диоде.

Теоретические сведения

Как было отмечено в параграфе 1.13, туннельный эффект, описанный в параграфе 1.12, является основой действия обширного класса полупроводниковых приборов - туннельных диодов.

Туннельный диод представляет собой простой р-n−переход, образованный вырожденными (сильно легированными) полупроводниками, в результате чего уровень Ферми находится внутри разрешенных зон, область перехода представляет собой узкий потенциальный барьер, через который электроны могут проходить как в прямом, так и в обратном направлении за счет туннельного эффекта, а вольт-амперная характеристика при прямых напряжениях имеет падающий участок (параграф 1.13).

Поскольку туннельные р-n−переходы получают, как правило, перекомпенсацией локальных областей легированной подложки р-типа донорной примесью n-типа, концентрация примеси

в n-области и степень вырождения u n значительно больше, чем в

р-области, то есть un >> up.

Ниже представлен качественный анализ туннельных токов для упрощенной зонной структуры p-n-перехода, изображенной на рис. 61. Для простоты рассуждений предположим, что температура диода близка к абсолютному нулю. Соответствующая данному случаю вольт-амперная характеристика туннельного тонкого р-n−перехода показана на рис. 62.

При отсутствии внешнего приложенного напряжения уровень Ферми постоянен во всем p-n-переходе (рис. 61, б). Выше

119

уровня Ферми все состояния свободны, а ниже уровня Ферми - полностью заполнены. Туннельный ток отсутствует.

Рис. 61. Упрощенная зонная структура туннельного р-n-перехода при температуре абсолютного нуля при обратном напряжении (а), отсутствии напряжения (б), прямом напряжении u = u p

(в), u = u p+ u n (г), и u ³ u p+DE/e (д)

Рис. 62. Вольтамперная характеристика туннельного р-n-перехода при температуре абсолютного нуля. Точки на графике соответствуют рис. 61

120