Квантовые и оптические процессы в твердых телах. Теория и практика. Учебное пособие

Из соотношения неопределенностей следует, что, например, если точно известно значение координаты частицы( x = 0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной ( рх → ∞), и наоборот.

Соотношение неопределенностей является следствием волновых свойств микрочастиц. Иллюстрацией к соотношению неопределенностей может быть следующий опыт. Поток электронов проходит через узкую щель (рис. 30) шириной 2 х, расположенную перпендикулярно направлению их движения. Если размер щели сравним с длиной волны де-Бройля λ электронов, то при прохождении их через щель наблюдается дифракция. Дифракционная картина, появляющаяся на экране, характеризуется главным максимумом, симметричным относительно оси y. До прохождения через щель электроны двигались в направлении оси y, поэтому составляющая импульса рх = 0, так что рх = 0, а координата х частицы совершенно не определена, то есть х = ∞.

Рис. 30. Эксперимент по дифракции электронов на щели шириной 2 х

Вмомент прохождения электронов через щель их положение

внаправлении оси х определяется с точностью до половины ши-

рины щели, то есть с точностью до х. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут распространяться в пределах угла 2ϕ. Следо-

51

вательно появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси х, которая равна:

Ограничимся рассмотрением только тех электронов, которые попадают на экран в пределах главного максимума, то есть между двумя первыми минимумами. Из теории дифракции известно, что первый минимум соответствует углу j, удовлетворяющему условию:

2Dх× sin j = l.

Из двух последних формул, исключив sin j, получим:

Dх×Dрх = p h > h .

Таким образом, даже для электронов в пределах главного дифракционного максимума выполняется соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую проекцию импульса является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Таким образом, соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t. Неопределенности этих величин удовлетворяют условию:

DЕ×Dt ³ h ,

где DЕ - неопределенность энергии некоторого состояния системы; Dt - промежуток времени в течение которого оно существует. Из этого выражения следует, что частота излученного фотона должна иметь неопределенность Dw = DE/ h , то есть линии спектра должны характеризоваться частотой w ± DЕ/ h . Действительно, опыт показывает, что все спектральные линии размыты.

52

1.10. Волновая функция и ее статистический смысл

Разрешение противоречий целого ряда экспериментов с применяемыми в начале ХХ века теориями привели к новому этапу развития квантовой теории, который закончился созданием квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств.

Попытаемся выяснить физическую природу волн деБройля. Для этого сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. В результате наложения дифрагирующих световых волн друг на друга в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний. Согласно волновым представлениям о природе света, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. В соответствии с фотонной теорией, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны, а для одного фотона квадрат амплитуды определяет вероятность попадания фотона в данную точку пространства.

Наличие максимумов в дифракционной картине для микрочастиц с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн деБройля. С другой стороны, интенсивность волн де-Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности: частицы попадают в те места, где интенсивность волн де-Бройля наибольшая.

Однако можно ли волны де-Бройля истолковывать как волны вероятности, то есть полагать, что вероятность обнаружения микрочастицы в различных точках пространства меняется по волновому закону? В таком толковании кроется заблуждение, заключающееся в том, что тогда вероятность обнаружить частицу в

53

некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Для устранения этого несоответствия, немецкий физик М. Борн предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая Y(x, y, z, t). Эту величину называют волновой функцией или пси-функцией. Амплитуда вероятности может быть комплексной, а вероятность пропорциональна квадрату ее модуля: W ~ ½Y(x, y, z, t)½2. ½Y½2 = Y×Y*, где Y* - комплексно сопряженная с Ψ функция. Аналогично интенсивность максимумов при дифракции световой волны пропорциональна квадрату амплитуды световой волны (вектора напряженности электрического поля). Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции или амплитуды волн де-Бройля определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами от х до х + dx, от y до y + dy, от z до z + dz.

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается с помощью волновой функции. Вероятность нахождения частицы в элементе объемом dV равна dW = ½Y½2×dV, а величина ½Y½2 = dW/dV имеет смысл плотности вероятности. Таким образом, физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля ½Y½2, которым задается интенсивность волн де-Бройля.

1.11.Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Уравнение движения микрочастиц в различных силовых полях должно учитывать волновые свойства частиц, то есть оно должно быть волновым уравнением. Такое уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. австрийским физиком Э. Шредингером. Это уравнение не может быть получено из более простых представлений точно так же, как не могут быть выведены из каких-либо более простых законов и за-

54

Рис. 31. Потенциальная энергия (а) и волновая функция (б) для барьера прямоугольной формы

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для каждой из областей 1, 2 и 3 имеет вид:

¶¶2ψ1,3 + k 2 ×ψ1,3 = 0 для областей 1 и 3, x2

Решения этих стационарных дифференциальных уравнений выбираем в виде суммы плоских волн де-Бройля, распространяющихся в положительном и отрицательном направлении оси х:

58

A1, В1, A2, В2, А3, В3 – численные коэффициенты, получаемые из решения уравнений Шредингера с учетом граничных условий задачи.

Здесь учтено, что импульс частицы р связан с волновым числом k соотношением р = hk . Первый член этого выражения представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х, второй - волну, распространяющуюся в противоположном направлении (волну, отраженную от барьера).

Решение дифференциального уравнения для области 3 после умножения на временной множитель содержит также волны, распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 может распространяться только волна, прошедшая сквозь барьер (отражаться дальше не от чего), и поэтому коэффициент В3 в решении следует принять равным нулю.

В области 2 решение зависит от условия E > U или E < U. Особый интерес представляет случай, когда E < U, так как при таких условиях законы классической механики не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В этом случае в уравнении Шредингера для области 2 величина q = iβ - мнимое число, где

β= 2m(U - E)h .

Сучетом значений q= iβ и В3 = 0, решения стационарного уравнения Шредингера для всех трех областей примут вид:

59