Дифференциальные формы и многообразия

УДК 517

Женсыкбаев А. А.

Дифференциальные формы и многообразия. — М.–Ижевск: НИЦ «Регуляр-

ная и хаотическая динамика»,ɂɧɫɬɢɬɭɬ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɵɯ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɣ 2019. —

134с.

Вданном учебном пособии излагается цикл лекций по теории многообразий и дифференциальных форм на пространствах и многообразиях, читаемый студентам математических специальностей в курсе математического анализа и магистрантам.

Для студентов, преподавателей, научных работников, специализирующихся в теоретических и прикладных областях математики и физики.

Библиогр. 14 назв.

ISBN 978-5-4344-0772-4

c А. А. Женсыкбаев, 2019

c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2019

http://shop.rcd.ru

http://ics.org.ru

Оглавление

1.1.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.Операции над тензорами . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.Аналитическое представление тензоров . . . . . . . . . 11

§2. Cимметричные и кососимметричные тензоры . . . . . . . . . 14

2.1.Симметризация и альтернация . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.Внешнее произведение тензоров . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.Аналитическое представление симметричных и косо-

3.1.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§4. Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.Свойства внешнего дифференциала . . . . . . . . . . . 39

4.3.Замена переменных в дифференциальной форме . . . . 41

4.4.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

§5. Дифференциальные формы в конечномерных пространствах . 44

5.1. Замкнутые и точные формы . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.Интегрирование дифференциальных форм . . . . . . . 51

5.3.Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

§ 6. Многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.1.Многообразия в конечномерном пространстве . . . . . 65

6.2.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§7. Интегрирование функций на многообразиях . . . . . . . . . . 79

7.1.Построение интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2.Вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

§8. Дифференциальные формы на многообразиях . . . . . . . . . 83

8.1.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.3.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.4.Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.5.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11.1.Независимость интеграла от формы цепи . . . . . . . . 115

§12. Понятие топологической степени отображения . . . . . . . . . 117

12.1.Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Предисловие

Написание этого пособия продиктовано тем, что современное изложение курса математического анализа предполагает включение в заключительную его часть основ теории многообразий и дифференциальных форм.

В данном учебном пособии излагается цикл лекций по теории дифференциальных форм на пространствах и на многообразиях, читаемый студентам математических специальностей в курсе математического анализа. В него, как частный случай, входит теория криволинейных и поверхностных интегралов.

Излагая теорию криволинейных и поверхностных интегралов, обычно придерживаются классической схемы:

•интегралы первого и второго рода;

•связь между ними;

•связь с другими интегралами (формулы Грина, Стокса, Остроградского– Гаусса);

•независимость интеграла от формы кривой или поверхности.

Рассматривая дифференциальные формы на многообразиях как обобщение этой теории, в лекциях мы придерживаемся той же схемы:

•интеграл от функции по многообразию и интегрирование дифференциальных форм на многообразиях;

•связь между ними;

•общая формула Стокса;

•независимость интеграла по многообразию от его формы.

Для изложения последнего раздела нам потребовалось введение понятий цепи и интегрирования дифференциальных форм на них.

Отметим, что, вводя дифференциальные формы в общем случае на нормированных пространствах, мы основное внимание сконцентрировали

на конечномерной ситуации. Это позволяет облегчить понимание теории дифференциальных форм в целом. И при первом чтении третий и четвертый параграфы можно пропустить. В связи c этим мы повторили некоторые определения, введенные в § 4, применительно к конечномерным пространствам.

Для обозначений и ссылок в текущем параграфе используется одинарная нумерация, а при ссылках на другой параграф — двойная. Окончание доказательства утверждения обозначается значком . В конце приведен предметный указатель и список обозначений.

Одной из важных величин, определяемых посредством дифференциальных форм, является топологическая степень отображения. Это понятие связано с проблемой разрешимости уравнения F (x) = y в топологическом пространстве и широко используется в различных нелинейных задачах теории функций многих переменных, теории приближений, функционального анализа и др. В последнее время топологическая степень отображения стала довольно эффективным инструментом решения многих задач. Поэтому мы решили включить в пособие это понятие и привести ряд его важных свойств. Как пример приложения степени отображения приведено простое доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке.

Пособие рекомендуется для студентов и аспирантов, специализирующихся в области теоретической и прикладной математики и теоретической физики, а также для преподавателей математических дисциплин. Отметим также, что современные научные исследования активно привлекают теорию многообразий, дифференциальных форм, топологической степени отображения. Поэтому это пособие будет полезно и для научных работников.

А. Женсыкбаев

§ 1. Тензоры

Пусть даны линейные пространства X1, . . . , Xk, Y . Для простоты изложения всюду в дальнейшем мы рассматриваем линейные пространства над полем R действительных чисел, акцентируя внимание на конечномерном случае.

Как обычно, через X1 × · · · × Xk обозначим прямое произведение пространств X1, . . . , Xk, то есть

X1 × · · · × Xk = {x = (x1, . . . , xk ) | xi Xi (i = 1 : k)}.

Если X1 = · · · = Xk = X, то соответствующее произведение обозначается через Xk.

Определение 1. Отображение F : X1 × · · · × Xk → Y называется полилинейным (или k-линейным), если оно линейно по каждой перемен-

ной, то есть для любых действительных чисел a и b и любых элементов xi, xi Xi (i = 1 : k) выполняется равенство

F (x1, . . . , a xi + b xi , . . . , xk) =

= a F (x1, . . . , xi, . . . , xk) + b F (x1, . . . , xi , . . . , xk).

При k = 1 F называется линейным отображением, а при k = 2 — билинейным.

Определение 2. Если Y есть ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, то k-линейное отображение F : Xk → Y называется полилинейной формой на X.

Если Y = R, то полилинейная форма называется полилинейным функционалом или тензором на X. Другими словами,

Определение 3. Полилинейное отображение F : Xk → R называется тензором на X. Число k называется валентностью тензора, а F называется

еще k-валентным тензором или просто k-тензором.

0-валентным тензором называется любое тождественно равное константе отображение в R.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Не следует путать линейное отображение с полилинейным (см. примеры).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если отображение F : Xk → k-линейно, то оно является k- тензором на X. Если же F линейно, то оно является 1-тензором на Xk .

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Не следует путать тензор F и значение тензора F (x). Тензор F есть отображение, а значение тензора есть число: F (x) , x = (x1, . . . , xk ), xi X (i = 1 : k).

1.1.Примеры

1. Отображение F : R2 → R,

F (x) = F (x1, x2) = x1x2,

билинейное на R, но не является линейным на R2: существуют точки x, y R2, для которых

F (x + y) = F (x) + F (y).

Fявляется также билинейной формой и тензором валентности 2 на R.

2.Отображение F : R2 → R,

F (x) = F (x1, x2) = x1 + x2,

линейно на R2, но не билинейное на R (то есть не является 2-тензором на R): существуют числа x1, x1 , x2, для которых

F (x1 + x1 , x2) = F (x1, x2) + F (x1 , x2)

(F можно рассматривать как 1-валентный тензор на R2).

3. Любой линейный функционал на X есть одновалентный тензор на X. 4. Определитель порядка k, detk, является k-валентным тензором на Rk = (R)k. Его значение detk(x) для удобства мы будем обозначать также

6.Скалярное произведение, ·, ·, в гильбертовом пространстве H есть 2-тензор на H.

7.Пусть в n-мерном пространстве X задан базис {e1, . . . , en}. Через

πi обозначим функционал, ставящий в соответствие элементу x X i-й

коэффициент в его разложении по базису:

n

πi(x) = ci, x = ciei.

i=1

Функционал πi является одновалентным тензором на X. Его называют проектирующим отображением (проектором).

Вчастности, в пространстве X = Rn со стандартным базисом {e1 =

=(1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)} имеем:

1.2. Операции над тензорами

Через Tk(X) обозначим множество всех k-тензоров на X. Множество Tk(X) сделаем линейным пространством, введя в нем понятие равенства тензоров и операции сложения и умножения на скаляр.

Суммой двух тензоров F, G Tk(X) называется k-тензор, обозначаемый символом F + G, значения которого определяются равенством

(F + G)(x) = F (x) + G(x),

а произведение тензора F на скаляр a R есть k-тензор aF , определяемый

равенством

(aF )(x) = a F (x) x Xk.

Легко видеть, что введенные операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства.

Для тензоров различной валентности на X введем операцию, которая поможет нам строить базисы в пространствах Tk(X).

Определение 5. Пусть F Tk(X) и G Tl(X). Тензорным произведением тензоров F и G называется (k + l)-тензор на X, обозначаемый F G, F G Tk+l(X), и определяемый значениями

(F G)(x) = F (x1, x2) G(x3 ) = (x(1)1 x(1)2 + x(2)1 x(2)2 )x(1)3 .

Значение тензорного произведения G F есть

(G F )(x) = x(1)1 (x(1)2 x(1)3 + x(2)2 x(2)3 ).

Этот пример показывает, что операция не коммутативна, то есть, вообще говоря,

F G = G F.

Отметим некоторые свойства тензорного произведения.

Теорема 1. Для введенных операций справедливы следующие равенства:

(F + G) H = F H + G H, F, G Tk(X), H Tl(X),

F (G + H) = F G + F H, F Tk(X), G, H Tl(X),

(aF ) G = F (aG) = a(F G), F Tk(X), G Tl(X), a R,

(F G) H = F (G H) =: F G H, F Tk(X), G Tl(X), H Tm(X).