Дифференциальные формы и многообразия

Определение 6. Множество M X называется звездным относительно точки x0, если для любой точки x M отрезок [x0, x] := = {t X : t = cx + (1 − c)x0, c [0, 1]} принадлежит M .

Следующее утверждение принадлежит А. Пуанкаре.

Теорема 5. Всякая дифференциальная форма, замкнутая на открытом множестве, звездном относительно некоторой своей точки, является точной на нем.

Доказательство этой теоремы мы приведем в следующем параграфе. Сейчас мы остановимся на вопросе о замене переменных в дифференциальной форме. Это нам потребуется, в частности, в вопросах интегрирования k-форм.

4.3. Замена переменных в дифференциальной форме

Замена переменных в дифференциальной форме проводится не механически, путем подстановки новых функциональных зависимостей, а с учетом преобразования касательного пространства. Рассмотрим вначале простой пример.

Пусть в области M X заданы дифференциальная форма ω Ωmk (M ) (k, m 0) и линейное отображение ϕ : X → X, где X — линейное нормированное пространство, M — прообраз множества M . Тогда касательному пространству TM (z ) будет соответствовать пространство TM (ϕ(z )), а касательному вектору xz — вектор ϕ(x )ϕ(z ). Таким образом, при замене переменных z = ϕ(z ), z X , внешняя форма ω(z) перейдет, в силу линейности ϕ, в форму ω(ϕ(z )). Соответствующую дифференциальную форму мы обозначим через ϕ ω. Ее значения на M имеют вид

ϕ ω(z )((x1 )z , . . . , (xk )z ) =

= ω(ϕ(z ))((ϕ(x1 ))ϕ(z ), . . . , (ϕ(xk ))ϕ(z )), (2)

где z M , (x1)z , . . . , (xk )z TM (z ).

Таким образом, отображению ϕ соответствует преобразование ϕ : Ωmk (M ) → Ωmk (M ) дифференциальных форм на M в дифференциальные формы, определенные на M .

Если же отображение ϕ не линейно, то преобразование формы ω по закону (2) уже не приведет к k-форме. Поэтому в соответствии с заменой переменных z = ϕ(z ), полагая, что ϕ дифференцируемо, форму ω преобразуем так, чтобы вновь получить дифференциальную форму со значениями,

42 § 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

близкими к (2). Очевидно, что такое преобразование мы получим, если в ар-

гументе справа в (2) используем значения линейного отображения близкого к (ϕ(x ))ϕ(z ), то есть ϕ (z )(xz ) :

(ϕ(x ))ϕ(z ) = ϕ(x ) − ϕ(z ) =

= ϕ (z )(x − z ) + o(x − z ) = ϕ (z )(xz ) + o(x − z ).

Это преобразование форм мы обозначим через ϕ .

Определение 7. Пусть M и M — открытые множества в линейных

нормированных пространствах X и X соответственно, и задано отображение ϕ : M → M класса Cm(M ) (m > 0).

Отображение ϕ : Ωmk (M ) → Ωmk (M ), значения которого ϕ ω определяются следующими соотношениями:

ϕ ω(t )(xz ) = ω(ϕ(t ))(ϕ (t )(xz )) (k > 0), ϕ ω(t ) = ω(ϕ(t )) (k = 0),

где t M , x1, . . . , xk X , называется индуцированным, а его значение ϕ ω — индуцированной k-формой или формой замены переменных.

Теорема 6. Форма замены переменных обладает следующими свойствами:

Заметим, что в (6) и (7) одним и тем же символом ϕ обозначены раз-

ные индуцированные отображения: слева в (6) ϕ : Ωmk+l(M ) → Ωmk+l(M ), а справа ϕ : Ωmk (M ) → Ωmk (M ) и ϕ : Ωml (M ) → Ωml (M ) соответственно.

Доказательства этих свойств будут даны в следующем параграфе для конечномерных пространств. Их доказательство в общей ситуации см., например, в монографии А. Картана [6, ч. 2, гл. 3].

4.4.Примеры

1.Пусть дана дифференциальная форма ω Ω1(R2),

ω(z) = ydx + dy,

и отображение ϕ : R2 → R2,

ϕ(t) = (u2v3, u4 + v5),

где t = (u, v). В дифференциальной форме ω сделаем замену переменных, положив z = ϕ(t) :

ϕ ω(t) = (u4 + v5)(2uv3du + 3u2v2dv) + (4u3du + 5v4dv) = = ((u4 + v5)2uv3 + 4u3)du + ((u4 + v5)3u2v2 + 5v4)dv.

3.Пусть ω Ωmn (Rn),

ω(z) = a(z) dx1 . . . dxn

изадано дифференцируемое отображение ϕ : Rn → Rn, z = ϕ(t). Тогда

ϕ ω(t) = a(ϕ(t)) dϕ(u1) . . . dϕ(un) =

=a(ϕ(t)) (ϕ (t)((u1)t), . . . , ϕ (t)((un)t)) =

=a(ϕ(t)) detn(ϕ (t)) dt1 . . . dtn,

где xi = ϕ(ui). Таким образом,

ϕ ω(t) = a(ϕ(t)) detn(ϕ (t)) dt1 . . . dtn.

В заключение этого параграфа обратим внимание на то, что представление (1) и теорема 1 позволяют в случае конечномерных пространств дать другие эквивалентные определения дифференциальной формы, внешнего произведения, непрерывности и дифференцируемости k-форм (см. следующий параграф), которые аналитически более просты и не требуют знакомства с предыдущим материалом.

44 § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§5. Дифференциальные формы в конечномерных пространствах

Всюду в этом параграфе X — n-мерное линейное нормированное пространство, M — открытое в нем множество и TM (z) — пространство, касательное к M в точке z M (см. определение 3.22).

Приводимые ниже определения и обозначения коррелируют с введенными в предыдущем параграфе, но более просты для понимания при первом знакомстве с теорией дифференциальных форм и не требуют знакомства с материалом §3 и §4 (однако по поводу касательного пространства мы все же отсылаем к определению 3.22 и соответствующим примерам, приведенным в § 3).

Согласно теореме 2.6 любой элемент пространства Λk(Tz (M )) представим в виде (2.9). В частности, взяв в качестве базисных функционалов проекторы πi в TM (z), которые мы переобозначим через dxi (см. пример 1 из §4), получим следующее представление для F Λk(X) :

1 i1<···<ik n

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, задание дифференциальной формы на M равносильно заданию координатных функций и ее дифференциальные свойства зависят от них. Поэтому мы можем дать следующее эквивалентное 4.1 определение k-формы в n-мерном пространстве.

Определение 1. Дифференциальной k-формой (или просто k-формой) на M называется отображение ω, ставящее в соответствие каждой точке

Формула (1) называется еще каноническим представлением значения дифференциальной k-формы.

Вчастности, 1-форма имеет вид:

ω(z) = ω1(z) dx1 + · · · + ωn(z) dxn,

аn-форма в n-мерном пространстве есть моном:

Определение 2. Дифференциальная k-форма ω называется непрерывной (дифференцируемой) в точке z0 M , если непрерывными (дифференцируемыми) в t0 являются все ее координатные функции ωi1...ik (z) в представлении (1).

Дифференциальная k-форма ω называется непрерывной (соответственно дифференцируемой, класса Cm) на M , если таковыми являются все функции ωi1...ik (z).

Множество всех дифференциальных k-форм класса Cm(M ) обозначим через Ωmk (M ); Ωmk := Ωmk (X). В частности, Ω00 — множество всех непрерывных на M функций, а Ωm0 — множество всех функций, имеющих m-ю непрерывную производную на M .

Определение 3. Внешним произведением дифференциальных форм

ωΩmk (M ) и η Ωpl (M ) называется (k + l)-форма, обозначаемая через

ωη, значения которой есть

Как мы видим, так введенные операции выглядят весьма формальными. Соответствующие же обоснования приведены в предыдущем параграфе, и читатель, не остановившийся на нем (и поэтому не знающий мотивы введения этих операций), может воспринимать их как необходимость, которая будет понятна в дальнейшем на примерах и в приложениях.

Остановимся на свойствах введенных операций.

46 § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

1 j1<···<jl n

= dω η + (−1)kω dη.

Множитель (−1)k появился потому, что во второй сумме мы перестави-

Теорема 2. Если ω Ωmk (M ) и m 2, то d(dω) = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть сначала k = 0. Тогда, используя теорему о равенстве смешанных производных и свойство (2.4) внешнего произведения: dti dtj = −dtj dti, имеем

Пусть теперь k > 0 и ω имеет вид (1). Тогда dω представляет собой сумму внешних произведений внешних дифференциалов от 0-форм

5.1.Замкнутые и точные формы

В§4 мы ввели множества замкнутых и точных дифференциальных форм, а также сформулировали теорему А. Пуанкаре, устанавливающую связь между этими множествами. Ниже приводится доказательство этой теоремы (см. определения 4.4 – 4.6).

Теорема 3. Дифференциальная форма ω Ωmk (M ), m 1, заданная на открытом звездном относительно некоторой своей точки множестве M , замкнута на M тогда и только тогда, когда она точна на M .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность вытекает из теоремы 2. Докажем необходимость.

Пусть k-форма ω Zkm(M ), то есть dω = 0, и имеет вид (1). Не уменьшая общности, будем считать, что множество M звездно относительно нуля. Тогда имеет смысл (k − 1)-форма Iω, значения которой определяются равенством

Iω(x) =

48 § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

где надпись над многоточием означает пропуск указанного элемента, например,

Обратим внимание на правило, по которому действует оператор I. Количество слагаемых второй суммы равно порядку формы ω, j-й член суммы получен из представления формы через проекторы dxi так, что 1-форма, стоящая на j-ом месте во внешнем произведении этого представления, переставляется на первое место (поэтому появляется множитель (−1)j−1) и убирается знак дифференциала, то есть заменяется на соответствующую 0-форму (в данном случае dxij заменяется на xij ), а координатная функция умножается на переменную интегрирования в степени, равной порядку формы без единицы (в данном случае на λk−1).

Теорема будет доказана, если установим тождество

ω ≡ d(Iω) + I(dω),

ибо для замкнутой формы dω = 0. Докажем это тождество.

Исходя из общего представления (1) дифференциальной формы ω и ее внешнего дифференциала (3)

Здесь первое слагаемое получено действием оператора I на первый член внешнего произведения dxν , а второе — на остальные члены dxij (при этом они стоят на (j + 1)-м месте; предел внутренней суммы равен k, поскольку ее (k + 1)-й член выделен как первое слагаемое). Отметим также,

что переменная λ возводится в степень k, поскольку оператор I действует на (k + 1)-форму.

Вычислим значение внешнего дифференциала формы Iω:

d(Iω)(x) =

50 § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Для дифференциальных форм первого порядка есть практичный критерий их точности.

Теорема 4. Пусть D — односвязное, звездное относительно некоторой точки множество. Дифференцируемая гладкая форма ω Ωm1 (D) точна на D тогда и только тогда, когда в ее аналитическом представлении формы