Дифференциальные формы и многообразия
.pdf§ 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЦЕПЯМ |
111 |
||||||
|
y |
|
|
|
C(1, 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
D(0, 1) |
|
−1 |
|
|
|
||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A(0, 0) |
|
+1 |
|
B(1, 0) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 5
Очевидно, что для любых k-мерных сингулярных цепей c, c и чи-
сел α, β
∂ (αc + βc ) = α ∂ c + β ∂ c .
Таким образом, оператор ∂k : Ck(D) → Ck−1(D), ставящий сингулярной цепи c Ck(D) ее границу, ∂k c = ∂ c, является линейным.
Теорема 1. Для любой сингулярной цепи c Ck(D) справедливо равен-
ство ∂2c := ∂(∂ c) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим грани hi0 |
и hi1 куба [0, 1]k. Из опре- |
|||||||||||||
деления 4 вытекает, что |
c |
|
|
k) и, следовательно, ∂ (∂ c) = |
||||||||||
при i◦ j |
1] |
k |
|
◦ |
|
k∂ 1 |
= c ◦ ∂([0, 1] k |
◦ |
k |
− |
1 |
|
||
|
)) |
∂([0, 1] |
− |
) = c |
◦ |
|
∂([0, 1] |
|
||||||
= (c ∂([0, |
|
|
|
|
|
∂([0, 1] ) |
|
|
|
) . Заметим, что |
||||
hkjβ (hkiα−1(x)) = hjβ ((x1, . . . , xi−1, α, xi, . . . , xk−2)) =
= (x1, . . . , xj−1 , β, xj , . . . , xi−1, α, xi, . . . , xk−2)
и
hk+1 (hk−1(x)) = hk+1 ((x1, . . . , xj−1 , β, xj , . . . , xk−2)) =
i α jβ i α
= (x1, . . . , xj−1 , β, xj , . . . , xi−1, α, xi, . . . , xk−2).
Поэтому для любого сингулярного k-мерного куба c при i j справедливо равенство
c ◦ hjβk ◦ hiαk−1 = c ◦ hik+1α ◦ hjβk−1. |
(1) |
112 § 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЦЕПЯМ
Найдем границу сингулярной цепи ∂ c:
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ (∂ c) = ∂ |
(−1)i(c ◦ hik0 − c ◦ hik1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(−1)i |
(−1)j |
(c ◦ hik0 − c ◦ hik1) ◦ hjk0−1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(c |
hk |
|
c |
|
|
k ) |
|
hk−1 |
|
. |
|
||||
Заметим, что в эти суммы слагаемые |
|
k |
|
◦ ki01− |
|
◦ hi1 k |
◦ |
j1 |
|
k |
− |
1 |
||||||||
c |
◦ hjβ |
◦ |
h − |
и c |
◦ |
h |
i+1α ◦ |
h |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
iα |
|
|
|
|
|
|
jβ |
|
||||||||
(1 j i k − 1) входят с противоположными знаками. Поэтому и ввиду
(2) все члены попарно взаимно уничтожаются, так что ∂ (∂ c) = 0. Теорема 1
доказана. |
|
Определение 6. |
Цепь c Ck(D) называется циклом размерности k |
(или k-циклом), если ∂ c = 0. |
|
Определение 7. |
Если цепь c Ck(D) является границей некоторой |
(k + 1)-мерной цепи, то она называется граничным циклом размерности k (или граничным k-циклом).
Через Zk(D) и Bk(D) обозначим множества всех k-циклов и соответственно граничных k-циклов на множестве D. Они, очевидно, образуют линейные пространства, и Bk(D) Zk(D).
Естественно, возникает вопрос: любой ли цикл является граничным. Ответ, вообще говоря, отрицателен. Например, отображение z(t) = = (sin 2πnt, cos 2πnt) является 2-циклом в R2 {0}, ибо z(1) = z(0) = (0, 1)
и ∂z = 0, но не существует ни одной сингулярной 2-цепи в R2 {0}, для которой z является границей.
Определение 8. Фактор-пространство
Hk(D) = Zk(D)/Bk(D)
называется k-мерной группой гомологий множества D.
Два цикла z1, z2 Zk(D) принадлежат одному классу гомологий (гомологичны) тогда и только тогда, когда их разность есть граничный k-цикл, z1 − z2 Bk(D). Классы гомологий цикла z Zk(D) будем обозначать через [z]. Очевидно, что
Hk(D) = Ker ∂k/Im ∂k+1.
§ 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЦЕПЯМ |
113 |
Ранее в §4 мы ввели множества Zkm(D) и Bkm(D) всех замкнутых и соответственно точных дифференциальных форм из Ωmk (D). Они образуют линейные пространства, и Bkm(D) Zkm(D).
Определение 9. Фактор-пространство
Hkm(D) = Zkm(D)/Bkm(D)
называется группой k-мерных когомологий множества D.
Две формы ω1, ω2 Ωmk (D) принадлежат одному классу когомологий тогда и только тогда, когда их разность есть точная форма, ω1 −ω2 Bkm(D). Классы когомологий формы ω Zkm(D) будем обозначать через [ω].
Обозначив через dk оператор внешнего дифференцирования на Ωmk (D) (m > 0), dk : Ωmk (D) → Ωmk+1−1(D), dkω = dω, при k > 0 имеем:
Hkm(D) = Ker dk/Im dk−1.
Заметим, что по теореме Пуанкаре для звездных множеств D при k > 0
и m > 0 Hkm(D) = 0.
На основании приведенных выше определений и полученных свойств можно наблюдать определенную аналогию и связь между сингулярными цепями и дифференциальными формами. Эта связь прослеживается далее с введением понятия интеграла от дифференциальной формы по сингулярной цепи.
Определение 10. Пусть дифференциальная k-форма ω задана на кубе
K = [0, 1]k: |
|
ω = ω(t)dt1 . . . dtk, |
t K, t = (t1, . . . , tk). |
Интегралом по кубу K от дифференциальной k-формы ω называется величина
ω := ω(t1, . . . , tk)dt1 . . . dtk.
K[0,1]k
Определение 11. Интегралом по сингулярному k-мерному гладкому кубу c : [0, 1]k → D от дифференциальной k-формы ω называется величина
ω := c ω (k > 0) и ω := ω(c(0)) (k = 0),
c K c
где c — отображение, полученное заменой переменной x = c(t).
114 |
§ 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЦЕПЯМ |
Определение 12. |
Интегралом по гладкой k-мерной сингулярной цепи |
c = λ1c1 + · · ·+ λscs от дифференциальной k-формы ω называется величина
|
c |
ω := λ1 c1 |
ω + · · · + λs cs |
ω. |
||
Теорема 2. Пусть ω Ωkm(D), D — открытое множество в про- |
||||||
странстве X. Если c |
ω = 0 для любой цепи c Ck(D), то ω = 0. |
|||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим противное: хотя бы один коэффициент |
||||||
формы |
1 i1< k |
|
|
|
|
|
ω(x) = |
|
ωi1...ik (x)dxi1 . . . dxik |
||||
|
...<i |
|
n |
|||
|
|
|
|
|
||
отличен от нуля. Для определенности будем считать ω1...k(x0) > 0, где x0 = = (0, . . . , 0). В силу непрерывности ω1...k(t) > 0 в некоторой окрестности точки x0. Возьмем сингулярный куб c(x) = λx (λ > 0) и цепь C = 1 · c. При достаточно малом λ интеграл по этой цепи положителен:
|
|
|
|
|
|
C |
ω = K |
C ω = K |
ω1...k(λx)dx1 . . . dxk > 0, |
|
||||||
что противоречит условию теоремы. Теорема 2 доказана. |
|
|||||||||||||||
Аналогичным образом доказывается |
|
|
|
|
||||||||||||
Теорема 3. |
Пусть |
c Ck |
(D), D — |
открытое множество в про- |
||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|||||||||||
странстве X. Если ω = 0 для любой формы |
ω Ωk (D), то c = 0 (т. е. |
|||||||||||||||
c = 0 |
· |
|
1 |
+ |
· · · |
+ 0 |
· |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
c ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Формула Стокса верна для интеграла от дифференциальной формы по |
||||||||||||||||
гладкой цепи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема 4. |
Пусть ω Ωkm−1(D) и c Ck(D). Тогда справедливо |
|||||||||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
d ω = |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω. |
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
∂ c |
|
|
|
|
Доказательство теоремы такое же, как и теоремы 9.5. Из формулы Стокса вытекает
|
§ 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЦЕПЯМ |
115 |
||||||||
Теорема 5. |
Справедливы следующие утверждения: |
|
||||||||
i) если ω |
Bm D), то |
z |
ω = 0 |
z |
|
Z |
(D); |
|
||
ii) если ω |
Zkm((D), то |
ω = 0 c |
|
k |
|
(D). |
|
|||
|
k |
∂ c |
|
|
Ck+1 |
|
|
|||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По формуле Стокса |
|
|
|
|||||||
|
z |
ω = z |
dη =∂ z η = 0 |
|
||||||
и |
|
∂ c ω = c |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dω = 0. |
|
|
||||||
В первом случае последний интеграл равен нулю, поскольку ∂ z = 0, а во втором dω = 0. Теорема 5 доказана.
11.1. Независимость интеграла от формы цепи
Вернемся теперь непосредственно к вопросу о независимости интеграла от формы многообразия, который мы рассмотрели в предыдущем параграфе для форм первого и второго порядков. Поскольку интеграл по многообразию представляет собой частный случай интеграла по цепи, будем рассматривать последний. Из теоремы 5 вытекает
Теорема 6. |
Пусть дифференциальная форма ω Zkm(D) (m > 0) |
||||
и цикл z Zk(D). Тогда |
|
|
|
||
z |
ω1 = z |
ω2 ω1, ω2 [ω] и |
z1 |
ω = z2 |
ω z1, z2 [z]. |
Если [ω1] = [ω2] и [z1] = [z2], то
ω1 = ω2.
z1 z2
Теорема 7. Пусть ренциальная форма ω любой цепи из Ck(D) не границы.
на связном множестве D задана гладкая диффе- Bkm(D). Величина интеграла от этой формы по зависит от формы этой цепи, а зависит от ее
116 |
§ 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЦЕПЯМ |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку дифференциальная форма ω точна на D, то существует (k − 1)-форма η такая, что dη = ω. Тогда для любой цепи c D согласно формуле Стокса имеем
c |
ω = c |
dη = ∂c |
η. |
Теорема 7 доказана. |
|
|
|
Из теорем 7 и 4.5 (см. также теорему 5.3) вытекает
Следствие 1. Пусть на связном множестве D, звездном относительно некоторой точки, задана гладкая дифференциальная форма ω Zkm(D). Величина интеграла от этой формы по любой цепи из Ck(D) не зависит от формы этой цепи, а зависит от ее границы.
Теорема 8. Пусть в открытом связном множестве D Rn задана k-форма ω Ωmk (D) (m 1). Величина интеграла от этой формы по гладкой цепи из Ck(D) не зависит от нее, а зависит от ее границы тогда и только тогда, когда интеграл от этой формы по любому циклу из Zk(D) равен нулю.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любые две сингулярные цепи c и c из Ck(D) с общей границей, ∂c = ∂c , порождают k-цикл (c − c ) Zk(D) и
ω = ω − ω.
cc c
Очевидно и обратное: любой ненулевой цикл c из Zk(D) представим в виде разности двух цепей c , c Ck(D), имеющих общую границу. Таким образом, утверждение теоремы вытекает из последнего равенства. Теорема 8 доказана.
Возникает вопрос: можно ли обратить теорему 7. Следующая теорема де Рама является одним из фундаментальных результатов алгебраической топологии, доказательство которой можно найти в его монографии [1, гл. 4].
Теорема 9. Если интеграл от дифференциальной формы ω Ωmk (D) по любому бесконечно гладкому циклу z Zk(D) на открытом множестве D равен нулю, то ω Zkm(D).
§ 12. ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ |
117 |
§12. Понятие топологической степени отображения
Взаключение мы приведем понятие топологической степени гладкого отображения в конечномерном пространстве и установим некоторые его свойства. Это понятие связано с проблемой разрешимости уравнения F (x) = y в топологическом пространстве и широко используется при решении многих нелинейных задач теории операторов, функций многих переменных, теории приближений, функционального анализа и др.
Всюду в этом параграфе X и Y — паракомпактные ориентированные
n-мерные гладкие многообразия, M X — открытое множество с ком-
пактным замыканием M = M ∂M в X и F : M → Y — непрерывное отображение, дифференцируемое на M . Положим YF = Y \ F (∂M ).
Напомним, что понятия открытого на многообразии множества и окрестности точки многообразия даны ранее в определении 6.11.
Определение 1. |
Дифференциальную финитную форму ω Ωn∞(Y ) |
|||||
назовем допустимой для F и y |
Y , если |
ω = 1 и ее носитель содержится |
||||
в некоторой окрестности U (y |
0 |
|
F |
Y |
|
|
0) |
|
Y . |
|
|||
Определение 2. |
Топологической степенью отображения F в точ- |
|||||
ке y0 Y (или просто степенью отображения) называется величина |
||||||
|
deg (F, M, y0) := M |
F ω, |
||||
где ω — допустимая для F и y0 n-форма.
Для доказательства корректности данного определения установим сперва следующий полезный факт.
Теорема 1. Если финитная форма ω Ωmn (Y ) (0 < m ∞) равна нулю в среднем на Y , ω = 0, и ее носитель лежит в некотором n-мерном
Y
элементарном подмногообразии U Y без края, то найдется n-форма (Y ) такая, что dη = ω и supp η U .
этом если F (∂M ) ∩ U = , то
F ω = 0.
M
118 |
§ 12. ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ |
||||
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Второе утверждение теоремы вытекает из первого |
||||
ввиду (4.7) и формулы Стокса: |
|
|
|||
|
M |
F ω = M |
F dη = M |
dF η =∂M |
F η = 0 |
(последний интеграл равен нулю, поскольку F (∂M ) ∩ U = и η(y) = 0
y / U ).
Докажем первое. Тот факт, что форма точна, вытекает из теоремы Пуанкаре 4.5 и теоремы 8.1, ибо она замкнута (см. пример 4 из §5). Основным является поиск формы η с носителем, лежащим в U .
Rn |
Это мы сперва сделаем для ω Ωnm(Rn), supp ω Qn (см. (6.1)), |
|
ω = 0. Применим метод математической индукции. |
||
|
При n = 1 ω(x) = a(x)dx, supp ω Q1 |
|
|
R a(x)dx = 0 и 0-форма |
|
x
a(t)dt
−1
удовлетворяет утверждению теоремы.
Пусть теорема верна для (n − 1)-форм (n > 1) и ω Ωmn (Rn). Тогда ω имеет вид 5.(2):
ω(x) = a(x)dx1 . . . dxn, |
R |
a(x)dx = 0, x = (x1, . . . , xn). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальная форма |
|
( |
|
) = b( |
|
) dx1 . . . dxn−1, где |
|||||||||||
η |
x |
x |
|||||||||||||||
b( |
|
|
) = 1 a(x) dxn, |
|
|
|
|
|
|
= (x1, . . . , xn−1), |
|||||||
x |
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет условиям теоремы: supp |
|
Qn−1 и |
|||||||||||||||
η |
|||||||||||||||||
R |
|
|
=R |
|
1 a(x) dxn dx |
=R |
a(x) dx = 0. |
||||||||||
|
η |
|
|||||||||||||||
n−1 |
|
|
|
n−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
§ 12. ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ |
119 |
Поэтому согласно предположению индукции найдется ( |
|
|
)-форма |
|
|
|
||||||||||||||||||||
n −2 |
ζ(x) |
|||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ωn−2(Rn−1) такая, что dζ = η и supp ζ Qn−1. Эта форма имеет вид (см. |
||||||||||||||||||||||||||
пример 4 из §5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ζ(x) = |
|
ci(x)dx1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . dxn−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n−1 ∂ci( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dζ( |
|
) = |
x |
dxi dx1 |
. . . dxn−1 = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
=1 |
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
∂ci( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)i−1 |
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
dx1 . . . dxn−1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
И ввиду равенства dζ = |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
заключаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
η |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n−1( |
1)i−1 |
∂ci( |
|
) |
= b( |
|
). |
|
|
|
||||
|
x |
(1) |
|||||||||||||
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая (n − 1)-форма η Ωnm−1(Rn) есть |
|
||||||||||||||
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η(x) = (−1)n−1 |
(a(x) − g(xn) |
|
( |
|
))dxn dx1 . . . dxn−1+ |
|
|||||||||
b |
|
||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxi |
dxn, |
|
|
|
|
|
|
|
|
+g(xn) ci(x)dx1 . . . |
|||||||
|
|
=1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
где функция g(t) определена в доказательстве леммы 9.1. Действительно, учитывая, что supp g Q1, имеем supp η Qn, а в силу (1) находим:
dη(x) = (−1)n−1(a(x) − g(xn)b(x))dxn dx1 . . . dxn−1+
+g(x ) n−1( 1)i−1 |
∂ci( |
|
) |
dx |
|
|
|
||||||||
x |
. . . dx = |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
n |
i |
|
∂xi |
1 |
|
|
n |
||||||||
=1 |
− |
|
|
|
|||||||||||
= ω(x) − g(xn) |
|
|
|
|
n−1 |
∂ci(x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ω(x). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b |
( |
|
) − i=1 (−1)i−1 |
|
|
|
|
||||||||
x |
|
||||||||||||||
∂xi |
|
|
|||||||||||||
120 § 12. ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ
Утверждение теоремы в общей ситуации следует теперь из теоремы 8.1
и того, что supp ω U supp ϕ ω Qn, где ϕ : Rn |
→ U — карта |
района U . Теорема 1 доказана. |
|
Покажем теперь, что степень отображения определена корректно: deg (F, M, y0) не зависит от выбора допустимой n-формы ω. Действитель-
но, если η — еще одна допустимая n-форма, то, применяя теорему 1, имеем:
F ω − F η = (F ω − F η) = F (ω − η) = 0
M M M M
(n-форма ω – η и отображение F удовлетворяют теореме 1).
Приведем некоторые свойства степени отображения. Из определения степени отображения легко вытекают следующие два утверждения.
Теорема 2. Если точка y0 многообразия Y не является образом отоб-
ражения F , то |
|
deg (F, M, y0) = 0 |
y0 Y \ F (M ). |
Если deg (F, M, y0) = 0, то уравнение F (x) = y0 имеет хотя бы одно |
|
решение на M . |
|
Теорема 3. Для точек y , y YF , обладающих одной и той же допустимой n-формой,
deg (F, M, y ) = deg (F, M, y ).
Следствие 1. Топологическая степень постоянна на каждой связной компоненте Y0 множества YF , и мы будем обозначать ее через
deg (F, M, Y0).
Если Y0 \ F (M ) = , то deg (F, M, Y ) = 0.
Теорема 4. Если отображение F инъективно и сохраняет (меняет) ориентацию F (M ), то
deg (F, M, y0) = 1 (deg (F, M, y0) = −1) y0 F (M ) \ F (∂M ).
Действительно, пусть ω — допустимая n-форма для F и y0 F (M ) \ F (∂M ). Тогда ω = 0 вне F (M ) и по теореме 9.4 получаем:
|
F ω = εF |
|
ω = εF |
ω = εF . |
M |
|
F (M) |
Y |
|
Из теоремы 4 и следствия 9.1 вытекает