Дифференциальные формы и многообразия

Следствие 2. Если многообразия X и Y одинаково ориентированы, то в условиях теоремы 4

deg (F, M, y0) = sgn detn F .

Определение 3. Точка y0 YF называется регулярным значением гладкого отображения F , если в det F (x) = 0 для любого x F −1(y0). Если же x0 F −1(y0): det F (x0) = 0, то y0 называется критическим значением, а точки x0 F −1(y0) — критическими.

Как уже отмечалось ранее, А. Сард показал, что множество критических значений отображения имеет меру нуль на Y .

Теорема 5. Если y0 YF — регулярная точка и M0 — множество всех решений x M уравнения F (x) = y0, то M0 конечно, X = {x1, . . . , xk} и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для простоты будем полагать, что многообразия X и Y ориентированы одинаково. Из теории неявных функций следует, что поскольку det F (x) = 0 для всех x X, то множество M0 состоит из изолированных точек. И в силу компактности прообраза F −1(y0) M0 является конечным множеством. Положим M0 = {x1, . . . , xk}. Каждая точка xi обладает окрестностью U (xi) M , U (xi) ∩ U (xj ) = , на которой сужение Fi отображения F является диффеоморфным на U (xi). Тогда пересечение

k

U0 = Fi(U (xi)) является окрестностью точки y0 на Y . Определив до-

i=1

пустимую для F и y0 n-форму ω с supp ω U0, находим: ω(F (x)) = 0

Теорема 7. Пусть Fλ: M → Y — семейство отображений, непрерывное на M × [0, 1] (λ [0, 1]), а все Fλ дифференцируемы на множестве M ,

Тогда степень deg (Fλ, M, y0) не зависит от λ (т. е. гомотопные отображения (см. определение 3.15) имеют одинаковую топологическую степень).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На многообразии Y выделим окрестность U0 точки y0, не пересекающуюся с DF , и допустимую для F0 и y0 n-форму ω с

Так как семейство отображений Fλ непрерывно на M × [0, 1], то интеграл справа, как функция от переменной λ, непрерывен на [0, 1]. И поскольку

Степень композиции отображений можно вычислять посредством формулируемой ниже теоремы Лерэ (ее доказательство можно найти, например, в [9, гл.1]).

Теорема 8. Пусть F : M → Y , G : Y → S — гладкие отображения,

Из приведенных теорем можно дать геометрическую интерпретацию топологической степени отображения ранга n : deg (F, M, y) показывает, скольким образам непересекающихся карт, индуцированным отображением F из многообразия M в Y (с учетом их ориентации), принадлежит заданная точка y Y . А с точки зрения проблемы разрешимости уравнения F (x) = y эта степень указывает на количество его решений xy M с определенными знаками (sgn detn F (xy )): например, если | deg (F, M, y)| = s, то уравнение имеет не менее s решений. Однако

126§ 12. ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ

4)Если M = (−π/2, π), то множество YF состоит из трех компонент:

(−∞, −1), (−1, 0) и (0, +∞). Тогда deg (F, M, y) = 1 y (−1, 0), ибо F

есть инъекция на (−π/2, 0), сохраняющая ориентацию F (M ). А по следствию 1 deg (F, M, y) = 0 y / [−1, 0].

5)Степень отображения можно вычислить по формуле (2). Так, например, в случае когда M = (−π/2, π), прообраз точки y (−1, 0) состо-

ит из одной точки xy = arcsin y и F (xy ) > 0. Поэтому deg (F, M, y) =

= sgn F (xy ) = 1. Полный прообраз точки y (0, 1) состоит из двух точек x1 = arcsin y и x2 = π − arcsin y, F (x1) > 0, F (x2) < 0. По формуле (2)

deg (F, M, y) = sgn F (x1) + sgn F (x2) = 0.

Прообраз точек |y| > 1 пуст. Поэтому deg (F, M, y) = 0.

2. Пусть X = Y = R3, а отображение F представляет собой сфериче-

ские координаты, F (x) = F (r, ϕ, ψ) : M → R3 :

y1 = r cos ϕ cos ψ, y2 = r sin ϕ cos ψ, y3 = r sin ψ,

M = (0, R) × (0, 2π) × (−π/2, π/2) (R — произвольное положительное число). Его якобиан в каждой точке области M положителен:

det3 F (r, ϕ, ψ) = r cos ψ > 0.

Найдем степень отображения F . Легко видеть, что уравнение F (x) = = y0 = (0, R/2, 0) имеет единственное решение (R/2, π/2, 0). И по теореме 5 находим:

deg (F, M, y) = sgn det3 F (R/2, π/2, 0) = 1.

Множество YF = Y \ F (∂M ) состоит из двух связных компонент: Y1 — шара радиуса R без полукруга,

Y1 = {y R3 : 0 < |y| = y12 + y22 + y32 < R}\

{y R3 : y2 = 0, 0 y1 R2 − y32}

и Y2 — дополнения к шару,

Y2 = {y R3 : |y| > R}.

Применяя следствие 1, заключаем, что для всех y Y1 степень отображения равна единице. Элементы y Y2, очевидно, не входят в образ множества M , и, следовательно, deg (F, M, y) = 0.

Отметим далее, что, согласно теореме 2, уравнение

F (x) = y

имеет решение в M для любых |y| < R. Причем это решение единственно. Единственность вытекает из теоремы 5 с учетом положительности якобианов во всех точках множества M , являющихся решением этого уравнения,

иравенства единице степени отображения.

3.В качестве демонстрации применения теории степени отображения в функциональном анализе докажем известную теорему Брауэра о неподвижной точке. Отметим, что приводимый метод доказательства широко используется в решении многих задач.

Теорема 9. Дифференцируемое отображение F замкнутого ограниченного шара M Rn,

M= {x Rn : |x − xc| r},

всебя имеет неподвижную точку, то есть уравнение F (x) = x имеет решение в M .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим противное: уравнение F (x) − x = 0 не имеет решения на M . Тогда в силу теоремы 2 степень отображения F1(x) = = F (x) − x в точке 0 равна нулю:

С другой стороны, семейство гомотопных отображений

Fλ(x) = λ(F (x) − xc) − (x − xc), λ [0, 1],

удовлетворяет теореме 7: при всех λ [0, 1] решение уравнения Fλ(x) = 0 не лежит на сфере

∂M = {x Rn : |x − xc| = r}.

Действительно, при λ = 0 это очевидно, а при λ = 1 это следует из нашего допущения. Если же при некотором λ0 (0, 1) это уравнение имеет

что противоречит принадлежности шару M всех образов F (x).

рой все Fλ имеют одинаковую топологическую степень. Найти ее просто для λ = 0: отображение F0, F0(x) = −x есть диффеоморфизм, а уравнение F0(x) = 0 имеет, очевидно, единственное решение x = 0. И из теоремы 4

В заключение отметим, что степень непрерывных отображений вводится путем аппроксимации их гладкими, а также она распространяется на другие типы многообразий (см., например, [2, ч. 2, гл. 3; 12, т. 2, гл. 6]). И все теоремы, кроме 5, остаются верными для непрерывных отображений F . В частности, теорема Брауэра о неподвижной точке обобщается на более широкие классы отображений и множеств (см., например, [10, гл. 1]).

Теорема 10. Непрерывное отображение F замкнутого ограниченного выпуклого множества M Rn в себя имеет неподвижную точку.

Литература

1.Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — М.: ИЛ, 1956.

2.Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.

3.Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М.: Наука, 1977.

4.Зорич В. А. Математический анализ. Ч. II. — М.: Наука, 1984.

5.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. II. — М.: Наука, 1980.

6.Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Ч. 2. — М.: Наука, 1987.

7.Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

8.Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. — М.: Мир, 1972.

9.Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — М.: Мир, 1971.

10.Никольский С. М. Курс математического анализа. Ч. II. — М.: Наука, 1973.

11.Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1977.

12.Постников М. М. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.

13.Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.

14.Шварц Л. Анализ. Т. 1 и 2. — М.: Мир, 1972.