Дифференциальные формы и многообразия

Рис. 2.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Край неориентируемого многообразия может быть ориентируемым многообразием.

Приведенные выше примеры 1–4 иллюстрируют ориентируемые многообразия. Лист Мёбиуса (пример 7) является неориентируемым многообразием (или односторонней поверхностью), а его край ориентируем. Интуитивно ориентируемое многообразие можно понимать так. Пусть нам дана 2-мерная поверхность в R3. Будем окрашивать ее, не отрывая от поверхности кисть с краской и не пересекая край (если он есть). Если при этом оказалось, что одна часть поверхности окрашена (например, верхняя часть полусферы (пример 5) или наружная сторона куба (пример 7)), а другая нет (нижняя сторона полусферы или внутренность куба), то поверхность является двухсторонней, то есть ориентируемой. Если же окрасилась вся поверхность (например, лист Мёбиуса, рис. 1), то она является односторонней, то есть неориентируемой.

6.4. Мера многообразия в Rn

Нам хорошо известно, что длина кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в нее ломаных. Однако попытка введения аналогичным способом определения площади 2-мерной поверхности в R3 приведет нас к абсурдным результатам. Именно если мы определим площадь поверхности как точную верхнюю грань площадей всех вписанных в нее многогранников, то столкнемся с ситуацией, когда эта грань бесконечна, хотя сама поверхность должна иметь конечную площадь. Примером тому является «Сапог Шварца». Г. Шварц привел следующий пример.

Пусть M — боковая поверхность прямого кругового цилиндра высоты H и радиуса основания R. Из школы мы знаем, что площадь этой поверхности равна 2πRH. Покажем, что точная верхняя грань площадей

Рис. 3.

всех вписанных в M многогранников бесконечна. Цилиндр M разобьем по высоте на n равных слоев, высота каждого из которых равна H/n. Каждую из образовавшихся в сечении n + 1 окружностей разобьем на m равных частей так, чтобы точки деления последующей окружности находились над серединами участков разбиения предыдущей. Взяв пары соседних точек одной окружности в качестве вершин вписываемых треугольников, а точки, лежащие над и под их серединами на соседних окружностях, в качестве третьих вершин, получим вписанный в M многогранник Pmn. Вид этого многогранника напоминает сжатое в гармошку голенище сапога (см. рис. 3). Поэтому его называют «Сапогом Шварца».

Площадь Smn полученного многогранника Pmn равна

Smn = 2mnR (H2/n2 + R2(1 − cos mπ )2)1/2 sin mπ .

Если теперь числа m и n устремить к бесконечности так, что величина n/m2 стремится к бесконечности, то Smn также стремится в бесконечность. Следовательно, точная верхняя грань площадей всех вписанных в M многогранников равна бесконечности.

Итак, на этом примере мы убедились, что определять площадь поверхности как супремум площадей вписанных в нее многогранников нельзя.

Существующий ныне метод определения площади поверхности называют «принципом рыбьей чешуи»: площадь поверхности рыбы примерно равна сумме площадей всех покрывающих ее чешуек, которые рассматриваются уже как «плоские» фигуры (и площади чешуек вычисляются согласно теории кратного интеграла).

Переходя к построению теории меры многообразия, заметим, что эти чешуйки с математической точки зрения можно рассматривать как кусочки плоскостей, касательных к данной поверхности.

Понятие касательного вектора и касательного пространства было введено в §3 (см. определение 3.22 и примеры 3.8 и 3.9). Посмотрим, что из себя представляет касательное множество гладкого k-мерного многообразия M в конечномерном пространстве. Пусть точка x0 M принадлежит району действия локальной карты ϕ : Qk → M, x0 = ϕ(u0). Тогда для любого u Rk найдется положительное δ такое, что вектор uα

+ α(u − u0) Qk α (−δ, δ) и, следовательно, ϕ(uα) M. А так как

ϕ(uα) − ϕ(u0) = ϕ (u0)(uα − u0) + o(uα − u0) = αϕ (u0)(u − u0) + o(α),

то элемент ϕ (u0)(u − u0) является касательным к многообразию M в точке x0, ϕ (u0)(u − u0) TM (x0). Учитывая, что ϕ есть диффеоморфизм, нетрудно показать и обратное: любой касательный к M в точке x0 вектор имеет вид ϕ (u0)(u − u0). Таким образом,

TM (x0) = {ϕ (u0)(u − u0) | u Rk}.

Это множество не зависит от способа задания локальной карты. Дей-

{ϕ (u0)(u − u0) | u Rk} = {ψ (v0)(v − v0) | v Rk}.

Так как оператор ϕ (u0) линеен, то множество TM (x0) можно рассматривать как линейное пространство. Итак, касательное к M в точке x0 множество TM (x0) есть k-мерное линейное пространство.

Касательное пространство к гиперповерхности называют гиперплоско-

стью. Нормированное векторное произведение v векторов ϕ1, . . . , ϕn, где ϕ : G → S (G Rn−1) — локальная карта, называется нормалью к гипер-

поверхности. Эта нормаль задается направляющими косинусами, которые

i = D(ϕ1, . . . , ϕi−1, ϕi+1, . . . , ϕn) . D(t1, . . . , tn−1)

Отметим для дальнейшего, что ориентация гиперповерхности может быть задана посредством выбора направления ее нормали.

Займемся теперь непосредственно построением меры многообразия в пространстве Rn. Будем исходить из того, что мы знаем меру параллелепипеда в P Rk, образованного векторами p1 = (p1,1, . . . , p1,k), . . . , pk =

где pi, pj — скалярное произведение векторов,

Пусть M — элементарное гладкое k-мерное многообразие и ϕ : Qk → M — его карта. Зафиксировав точки

Параллелепипеды qν образованы векторами tν1, . . . , tνk, исходящими из

Многообразие M разбилось на части Mν = ϕ(qν ) (ν = 1 : s). Каждой части Mν сопоставим параллелепипед Tν , образованный векторами τνi = = ϕ (ξν )(tνi) (i = 1 : k), исходящими из точки ϕ(ξν ). Параллелепипед Tν

Рис. 4.

лежит в гиперплоскости, касательной к многообразию M в точке ϕ(ξν ) (см. рис. 4).

Так как

ϕ(ξν(1), . . . , ξν(i−1), ξν(i) + tνi, ξν(i+1), . . . , ξν(k))−

−ϕ(ξν(1), . . . , ξν(i−1), ξν(i), ξν(i+1), . . . , ξν(k)) = ϕ (ξν )(tνi) + o(tνi),

то Tν мало отличается от Mν , и мы будем считать, что мера многообразия Mν приближенно равна мере параллелепипеда Tν , которую обозначим через μTν . И чем меньше длины векторов tνi, тем меньше отличие Tν от Mν .

Определение 24. Гладкое элементарное многообразие M в Rn называется измеримым, если существует и конечен следующий предел:

где = max (diam q1, . . . , diam qs) — мелкость разбиения. Величина μM называется мерой многообразия M .

Если M — простое кусочно-гладкое многообразие,

m

M = Mi,

i=1

где все компоненты Mi — гладкие измеримые многообразия, то

Как можно заметить, процесс построения меры многообразия похож на вычисление площади боковой поверхности рыбы посредством суммирования площадей покрывающих ее плоских чешуек: роль чешуек здесь играют параллелепипеды Tν .

Найдем формулу вычисления меры измеримого многообразия, а также покажем, что введенное определение меры корректно, то есть не зависит

от способа параметризации многообразия.

Теорема 3. Пусть M — гладкое k-мерное элементарное измеримое многообразие в Rn. Величина μM не зависит от способа параметризации многообразия M и вычисляется по формуле

μM = detk( ϕi(t), ϕj (t) ) dt,

Qk

где ϕ — карта многообразия M .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выведем сначала формулу вычисления меры. Будем

опираться на предыдущие обозначения. Так как

μTν = detk( ϕ (ξν )(tνi)ϕ (ξν )(tνj ) ) = detk( ϕi(ξν )ϕj (ξν ) ) |tν1| · · · |tνk|,

78 § 6. МНОГООБРАЗИЯ

Как известно, кривая имеет конечную длину (то есть спрямляема) тогда и только тогда, когда она обладает параметризацией, являющейся векторфункцией ограниченной вариации. В частности, когда она является гладким компактным многообразием.

При k = 2 M есть поверхность в n-мерном пространстве, задаваемая

Определение 2. Если M — кусочно-гладкое измеримое простое мно-

m

гообразие в Rn, M = Mi (Mi — его компоненты), то интегралом от f на

i=1

Mназывается сумма интегралов

m

Mi=1Mi

Отметим, что введенные интегралы на одномерных многообразиях называют криволинейными интегралами первого рода, а на двумерных в R3

— поверхностными интегралами первого рода.

7.2.Вычисление интегралов

Найдем формулу вычисления интеграла от функции по многообразию.

Теорема 1. Пусть на гладком k-мерном элементарном многообразии M из Rn задана равномерно непрерывная функция f и ϕ : Q→Rn, ϕ(Q) = = M, ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn), — карта M , имеющая ограниченную производную. Тогда справедливо равенство

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя теорему о среднем для интегралов, преобразуем сумму Римана:

m

=f (ϕ(τl)) detk( ϕi(ul), ϕj (ul) )μ l =

l=1

m

= (f (ϕ(τl)) − f (ϕ(ul)) detk( ϕi(ul), ϕj (ul) )μ l+

l=1

m

+f (ϕ(ul)) detk( ϕi(ul), ϕj (ul) )μ l.

l=1