Дифференциальные формы и многообразия

82§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ

2.Пусть M есть 2-мерное гладкое многообразие в Rn, то есть M — гладкая поверхность пространства Rn и f — непрерывная на M функция.

где ϕ(u, v) = (ϕ1(u, v), . . . , ϕn(u, v)), (u, v) D Rn, — гладкая параметризация поверхности M , а

То есть мы имеем поверхностный интеграл первого рода.

§ 8. Дифференциальные формы на многообразиях

Пусть M — гладкое n-мерное многообразие в нормированном пространстве X, TM (x) — его касательное пространство в точке x и Λk(TM (x))

— множество всех кососимметричных тензоров, определенных на пространстве TM (x).

Определение 1. Дифференциальной формой порядка k (или просто k- формой) на многообразии M называется отображение ω, ставящее каждой точке x M кососимметричный тензор из Λk(TM (x)).

Как указано в §6, касательное к M в точке x0 множество TM (x0) есть n-мерное линейное пространство. Поэтому дифференциальная k-форма в n- мерном линейном нормированном пространстве имеет вид (см. (4.1), а также определение 5.1):

где функции ωi1...ik определены на многообразии M , а dxi — элементы касательного пространства TM (x).

Естественным образом, как и ранее (см. §5), определяются на множестве дифференциальных форм операции сложения, умножения на скаляр и внешнего произведения. Однако непрерывность и дифференцируемость формы не может определяться как ранее, ибо функции ωi1...ik заданы только на многообразии.

Определение 2. Дифференциальная k-форма ω называется непрерывной (дифференцируемой) в точке x0 M , если непрерывными (дифференцируемыми) в t0, x0 = ϕ(t0), являются все функции ωi1...ik (ϕ(t)), где ωi1...ik заданы в представлении (1), а ϕ — локальная карта района, которому принадлежит точка x0.

Дифференциальная k-форма ω называется непрерывной (дифференцируемой, класса Cm) на гладком (класса Cm+1) многообразии M , если таковыми являются функции ωi1...ik (ϕ(t)) при любой карте атласа, соответствующей M -гладкости.

Операцию внешнего дифференцирования мы определим посредством индуцированной k-формы ϕ ω. Именно дифференциальной форме на многообразии M в точке x, принадлежащей району действия карты ϕ : Qn→M

(или ϕ : Q−n → M ), сопоставим посредством отображения ϕ (см. §5) k- форму ϕ ω.

84 § 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Определение 3. Внешним дифференциалом k-формы ω из Ωmk (M ) называется (k + 1)-форма из Ωmk+1−1(M ), обозначаемая через dω, такая, что

ϕ (dω) = d(ϕ ω)

для всякой системы координат {ϕ}.

Его значения в произвольной точке ξ = (ξ1, . . . , ξn) TM (x) определяются равенством

dω(x)(ξ) = d(ϕ ω)(ϕ(−1)(x))(tξ ),

где элемент tξ = (t1ξ , . . . , tnξ ) Rn таков, что ξ = dϕ(ϕ(−1) (x))(tξ ).

Покажем, что так определенная операция внешнего дифференцирования не зависит от способа параметризации многообразия. Действительно, пусть ψ — другая карта многообразия M . Тогда ux = ψ (x) =

=ψ(−1)(ϕ(ϕ(−1)(x))), и с учетом теоремы 5.8 имеем

ψ ω(ux) = ψ ω(ψ(−1)(ϕ(ϕ(−1)(x)))) = ψ (ϕ ◦ ψ(−1)) ω(ϕ(−1)(x)) =

=(ϕ ◦ ψ(−1) ◦ ψ) ω(tx) = ϕ ω(ϕ(−1)(x)).

Следовательно, ψ ω = ϕ ω.

Итак, если дифференциальная форма ω имеет вид (1) и нам задана карта

ϕ многообразия n-мерного пространства, район действия которой содержит точку x, x = ϕ(t), t = (t1, . . . , tn) Qk (или t Q−k ), то с учетом теоремы

и Bkm(M ) — множества замкнутых и соответственно точных дифференциальных форм из Ωmk (M ).

Теорема 1. Дифференциальная форма ω точна (замкнута) на элементарном многообразии M с картой ϕ : D → M тогда и только тогда, когда дифференциальная форма ϕ ω точна (замкнута) на D.

8.1.Примеры

1.Дифференциальная n-форма на n-мерном многообразии имеет

вид (5.2). Индуцированная форма ϕ ω, соответствующая карте ϕ многообразия в m-мерном пространстве (m n), есть

2. Пусть дифференциальная 1-форма ω = P dx + Qdy + Rdz задана на сфере S в R3 радиуса r с центром в начале координат. Ее значением в точке t = (x, y, z) S является кососимметричный тензор

ω(t) = ω(x, y, z) = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

= ω(ϕ(τ )) = P (ϕ(τ )dϕx (τ ) + Q(ϕ(τ ))dϕy (τ ) + R(ϕ(τ ))dϕz (τ ),

где t = ϕ(τ ), ϕ = (ϕx, ϕy , ϕz ), τ = (u, v), то есть

x = ϕx = r cos u cos v, y = ϕy = r sin u cos v, z = ϕz = r sin v.

Таким образом,

ω(t) = P (ϕx, ϕy , ϕz ) r(− sin u cos v du − cos u sin v dv)+

+Q(ϕx, ϕy , ϕz ) r(cos u cos v du − cos u sin v dv)+

+R(ϕx, ϕy , ϕz ) r cos v dv.

§9. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях

Всюду в этом параграфе рассматриваются ориентируемые измеримые многообразия. При этом считаем, что ориентация многообразия с краем согласована с ориентацией его края. Построение интеграла от дифференциальных форм на многообразиях проведем в два этапа. Сперва рассмотрим случай, когда форма задана на элементарном многообразии (то есть обладающим атласом, состоящим из одной карты), а затем на произвольном.

Определение 1. Пусть M — измеримое k-мерное ориентированное элементарное гладкое многообразие в Rn (k n) с атласом A = {ϕ}, ϕ : G → M , ϕ(G) = M , (G — измеримое в Rk множество). Интегралом от дифференциальной формы ω Ωmk (M ) называется интеграл от формы ϕ ω, индуцированной картой ϕ, по множеству G:

ω = ϕ ω.

MG

Естественно, определение верно при условии интегрируемости ϕ ω на G. Формулу вычисления интеграла найдем исходя из представления (5.1):

88 § 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Докажем корректность введенного определения, то есть независимость величины интеграла от способа параметризации многообразия. Пусть ψ : D → M , ψ(D) = M , — другая карта многообразия M , задающая ту же ориентацию. Тогда x = ϕ(t) = ψ(u), t G, u D, и якобиан перехода к новым координатам u = ψ−1(ϕ(t)) = η(t) положителен, det > η (t) > 0. Поэтому мы можем использовать формулу замены переменных в кратном интеграле

ω = ψ ω = ω(ψ(u)) det > ψ (u) > du1 . . . dun =

M D D

=ω(ψ(ψ−1(ϕ(t)))) det >ψ (ψ−1(ϕ(t))) det >((ψ−1(ϕ(t))) >dt1 . . . dtn =

=ω(ϕ(t)) det > ψ (u) det−1 > ψ (u) det > ϕ (t) > dt1 . . . dtn =

Таким образом, введенное определение интеграла не зависит от способа параметризации многообразия.

Интеграл по простому многообразию M = s=1 Mi определяется как

i

сумма интегралов по каждой из компонент Mi:

s

Mi=1Mi

Если дифференциальная форма ω обращается в нуль вне района действия U некоторой карты ϕ произвольного гладкого многообразия M , то по

Так же, как доказывалась корректность определения 1, нетрудно показать, что это определение не зависит от выбора карты.

Введем теперь понятие интеграла на произвольном многообразии для финитных дифференциальных форм.

Определение 2. Дифференциальная форма называется финитной на многообразии M , если ее носитель является компактом в M , то есть из любого атласа M можно выделить конечный набор карт, совокупность районов действия которых покрывает носитель.

Напомним, что носителем отображения F называется замыкание множества точек области определения, в которых F (x) = 0. Его обозначают через supp F .

Далее нам потребуются дополнительные построения.

9.1. Разбиение единицы

Приводимая ниже конструкция, называемая разбиением единицы, часто используется в различных разделах математики и является одним из основных методов решения задач на глобальных областях путем сведения их к локальным.

нечное число функций из E отлично от нуля на UM (x),

eα(x) ≡ 1 x M0.

α A

Определение 4. Пусть M0 — некоторое множество из многообразия M и V = {Vβ , β B} — его покрытие (Vβ есть пересечение открытого шара пространства Rn с M ). Разбиение единицы E на M0 называется подчиненным покрытию V , если носитель любой функции из E содержится хотя бы в одном из элементов покрытия V .

Лемма 1. Пусть K — компактное подмножество k-мерного многообразия M класса Cm, {ϕi (i = 1 : s)} — конечный набор карт, районы действия которых образуют покрытие K:

90 § 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Тогда на K существует конечное разбиение единицы E класса Cm, подчиненное покрытию U = {U1, . . . , Us}.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем считать для определенности, что Gi = Rk или Gi = R−k . Положим

−∞ −∞

принадлежит классу C∞(R), четна, строго возрастает на отрезке [−3/4, −1/4], g(t) ≡ 1 на [−1/4, 1/4], равна нулю при |t| 3/4 и