Дифференциальные формы и многообразия

4. Дифференциальная форма ω Ωmn−1(Rn) имеет вид:

n

ω(x) = ai(x)dx1 dx. . i. dxn,

i=1

а ее внешний дифференциал равен

n

dω = (−1)i−1ai(x)dx1 . . . dxn.

i=1

5.Дифференциальная форма ω Ωmn (M ) всегда замкнута в M Rn

ипо теореме Пуанкаре точна, если M звездно.

§ 6. Многообразия

Нам интуитивно понятны такие объекты, как кривая и поверхность в 3- мерном пространстве. Однако если мы попытаемся определить их строго математически, то столкнемся с определенными затруднениями, особенно в определении поверхности. Именно при определении последней мы приходим к возможности построения такой теории, которая позволяет обобщить эти понятия не только на n-мерные, но и на топологические пространства. Построением математических объектов, аналогичных кривым и поверхностям, и созданием анализа на них занимается теория многообразий. Ее развитие обусловлено потребностями современной науки и практики.

При изложении этой теории мы для наглядности акцентируем внимание на теории многообразий в пространстве Rn, которые обычно называют поверхностями.

Определение 1. Хаусдорфово топологическое пространство X со счетной базой называется k-мерным многообразием, если каждая его точка x имеет окрестность V (x), гомеоморфную либо пространству Rk, либо полупространству

R−k := {x Rk : x1 0}.

Определение 2. Гомеоморфизм ϕ : Rk → V (x) (или ϕ : R−k → V (x)) называется картой многообразия, а окрестность V (x) — районом действия карты.

Обратное отображение ϕ−1 называется системой координат или локальными координатами района V .

Совокупность карт, районы действия которых покрывают все многообразие, называется атласом многообразия.

Определение 3. Точка x X, у которой нет окрестности, гомеоморфной Rk, называется точкой края многообразия. Множество всех точек края называется краем многообразия и обозначается через ∂X.

Если ∂X = , то X называется многообразием с краем, в противном случае — многообразием без края.

Точки x X назовем 0-мерными многообразиями (без края).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Точками края многообразия x ∂X являются образы точек края

полупространства

∂ −k = {x −k : x1 = 1},

и край не зависит от выбора карт.

Теорема 1. Край k-мерного многообразия с краем является (k − 1)- мерным многообразием без края.

Действительно, так как край ∂ R−k гомеоморфен пространству Rk−1, то множество сужений карт ϕ : R−k → M на ∂ R−k порождает атлас края ∂ M

скартами, определенными на Rk−1.

Всвязи с теоремой 1 отметим, что обратное, вообще говоря, не верно: не всякое (k − 1)-мерное многообразие без края является краем некоторого k-мерного многообразия.

Определение 4. Многообразие называется связным (компактным, паракомпактным), если оно является таковым как топологическое пространство.

Компактное многообразие без края называется замкнутым.

Если две карты ϕ1, ϕ2 A имеют пересекающиеся районы действия, V1 ∩ V2 = , то на обратные отображения ϕ−1 1 и ϕ−2 1 мы можем смотреть как на разные локальные координаты точек x V1 ∩ V2.

Определение 5. Отображение ψ = ϕ1 ◦ ϕ−2 1 называется переходом от одних локальных координат точки x к другим.

Определение 6. Многообразие называется гладким (класса Cm), если оно обладает гладким (класса Cm) атласом, то есть таким, что любой переход от одних локальных координат к другим является гладким (класса Cm) отображением.

Очевидно, что многообразие обладает не одним атласом.

Определение 7. Два атласа многообразия одной и той же гладкости называются эквивалентными, если их объединение является атласом той же гладкости.

Множество эквивалентных атласов многообразия, имеющих заданную гладкость, называется структурой данной гладкости этого многообразия.

Многообразие X c заданной структурой A будем обозначать через

(X, A).

Отметим, что на одном многообразии могут быть различные структуры одной и той же гладкости (то есть могут существовать два неэквивалентных друг другу атласа многообразия одинаковой гладкости).

Многообразия часто задают посредством гомеоморфизмов, определен-

ных на соответствующих множествах из Rk. Такое задание многообразия называется его параметризацией, а множество — областью изменения па-

раметров. Эти отображения мы также будем называть картами, их совокупность — атласом многообразия, а множество — носителем карты.

Определение 8. Пусть X — гладкое многообразие размерности k, отображение F : X → Rm называется гладким в окрестности V (x0) точки x0 X, если гладкой является суперпозиция F ◦ ϕ : Q → Rm на Q Rk, где ϕ : Q → X — карта района V (x0).

Определение 9. Пусть (X, A) и (Y, B) — два гладких многообразия размерности k и n соответственно; отображение F : X → Y называется

гладким в окрестности V (x0) точки x0 X, если гладкой является суперпозиция ψ−1 ◦ F : F (V (x0)) → D Rn на F (V (x0)), где ψ : D → Y — карта района F (V (x0)).

Из последних двух определений вытекает, что отображение F : X → Y является гладким в окрестности V (x0) точки x0 X, если гладкой на Q является суперпозиция ψ−1 ◦ F ◦ ϕ : Q → Rn.

Определение 10. Подмножество M k-мерного многообразия X называется s-мерным подмногообразием (s < k), если для любой точки x0 M найдется карта ϕ : D → X многообразия X, район действия которой, U = = ϕ(D), содержит x0,

ϕ−1 = · · · = tk = 0},

а (t1, . . . , ts) есть локальные координаты сужения ϕ−1 на S ∩ U .

Например, в пространстве Rn, рассматриваемом как n-мерное многообразие, одномерными подмногообразиями являются кривые без самопересечений. Примером кусочно-гладкого простого 1-мерного подмногообразия в Rn служит ломаная с конечным числом вершин, а k-мерного — граница куба Qk+1.

В многообразии X как топологическом пространстве определено понятие открытого множества и окрестности точки. Однако, рассматривая его как новый объект (многообразие), мы введем и новую топологию, определив открытые множества.

Определение 11. Пусть X — k-мерное многообразие. Множество M X называется открытым в X, если для любой точки x M найдется окрестность V (x) (как элемента топологического пространства X), лежащая в M и гомеоморфная пространству Rk.

Любое открытое множество, содержащее точку x X, называется ее окрестностью.

Дальнейшие теоретико-множественные определения (внутренность, замкнутость, замыкание множества и т. д.) вводятся как обычно, и мы приводить их не будем. Очевидно, что для X = Rk все определения совпадают с обычными.

Таким образом, определив хаусдорфово топологическое пространство как многообразие, мы рассматриваем в нем различные объекты с точки зрения новой топологии.

Для облегчения понимания теории многообразий в дальнейшем мы акцентируем внимание на исследованиях в пространстве Rn, рассматриваемом как n-мерное многообразие. В этом случае его подмногообразия мы будем называть многообразиями.

Приводимые ниже определения есть частный случай данных выше и относятся к теории поверхностей в Rk. Заметим, однако, что имеет место вложение многообразий в конечномерное пространство: любое компактное гладкое многообразие диффеоморфно некоторой поверхности пространства Rn, где n — достаточно большое число, зависящее от многообразия. Доказательство этого утверждения можно найти в различной литературе по дифференциальной геометрии (см., например, [2, ч. 2, гл. 2]).

6.1. Многообразия в конечномерном пространстве

Определение 12. Пусть M — некоторое множество топологического пространства X. Окрестностью точки x M на M (или M -окрестностью) назовем пересечение окрестности V (x) этой точки в пространстве X с множеством M и обозначим ее через VM (x) : VM (x) = V (x) ∩ M .

Далее в этом параграфе мы полагаем X = Rn.

Определение 13. Множество M пространства X называется k- мерным многообразием, если каждая точка x M имеет M -окрестность VM (x), гомеоморфную либо пространству Rk, либо полупространству R−k .

Определение 14. Точка x M , у которой нет M -окрестности VM (x), гомеоморфной Rk, называется точкой края многообразия. Множество всех точек края называется краем многообразия и обозначается через ∂M .

Если ∂M = , то M называется многообразием с краем, в противном случае — многообразием без края.

Определение 15. Множество G M называется открытым в M , если для любой точки x M найдется M -окрестность VM (x) G, гомеоморфная пространству Rk.

Как и ранее, определяются карта, район действия карты, локальные координаты и атлас многообразия и т. д. (повторяться мы не будем). Для гладкости можно дать более простое определение.

Определение 16. Многообразие размерности k n-мерного (k n) нормированного пространства X называется гладким (класса Cm), если оно обладает гладким (класса Cm) атласом, то есть атласом, у которого все карты являются гладкими (класса Cm) и в каждой точке их производные имеют ранг k.

Определение 17. Многообразие размерности k называется кусочногладким, если из него можно удалить не более чем счетное количество (k − 1)-мерных кусочно-гладких многообразий так, что оставшаяся часть будет гладким многообразием.

Это определение индуктивно: исходя из того, что все 0-мерные многообразия считаются гладкими, имеем определение кусочно-гладких кривых (1-мерных многообразий) и т. д.

Многообразие, имеющее атлас, состоящий из одной карты, называют элементарным. Отметим, что все 0-мерные многообразия считаются эле-

ментарными и гладкими.

Многообразие M назовем простым, если оно представимо в виде конечного объединения элементарных многообразий, попарное пересечение которых есть многообразия, размерности меньшей чем M (их мы назовем компонентами M ):

m

M = Mi.

i=1

И простое многообразие назовем кусочно-гладким, если гладкими являются все его компоненты Mi (i = 1 : m).

Многообразие размерности 1 называют кривой, размерности 2 — поверхностью, размерности n − 1 в n-мерном пространстве — гиперповерхностью.

6.2.Примеры

1.Интервал (0,1) есть 1-мерное многообразие в R. Один из его атласов A состоит из одной карты:

или

ϕ : Q1 = (−1, 1) → (0, 1), ϕ(t) = (t + 1)/2.

Локальные координаты многообразия задает, например, отображение

Отрезок [0,1] есть 1-мерное многообразие с краем в R (точками края являются 0 и 1). Один из его атласов состоит из двух карт: A = {ϕ1, ϕ2},

Эти многообразия можно задать параметрически одним отображением: ϕ(t) = t, где область изменения параметра t в первом случае интервал (0, 1),

аво втором отрезок [0, 1].

2.Парабола M = { (x, y) R2 : y = x2 } является 1-мерным многообразием (без края) в R2.

3.Лемниската Бернулли (кривая вида ∞) в пространстве R2 не является многообразием, поскольку точка самопересечения не обладает M - окрестностью, гомеоморфной либо R, либо R−.

68 § 6. МНОГООБРАЗИЯ

4. Множество

является (n−1)-мерным многообразием в Rn (гиперповерхностью) без края (при n = 2 множество S есть окружность, а при n = 3 — сфера).

Причем S является гладким многообразием, ибо в каждой точке из S производная соответствующего ей решения уравнения

x21 + · · · + x2n = 1

имеет ранг n − 1 (соответствующий атлас предлагаем построить читателю). Заметим, что это многообразие можно параметризовать, используя сфе-

рические координаты или стереографическую проекцию.

Очевидно, что все точки x S являются граничными, если рассматривать S как обычное множество в Rn.

5. Полусфера

представляет собой (n − 1)-мерное элементарное многообразие с краем. Краем этого многообразия является множество точек из S0, первая координата которых равна 0:

6. Куб Qk в Rk является k-мерным многообразием (без края), а его замыкание

Qk = { x Rk : |xi| 1 (i = 1 : k) }

есть кусочно-гладкое многообразие с краем. Его край ∂Qk совпадает с границей куба как множества из Rk. Вместе с тем ∂Qk есть (k − 1)-мерное многообразие в Rk.

7. Лист Мёбиуса — поверхность, получаемая склеиванием концов полоски бумаги, один из которых предварительно развернут на 1800, — есть 2-мерное многообразие в R3 (см. рис. 1; его край — суть края этой полоски бумаги).

Рис. 1.

6.3. Ориентация многообразия

Напомним сначала понятие ориентации в конечномерном векторном пространстве En. Легко видеть, что множество всех базисов в En можно разбить точно на два класса: B1 и B2.

Два базиса принадлежат одному классу, если определитель матрицы пе-

рехода от одного базиса к другому положителен, и разным — если отрицателен. Именно пусть даны базисы b = {b1, . . . , bn} и b = {b1, . . . , bn}, b B1,

и

Определение 18. Ориентацией в пространстве En называется выбранный класс базисов в нем.

Например, пространство Rn имеет, в частности, стандартную ориентацию, соответствующую базису {e1, . . . , en}, где

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1).

Система векторов {e1, . . . , en−1, en}, en = −en = (0, 0, . . . , −1), задает в Rn другую (противоположную) ориентацию.

Введем теперь понятие ориентации многообразия.

Определение 19. Две карты многообразия называются согласованными, если либо их районы действия не пересекаются, либо якобиан перехода