Дифференциальные формы и многообразия

Естественно поставить вопрос о свойствах производного отoбражения.

Определение 19. Если производное отображение f непрерывно в точке x0 (на M ), то отображение f называется непрерывно дифференцируемым в точке x0 (на M ).

Если f дифференцируемо в точке x0, то отображение f называется дважды дифференцируемым в точке x0, и под второй производной f (x0)

понимают производную от f , а под f понимают производное отображение от f .

Вобщем случае по индукции определяется производная m-го порядка

вточке x0 и m-е производное отображение f (m):

рывна на M . Отображение f принадлежит классу C∞(M ), если f Cm(M ) при любом m.

Под C(M ) = C0(M ) понимается класс всех непрерывных на M отображений.

Определение 21. Инъективное гладкое отображение называется диффеоморфным, если обратное ему отображение также гладкое. Биективное диффеоморфное отображение называется диффеоморфизмом.

Два множества называются диффеоморфными, если между ними можно установить диффеоморфизм.

Определение 22. Пусть X — нормированное пространство. Элемент t X называется касательным вектором к множеству M X в точке z M , если существуют положительное число δ и отображение h : (−δ, δ) → X такие, что

Множество TM (z) всех касательных векторов к M в точке z называется касательным. Если TM (z) образует пространство, то оно называется касательным к M в точке z.

Действительно, отображение (3) линейно на X и удовлетворяет требованиям (2):

f (x(1), x(2)) − f (z(1), z(2)) = f (z(1), x(2) − z(2))+

+f (x(1) − z(1), z(2)) + f (x(1) − z(1), x(2) − z(2)).

Последнее слагаемое есть o(x − z), ибо в силу теоремы 1 билинейное отображение f ограничено и при x → z

f (x(1) − z(1), x(2) − z(2)) / x − z

f · x(1) − z(1) X1 · x(2) − z(2) X2 / x − z f · x − z → 0

(здесь x = max( x1 X1 , x2 X2 ), x X1 × X2).

Отметим далее, что, согласно примеру 4, производное отображение дифференцируемо. Поэтому существует вторая производная f , f = f,

и третья f = 0. Таким образом, билинейное отображение принадлежит классу C∞(X).

6. Равенство (3) индукцией по k легко обобщается на непрерывные k-линейные отображения f : X1 × · · · × Xk → Y :

f (z)(t) = f (t1, z(2), . . . , z(k)) + · · · + f (z(1), . . . , z(k−1), tk).

7. Пусть отображение f : X → Tk(X) дифференцируемо в точке z X. Согласно определению производная f (z) есть линейное отображение из X в Tk(X), так что значение f (z)(x) Tk(X), и величина (f (z)(x))(x1 , . . . , xk) от каждой из переменных x, x1, . . . , xk зависит линейно.

Следовательно, f (z) является (k + 1)-линейной формой на X : f (z)

Tk+1(X).

Обращаем ваше внимание на отличие этого примера от предыдущего: в примере 6 отображение f задавалось на декартовом произведении множеств Xi, в частности, при Xi = X (i = 1 : k) и Y = R

f : Xk → Tk(X),

а в примере 7

f: X → Tk(X).

8.Пусть M — некоторое множество нормированного пространства X, имеющее внутреннюю точку z. Тогда любой элемент x X будет касательным к M в точке z.

Действительно, так как z — внутренняя точка M , то найдется число

r>0 такое, что t M , если t − z X < r. Возьмем теперь произвольный элемент x X. Полагая в определении 20 δ = r/ x , h(α) ≡ 0, имеем z+αx M α (δ, δ).

Следовательно,

TM (z) = X.

Так как TM (z) = X z M , то для отличия касательных множеств друг от друга (а также в силу других соображений, которые будут понятны позднее) их элементы обозначают через (u, z) или uz ( (u, z) = uz = u−z ), введя операции

λ(u, z) = (λu, z), λ R,

(u, z) + (v, z) = (u + v, z)

и норму

(u, z) = u X .

Если в X определено скалярное произведение ·, ·, то полагают

(u, z), (v, z) = u, v .

Тем самым мы имеем линейное нормированное пространство Xz , называемое касательным к множеству M в точке z.

9. Пусть D — открытое множество из X и ϕ : D → Y — дифференцируемое отображение (X, Y — нормированные пространства). Найдем вектор, касательный к графику gr ϕ = {(x, y) X ×Y | x X, y = ϕ(x)} в точке z0 = (x0, ϕ(x0)). Ясно, что для любого x X найдется положительное

ϕ(xα) − ϕ(x0 ) = ϕ (x0)(xα − x0) + o(xα − x0) = αϕ (x0)(x) + o(α),

то есть

ϕ(xα) = ϕ(x0) + αϕ (x0)(x) + o(α),

то элемент (x, ϕ (x0)(x)) является касательным к множеству gr ϕ в точке z0.

Нетрудно показать и обратное: если элемент t = (u, v) Tgr ϕ(z0), то v = ϕ (x0)(u)).

Таким образом,

Tgr ϕ(z0) = {(x, ϕ (x0)(x)) | x X}.

Так как оператор ϕ (x0) : X → Y линеен, то множество Tgr ϕ(z0) является линейным пространством.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Касательным множеством к гладкой кривой в 2 является прямая, проходящая через начало координат и параллельная касательной к этой кривой, проведенной в точке z0 = (x0, ϕ(x0)).

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если gr ϕ(D) есть двумерная поверхность в 3 , то Tgr ϕ (z0) представляет собой плоскость, проходящую через начало координат параллельно касательной к поверхности в точке z0 gr ϕ. Поэтому касательные (n − 1)- мерные пространства в n называют касательными гиперплоскостями.

§ 4. Дифференциальные формы

Приведем сперва некоторые соображения, объясняющие введение понятия дифференциальной формы. Для этого рассмотрим следующий пример. Пусть в области M Rn задана дифференцируемая функция f . Каждой точке z M сопоставим производную этой функции f (z), которая является линейным функционалом, действующим на элементы множества

TM (z) = {x − z | x Rn} = Rn,

которое мы назвали касательным пространством (см. пример 8 из §3). Так что

и f (z) Λ1(TM (z)).

Таким образом, мы получили отображение ω : M → Λ1(TM (·)), ω(z) = = f (z), которое называют дифференциальной формой первого порядка (заметим, что значение дифференциальной формы ω(z) есть кососимметричный тензор на касательном к M в точке z пространстве).

Аналогично можно получить отображение ω → Λk(TM (·)), называемое дифференциальной формой k-го порядка.

Теперь перейдем к строгим определениям.

Определение 1. Отображение ω, ставящее в соответствие каждой точке z M некоторый кососимметричный k-тензор из Λk(TM (z)), где TM (z) — пространство, касательное к M в z, называется дифференциальной формой степени k, определенной на M (или просто дифференциальной k-формой).

Отметим, что дифференциальная 0-форма есть просто функция, определенная на M .

Множество всех дифференциальных k-форм на M обозначим через

Ωk(M ).

Поскольку в дальнейшем речь будет идти только о дифференциальных формах, то для сокращения мы их будем называть просто формами или k-формами.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В предыдущем параграфе мы дали определение касательного вектора и касательного пространства. В соответствии с рассмотренным там же примером 8, в частном случае для пространств, касательных к открытому множеству, можно дать простое определение. Касательным к открытому множеству M в точке z M пространством назовем совокупность

TM (z) = {(x, z) | x X}

и нормой

(x, z) = x X .

Если в X определено скалярное произведение ·, ·, то полагаем

(x, z), (y, z) = x, y .

Элементы пространства TM (z) будем для удобства обозначать также через xz .

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Обращаем ваше внимание на то, что дифференциальная форма ω есть отображение M во множество внешних форм, а значение дифференциальной формы ω(z) также есть отображение, то есть конкретная внешняя

k-форма, соответствующая данной точке z области определения отображения ω и действующая на касательном в точке z к множеству M пространстве.

Если X — конечномерное пространство, то согласно теореме 2.6 для задания k-формы надо определить в (2.9) коэффициенты ai1...ik как величины, зависящие от точки z M , которые мы будем обозначать через ωi1...ik (z), то есть координаты k-тензора ω(t) являются функциями, заданными на M .

Таким образом, при dim X = n k-формы на X имеют вид

где ωi1...ik — функции, заданные на M , а функционалы fij принадлежат

сопряженному к TM (z) пространству, fij TM (z).

При X = Rn в качестве базисных функционалов fi возьмем проек-

1 i1<···<ik n

Например, 1-форма в Rn имеет вид:

ω(z) = ω1(z) dx1 + · · · + ωn(z) dxn,

аn-форма есть моном:

ω(z) = a(z) dx1 . . . dxn.

Определение 2. Дифференциальная форма ω(t) называется непрерывной (дифференцируемой) в точке t0 M X, если непрерывным (дифференцируемым) в t0 является отображение ω : M → Λk(X); ω(t) принадлежит классу Cm(M ) (m 0), если отображение ω Cm(M ).

Из общих теорем легко доказать следующий критерий гладкости дифференциальной k-формы в конечномерном случае.

Теорема 1. Пусть dim X = n. Дифференциальная k-форма ω на M X непрерывна (дифференцируема) в точке t0 M тогда и только тогда, когда все ее координатные функции ωi1...ik (t) непрерывны (дифференцируемы) в t0; ω(t) Cm тогда и только тогда, когда все коэффициенты ωi1...ik (t) m раз непрерывно дифференцируемы на M .

Множество всех дифференциальных k-форм класса Cm(M ) обозначим через Ωmk (M ), Ωmk := Ωmk (X). В частности, Ω00 и Ω10 — множества всех непрерывных и соответственно дифференцируемых на M функций.

Если ω(t) Ω10(M ), то для любой точки t0 M производная ω (t0), являясь линейным функционалом на X, принадлежит множеству 1-валентных тензоров на X и, следовательно, ω (t) Ω01(M ). Однако если ω(t) Ω1k(M ) (k 1), то, как показано в предыдущем параграфе (пример 7), производная ω (t0), являясь (k + 1)-тензором на X, вообще говоря, не принадлежит множеству Λk+1(X) и, следовательно, ω (t) Ω0k+1(M ), то есть в общем случае производная дифференциальной формы не является дифференциальной формой. Для устранения этого недостатка вводится операция внешнего дифференцирования. К определению этой операции легко прийти, если заметить, что производная дифференциальной k-формы есть (k + 1)-тензор, и этот тензор остается проальтернировать, с тем чтобы из него получить кососимметричный тензор. Итак, получаем следующее

Определение 3. Внешним дифференциалом k-формы ω из Ωk(M ) называется величина

dω = (k + 1) Alt ω .

Согласно определению альтернатора значение внешнего дифференциала равно

k

dω(t0))(x0, . . . , xk) = (−1)i(ω (t0)(xi))(x0, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xk ).

i=0

ЗАМЕЧАНИЕ 3. В соответствии с понятиями математического анализа внешний дифференциал k-формы правильнее было бы назвать «внешней производной». Однако введенный термин и символ являются общепринятыми.

4.1.Примеры

1.Пусть ω Ω10(M ), то есть является дифференцируемой функцией на M . Тогда dω(z) = ω (z), ω (z) Ω01(M ), и

(dω(z))(xz ) = ω (z)(xz ) = ω (z)dx.

2. Если ω Ω11(M ), то dω Ω02(M ) и

(dω(z))(x1, x2) = (ω (z)(x1))(x2 ) − (ω (z)(x2))(x1 ).

Отсюда вытекает

Теорема 2. Пусть ω Ωm1 (M ) (m 1). Внешний дифференциал dω равен нулю в точке z, dω(z) = 0, тогда и только тогда, когда билинейное отображение Fz : X × X → R,

Fz (x1, x2) = (ω (z)(x1))(x2),

является симметричным тензором.

4.2. Свойства внешнего дифференциала

Приведем другие свойства внешнего дифференциала. Здесь мы в основном изучаем дифференциальные формы в конечномерных пространствах, поэтому доказательства приводимых ниже и в следующем параграфе утверждений будут даны лишь для этого случая. В общем случае их доказательства выглядят несколько сложнее, и по этому поводу мы отсылаем читателя, например, к монографии А. Картана [6, ч. 2, гл. 3].

Теорема 3. Для дифференциальных форм ω и η из Ωmk (M ), M X, m 1, справедливо равенство

d(ω + η) = dω + dη.