Дифференциальные формы и многообразия

§ 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ 101

аее внешний дифференциал равен

Таким образом, согласно формуле (1) имеем:

С учетом формулы (5.6) вычисления интеграла по множеству от дифференциальной формы последнее равенство можно переписать в виде:

где обход контура ∂M в криволинейном интеграле производится в положительном направлении.

Это хорошо известная формула Грина, связывающая криволинейный интеграл второго рода по границе ∂M области M R2 с двойным интегралом по этой области.

3.Формула Стокса для 1-формы

ω= P dx + Qdy + Rdz

4. Пусть M — 3-мерное многообразие в R3. Внешний дифференциал 2-формы

ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy

102 § 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

где слева стоит интеграл по внешней стороне поверхности, ограничивающей множество M .

Это известная формула Остроградского–Гаусса, связывающая поверхностный интеграл второго рода по границе множества из R3 с тройным интегралом по этому множеству.

5. Формула (4) не верна для дифференциальной 2-формы

заданной на кольце из R2,

M = {(x, y) | 1 < x2 + y2 4},

ориентированном стандартными декартовыми координатами. В этом случае (см. замечание 4.4)

dω = 0 dω = 0.

M

С другой стороны, край

∂M = {(x, y) | x2 + y2 = 4}

104 § 10. НЕЗАВИСИМОСТЬ ИНТЕГРАЛА ОТ ФОРМЫ МНОГООБРАЗИЯ

§ 10. Независимость интеграла от формы многообразия

Анализируя формулу Стокса, можно заметить возможную ситуацию, когда величина интеграла от дифференциальной формы не зависит от формы многообразия с краем, а зависит лишь от его края. Например, если финитная дифференциальная форма ω Ωmk точна на множестве G, ω = = d η и M G — k-мерное многообразие с краем, то, применяя формулу

мы придем к выводу, что интеграл слева в (1) зависит лишь от его края. И если еще M является краем некоторого (k + 1)-мерного многообразия N , то

ω = ω = d ω = d2 η = 0.

M ∂ N N N

Итак, в этом параграфе мы рассмотрим возможные ситуации, когда величина интеграла от дифференциальной формы не зависит от формы многообразия с краем, а зависит лишь от его края.

Из формулы (1) и теоремы 5.3 вытекают следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть в открытом связном множестве D Rn задана точная финитная k-форма ω Ωmk (D) (m 1). Тогда величина интеграла от этой формы по гладкому ориентированному многообразию из D не зависит от формы многообразия, а зависит от его края.

Теорема 2. Пусть в открытом связном множестве D Rn, звездном относительно некоторой точки, задана замкнутая финитная k-форма ω Ωmk (D) (m 1). Тогда величина интеграла от этой формы по гладкому ориентированному многообразию из D не зависит от формы многообразия, а зависит от его края.

Теорема 3. Пусть в открытом связном множестве D Rn задана гладкая финитная k-форма ω Ωmk (D). Если величина интеграла от этой формы по гладкому ориентированному многообразию из D не зависит от него, а зависит от его края, то интеграл от этой формы по любому ориентированному многообразию без края из D равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Многообразие без края M можно представить в виде объединения двух противоположно ориентированных многообразий с об-

К сожалению, обратить это теорему нельзя хотя бы потому, что объединение двух многообразий с общим краем в общем случае не является многообразием (например, лемнискату Бернулли можно представить как объединение двух кривых с общим краем), а тем более многообразием без края, и интеграл по этому объединению не определен.

В следующем параграфе мы устраним эту неприятность, введя понятия цепи и цикла. Здесь же мы рассмотрим многообразия малой размерности, для которых можно получить другие конструктивные условия зависимости интеграла от их формы.

10.1. Независимость интеграла от формы кривой

Рассмотрим 1-мерные многообразия.

Теорема 4. Пусть на связном множестве D задана гладкая дифференциальная финитная форма ω Ωm1 (D) (m 1).

Величина интеграла от этой формы по 1-мерному многообразию из D не зависит от формы этого многообразия, а зависит от его края тогда и только тогда, когда она точна на D.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность вытекает из теоремы 1. Докажем необходимость. Пусть интеграл от ω не зависит от формы кривой. Покажем, что в этом случае дифференциальная форма ω точна на D. Для этого,

зафиксировав произвольную точку x0 D, x0 = (x(0)1 , . . . , x(0)n ), введем

в рассмотрение функцию η от переменной x D как интеграл по произвольной кусочно-гладкой кривой [x0, x], лежащей в D и край которой есть точки x0 и x:

η(x) = ω.

[x0,x]

Покажем, что dη = ω. Для этого нам надо доказать равенства

∂η(x)

= ωj (x) x D (j = 1 : n).

∂xj

и только тогда, когда в аналитическом представлении ω ее коэффициенты удовлетворяют равенствам

Полученные результаты объединим в одну теорему.

Теорема 7. Пусть на связном открытом множестве D, звездном относительно некоторой точки, задана гладкая дифференциальная финитная форма ω Ωm1 (D).

Следующие ниже утверждения эквивалентны:

i)интеграл от ω не зависит от формы многообразия;

ii)дифференциальная форма ω точна на D ;

iii)дифференциальная форма ω замкнута на D ;

iv)коэффициенты дифференциальной формы удовлетворяют равенствам (2).

10.2.Независимость интеграла от формы поверхности

Рассмотрим теперь 2-мерные многообразия в пространстве R3. Напомним, что такие многообразия называются поверхностями.

Теорема 8. Пусть на открытом множестве D R3, звездном относительно некоторой точки, задана гладкая дифференциальная финитная форма ω Ωm2 (D).

Величина интеграла от этой формы по 2-мерному многообразию из D не зависит от формы этого многообразия, а зависит от его края тогда и только тогда, когда она точна на D.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность вытекает из теоремы 1. Докажем необходимость. Пусть интеграл от ω не зависит от формы поверхности. Докажем, что в этом случае дифференциальная форма

ω = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy,

где P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) — координатные функции, точна на D. Согласно примеру 3 из § 5

Множество всех k-мерных сингулярных цепей во множестве D является линейным пространством, которое обозначим через Ck(D).

Дадим теперь определение границы сингулярного куба и цепи. Пусть задан сингулярный k-мерный куб c. Каждому вектору x = (x1, . . . , xk−1)[0, 1]k−1 сопоставим элемент из Rk

hkiα(x) = (x1, . . . , xi−1, α, xi, . . . , xk−1).

Таким образом, отображение hkiα : [0, 1]k−1 → Rk есть (k − 1)-мерный сингулярный куб в Rk.

Определение 3. Отображения hki0 и hki1 назовем гранями куба [0, 1]k, а (k − 1)-мерную сингулярную цепь

— его границей.

Отображения (−1)ici0 и (−1)i−1ci1 называют ориентированными гранями сингулярного куба, так что граница ∂ c представляет собой сумму его ориентированных граней. Это можно условно изобразить на рисунке при k = 2 (см. рис. 5).

Здесь квадрат есть стандартный 2-мерный куб, отрезки AB c10, DA c20, BC c11, CD c12 есть грани, а направленные отрезки AB, AD, BC, DC — его ориентированные грани, совокупность которых есть граница куба.

Определение 5. Границей ∂ c k-мерной сингулярной цепи c = λ1c1 +

+· · · + λscs называется (k − 1)-мерная сингулярная цепь

∂c = λ1∂ c1 + · · · + λs∂ cs.