Дифференциальные формы и многообразия

§ 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ 91

Множество V всех образов

V = {Vai = ϕi(Pi(a)) | a Ui ∩ K, i = 1 : s}

образует покрытие компакта K. Из него выделим конечное подпокрытие

Vl = {Vj = ϕij (Pij (aj )), j = 1 : l}.

поскольку каждая точка x K принадлежит некоторому элементу Vν под-

покрытия Vl и haν iν (x) = 1.

Таким образом, функции {e1, . . . , el} образуют разбиение единицы,

делить подпокрытие {Ui1 , . . . , Uil } компакта K и подчиненное ему конечное разбиение единицы {e1, . . . , el} так, что supp ej Uij и ∂Uij ∂M . В этом случае для дифференциальной формы ω на M в соответствии с (2) имеем:

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Лемма 1 верна, если K — паракомпактное многообразие, поскольку в ее доказательстве нам требуется выделять конечное покрытие.

Определение 5. Пусть M — гладкое n-мерное ориентированное многообразие с ориентирующим атласом A и ω Ωmn (M ) — финитная дифференциальная форма; {ϕ1, . . . , ϕs} — конечный набор карт атласа A, ϕi : Gi → Ui, Gi Rn (i = 1 : s), районы действия которых U1, . . . , Us образуют покрытие supp ω.

Интегралы от дифференциальных форм первого порядка по одномерным многообразиям называются криволинейными интегралами второго ро-

да, а от форм второго порядка по поверхностям (то есть двумерным многообразиям в R3) — поверхностными интегралами второго рода.

9.2. Свойства интегралов

Для того чтобы не загромождать формулировки свойств, будем полагать наложенными все требуемые условия для существования соответствующих интегралов. Сформулируем простейшие из них. Из определений интеграла легко вытекают следующие две теоремы.

Теорема 3. Пусть M — ориентированное многообразие, а M − — то же многообразие, но с противоположной ориентацией. Тогда

ω = − ω.

MM−

Действительно, вычисление второго интеграла осуществляется посредством замены всех карт ϕ атласа многообразия M на −ϕ, образующих противоположно ориентированный атлас M .

Пусть M и N — ориентированные многообразия с ориентирующими атласами AM и AN соответственно, и F : N → M есть диффеоморфизм. Образ F (AN ) представляет собой согласованный атлас подмногообразия

F (N ) M . Если F (AN ) AM есть согласованный атлас F (N ), то будем говорить, что отображение F сохраняет ориентацию M и меняет в против-

ном случае. Правило замены переменных в интеграле дает

94 § 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Теорема 4. Пусть M и N — ориентированные многообразия и F : N → M есть диффеоморфизм. Тогда

ω = εF F ω,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для простоты рассмотрим элементарные многообразия. Пусть AN = {ϕ} — ориентирующий атлас многообразия N с областью определения Q. Тогда {F ◦ ϕ} является согласованным атласом многообразия F (N ), который в зависимости от F сохраняет или меняет ориентацию M . Поэтому согласно определению интеграла с учетом теорем 5.7 и 3

то в условиях теоремы

9.3.Примеры

1.Криволинейные интегралы второго рода. Пусть на гладком ориентированном элементарном одномерном многообразии (кривой) M , заданном картой ϕ : [a, b] → Rn, определена гладкая дифференциальная форма

где x = ϕ(t), t [a, b], то есть xi = ϕi(t) (i = 1 : n).

Вчастности, при n = 3, полагая

ω= P dx + Qdy + Rdz,

где P, Q, R — функции, заданные на кривой

+ Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t))dt.

Последнее равенство есть формула вычисления криволинейного интеграла второго рода в пространстве R3.

2. Поверхностный интеграл второго рода. На гладком ориентированном элементарном двумерном многообразии M с атласом ϕ : G → M , G R2, зададим гладкую дифференциальную форму второго порядка

—соответствующие якобианы карты, задающей многообразие M .

Вчастности, при n = 3, полагая

ω= P dy dz + Qdz dx + Rdx dy,

96 § 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

где P, Q, R — функции, заданные на поверхности

M= {(x, y, z) R3 :

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) | (u, v) G},

имеем

P dy dz + Q dz dx + R dx dy =

Это равенство есть формула вычисления поверхностного интеграла второго рода в пространстве R3.

3. Интегрирование по гиперповерхности. Рассмотрим случай, когда многообразие есть гиперповерхность (то есть (n − 1)-мерное многообра-

зие в Rn).

Пусть на гладкой элементарной гиперповерхности S Rn с картой ϕ : G → S задана гладкая дифференциальная (n − 1)-форма:

n

=ωi(ϕ(t)) cos αi(t)dt1 . . . dtn−1,

i=1 G

где cos αi(t) — направляющие косинусы нормали к гиперповерхности S (см. § 6).

Этой формулой устанавливается, в частности, связь между интегралами первого и второго рода по кривой и поверхности.

9.4. Формула Стокса

Перейдем к центральной теореме теории дифференциальных форм на многообразиях.

Теорема 5. Пусть M — гладкое ориентированное многообразие размерности n и ориентация его края (если он есть) согласована с ориентацией M . Тогда для финитной на M дифференциальной формы ω Ωmn−1(M ) (m 2) справедливо равенство

∂M M

Если ∂M = , то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство проведем в три этапа:

1)M есть куб, M = Qk или M = Q−k (см. (6.1) и (6.2));

2)M есть элементарное многообразие;

3)в общем случае.

1. Пусть M = Qk или M = Q−k . При n = 1 равенство (4) вытекает из формулы интегрирования функций на отрезке: в этом случае дифференциальная форма ω есть функция, ω(x) = f (x), определенная на кривой M , задаваемой параметрически x = ϕ(t), t [−1, 1], dω = f dx, ∂M = {A = = ϕ(−1), B = ϕ(1)} и

ω := ω(B) − ω(A) = f (B) − f (A),

∂M

а с другой стороны:

1

dω = f (ϕ(t))ϕ (t)dt = f (ϕ(1)) − f (ϕ(−1)) = f (B) − f (A).

M−1

100§ 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ

3.Рассмотрим, наконец, общий случай. В силу финитности ω в соответ-

ствии с леммой 1 и замечанием 1 найдем конечный набор карт {ϕ1, . . . , ϕs}, ϕi : Gi → Ui, Gi Rn (i = 1 : s) атласа многообразия M , районы действия которых, U1, . . . , Us, образуют покрытие supp ω, и {e1, . . . , es} — разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, supp ej Uj (i = 1 : s). Тогда supp dω supp ω,

И по определению 5 с учетом теоремы 5.1, равенств (2)–(3) и замечания 1 находим:

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если M — компактное многообразие, то форма ω Ω2k (M ) является финитной и, следовательно, верна формула (4).

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Для гладких дифференциальных форм, заданных на некомпактном многообразии, формула (4), вообще говоря, не верна (см. ниже пример 5).

9.5.Примеры

1.При n = 1 и M = [a, b] R мы получаем формулу Ньютона– Лейбница: в этом случае ∂M = {a, b} и

dω = ω := ω(b) − ω(a).

M∂M

2.Пусть M — двухмерное многообразие в R2. Дифференциальная 1- форма в этом случае имеет вид:

ω= P dx + Qdy,