Дифференциальные формы и многообразия

Нетрудно видеть, что так введенный интеграл обладает всеми основными свойствами интеграла от функции многих переменных. Особо остановимся на замене переменных в интеграле.

5.3. Замена переменных

Проблему замены переменных в интеграле от дифференциальной формы можно легко свести к замене переменных в интеграле от функций. Однако мы подойдем к ней с общей точки зрения: как меняется дифференциальная форма при замене переменных. Этот вопрос уже затрагивался в § 4. Здесь мы лишь формально определим соответствующую дифференциальную форму.

Определение 5. Пусть k-форма ω Ωmk (M ) имеет вид (1) и ϕ : M →

→M — отображение, m + 1 раз дифференцируемое на множестве M s-мерного нормированного пространства X . Отображение ϕ : Ωmk (M ) →

→Ωmk (M ), задаваемое равенством

называется индуцированным, а его значение ϕ ω — индуцированной k-

Индуцированная форма обладает свойствами, указанными в §4.

Теорема 6. Пусть ω Ω0m(M ) и отображение ϕ : M → M дифференцируемо на множестве M s-мерного нормированного пространства X . Тогда для отображения ϕ справедливы равенства (4.3) – (4.7).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенства (4.3) – (4.4) очевидны, а (4.5) вытекает из (4.6) при l = 0. Равенство (4.6) легко вытекает из определений и свойств внешнего произведения: если форма ω имеет вид (1), а

54 § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

то

Пусть теперь ω Ωmk (M ) (m, k 1). Тогда по определению с учетом последнего равенства, теоремы 1 и (4.6) имеем

1 i1<···<ik n

то есть дифференциальная форма ϕ ω получается из формы ω путем формальной замены переменных x = ϕ(t), xi = ϕi(t1, . . . , ts) (i = 1 : n).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нам надо преобразовать внешнее произведение

При k = 2 в соответствии со свойствами внешнего произведения имеем

Поэтому теорема 7 верна при k = 2. Пусть теорема 6 верна для (k − 1)- формы

ϕ (dxi1 ) . . . ϕ (dxik−1 ) =

D(ϕi1 , . . . , ϕik−1 )

=1 j1<···<jk−1 s D(tj1 , . . . , tjk−1 ) dtj1 . . . dtjk−1 .

56 § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Тогда для k-формы dxi1 . . . dxik получаем

ϕ (dxi1 ) . . . ϕ (dxik ) = ϕ (dxi1 ) . . . ϕ (dxik−1 ) ϕ (dxik ) =

D(ϕi1 , . . . , ϕik−1 ) ik

=1 j1<···<jk−1 s D(tj1 , . . . , tjk−1 ) dtj1 . . . dtjk−1 j=1 ∂tj dtj =s ∂ϕ

Последнее равенство получается путем разложения якобиана k-го порядка по последнему столбцу и применения (2.4) с учетом того, что dtj1 . . .

Следствие 1. Если dim X = n и ω Ωmn (m 1), то

ϕ ω = ω ◦ ϕ detn ϕ dx1 . . . dxn.

(ϕ ω)(x) = ω(ϕ(x)) detn ϕ (x) dx1 . . . dxn.

Следующая теорема показывает, что индуцированное отображение обладает свойством транзитивности.

Теорема 8. Пусть M , M , M — открытые множества в X, X , X соответственно, dim X = n, dim X = s, dim X = d, и заданы непрерывно дифференцируемые отображения ϕ : M → M и ψ : M → M такие, что имеет смысл их суперпозиция ϕ ◦ ψ. Тогда

(ϕ ◦ ψ) = ψ ◦ ϕ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим η = ϕ ◦ ψ, η = (η1, . . . , ηn), ϕ =

= (ϕ1, . . . , ϕn), ψ = (ψ1, . . . , ψs), ηi = ϕi(ψ) = ϕi(ψ1, . . . , ψs) (i = 1 : n). Надо доказать, что

(ϕ ◦ ψ) ω = ψ (ϕ ω) ω Ωmk (M ).

Пусть сначала k = 0. Тогда по определению

(ϕ ω)(·) = ω(ϕ(·)) и (ψ (ϕ ω))(·) = ω(ϕ(ψ(·))).

С другой стороны:

(ϕ ◦ ψ) ω(·) = ω(ϕ ◦ ψ(·)) = ω(ϕ(ψ(·))) = (ψ ◦ ϕ )ω(·).

Положим теперь k > 0. В силу (4.7) ϕ (dxi) = d(ϕi) и

ψ (ϕ (dxi)) = ψ (dϕi) = d(ϕi(ψi)).

С другой стороны:

(ϕ ◦ ψ) (dxi) = d(ϕi ◦ ψi) = d(ϕi(ψi)) = (ψ ◦ ϕ )(dxi).

Теорема 9. Пусть ω Ω0k(G), G — измеримое в Rk множество, отображение ϕ : G → G непрерывно дифференцируемо на G X , ϕ(G ) = G, dim X = k, и в каждой точке x G его матрица Якоби ϕ (x ) имеет ранг k, detk ϕ (x ) = 0, тогда

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из теорем 5, 7 и формулы замены переменных в интеграле от функций вытекает:

58§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ω = a(x) dx1 . . . dxk =

Заметим, что для гладких отображений согласно известной теореме А. Сарда множество критических значений (то есть значений отображения, прообраз которых содержит точки c равным нулю якобианом) имеет меру нуль. Поэтому теорема 9 верна в случае, когда ϕ есть диффеоморфизм.

Приведем примеры нахождения внешнего дифференциала и замены переменных в дифференциальной форме.

5.4.Примеры

1.Пусть X = R3, элементы R3 есть точки с координатами x, y, z. 0-форма из Ωm0 (M ) является m раз непрерывно дифференцируемой на M R3 функцией ω(x, y, z), ее внешний дифференциал есть

dω = ∂ω∂x dx + ∂ω∂y dy + ∂ω∂z dz.

Форма ϕ , индуцированная отображением ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3), имеет вид

ω = P dx + Qdy + Rdz,

где координатные функции P, Q, R m раз непрерывно дифференцируемы

на множестве M R3. По определению

dω = dP dx + dQ dy + dR dz = ∂P∂x dx + ∂P∂y dy + ∂P∂z dz dx+

+∂Q∂x dx + ∂Q∂y dy + ∂Q∂z dz dy + ∂R∂x dx + ∂R∂y dy + ∂R∂z dz dz =

=∂Q∂x − ∂P∂y dx dy + ∂R∂x − ∂P∂z dx dz + ∂R∂y − ∂Q∂z dy dz.

Каждой точке t M сопоставим векторы v(t) = (P (t), Q(t), R(t)) и

rot v = ∂R∂y − ∂Q∂z , ∂P∂z − ∂R∂x , ∂Q∂x − ∂P∂y .

Вектор rot v называется ротором вектора v (его еще называют вихрем вектора v). Тогда

(dω)(ξ1 , ξ2) = (rot v, ξ1, ξ2), ξ1, ξ2 R3,

есть смешанное произведение векторов rot v, ξ1 и ξ2 из R3:

В соответствии с теоремой 3, форма ω точна и замкнута на звездном множестве тогда и только тогда, когда rot v = 0 , то есть

Значение отображения ϕ , для ϕ = (ϕ1, ϕ2, ϕ3), имеет вид

ϕ ω = P (ϕ1, ϕ2, ϕ3)dϕ1 + Q(ϕ1, ϕ2, ϕ3)dϕ2 + R(ϕ1, ϕ2, ϕ3)dϕ3 =

где a, b — скалярное произведение векторов a и b.

60 § 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

3.Пусть X = R3. Дифференциальная форма ω Ωm2 (M ) имеет вид

ω= P dy dz + Qdz dx + Rdx dy,

где P, Q, R — те же координатные функции, что и в примере 2. Тогда после простых выкладок находим

dω = dP dy dz + dQ dz dx + dR dx dy =

= ∂P∂x + ∂Q∂y + ∂R∂z dx dy dz.

Величина

div v = ∂P∂x + ∂Q∂y + ∂R∂z

называется дивергенцией вектора v = (P, Q, R).

Согласно теореме 3 форма ω точна на звездном множестве M тогда