Дифференциальные формы и многообразия

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, например, первое из этих равенств. Пусть F, G Tk(X), H Tl(X), тогда для любого вектора x Xk+l, x = (x , x ), x Xk, x Xl по определениям 4 и 5 имеем:

((F + G) H)(x) = (F + G)(x )H(x ) = (F (x ) + G(x ))H(x ) =

=F (x )H(x ) + G(x )H(x ) = (F H)(x) + (G H)(x) =

=((F H) + (G H))(x).

Остальные равенства доказываются аналогично (что предлагается сделать читателю). Теорема 1 доказана.

1.3. Аналитическое представление тензоров

Операция тензорного произведения позволяет дать единое представление k-тензоров на конечномерных пространствах X через элементы сопряженного пространства X , то есть линейные функционалы, определенные на X (заметим, что X = T1(X)).

Теорема 2. Пусть dim X = n и {f1, . . . , fn} — базис сопряженного

является базисом пространства Tk(X), то есть любой k-тензор F Tk(X) имеет вид

12 § 1. ТЕНЗОРЫ

В силу линейности функционалов fij имеем:

(fi1 · · · fik )(x1, . . . , xk) = fi1 (x1) . . . fik (xk ) =

n n

то есть тензор F имеет вид (2), в котором ai1,...,ik = F (ei1 , . . . , eik ).

Нам остается показать линейную независимость системы тензоров (1). Допустим, что найдутся числа ai1...ik , при которых тензор (2) равен нулю, F = 0. Тогда с учетом (3) находим

0 = F (ei1 , . . . , eik ) = ai1...ik .

Это и означает линейную независимость тензоров (1). Теорема 2 доказана.

Таким образом, при dim X = n, взяв любые n линейно независимых 1-валентных тензоров f1, . . . , fn T1(X) (то есть линейных функционалов

на X), посредством формулы (2) можно получить любой k-тензор из Tk(X).

Значение k-тензора F есть

n

Коэффициенты ai1...ik в представлении (2) называются координатами тензора F (по базису {f1, . . . , fn}).

Например, 2-тензор F на трехмерном пространстве X имеет вид:

F= a11f1 f1 + a12f1 f2 + a13f1 f3+

+a21f2 f1 + a22f2 f2 + a23f2 f3+

+a31f3 f1 + a32f3 f2 + a33f3 f3,

аего значения F (x) = F (x1, x2), x1, x2 X, есть

F(x) = a11f1(x1)f1(x2) + a12f1(x1)f2(x2) + a13f1(x1)f3(x2)+

+a21f2(x1)f1(x2) + a22f2(x1)f2(x2) + a23f2(x1)f3(x2)+

+a31f3(x1)f1(x2) + a32f3(x1)f2(x2) + a33f3(x1)f3(x2),

где f1, f2, f3 — линейные функционалы на X.

3-тензор F в двухмерном пространстве X имеет вид:

F = a111f1 f1 f1 + a112f1 f1 f2 + a121f1 f2 f1+ +a122f1 f2 f2 + a211f2 f1 f1+

+a212f2 f1 f2 + a221f2 f2 f1 + a222f2 f2 f2,

а его значения F (x) = F (x1, x2, x3), x1, x2, x3 X, есть

F(x) = a111f1(x1)f1(x2)f1(x3) + a112f1(x1)f1(x2)f2(x3)+

+a121f1(x1)f2(x2)f1(x3) + a122f1(x1)f2(x2)f2(x3)+

+a211f2(x1)f1(x2)f1(x3) + a212f2(x1)f1(x2)f2(x3)+

+a221f2(x1)f2(x2)f1(x3) + a222f2(x1)f2(x2)f2(x3).

Заметим при этом, что векторы x1, x2, x3 линейно зависимы. Поэтому если, например, x3 = ax1 + bx2, то F (x) можно с учетом линейности функционалов f1 и f2 преобразовать в отображение, зависящее от переменных x1 и x2.

§ 2. Cимметричные и кососимметричные тензоры

Во множестве Tk(X) выделим два важных подмножества симметричных и кососимметричных тензоров.

Определение 1. Тензор F Tk(X) называется симметричным, если для любых x = (x1, . . . , xk) Xk и i, j = 1 : k

F (x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xk) = F (x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xk ),

то есть при перестановке местами любых двух координат вектора x Xk значение F (x) не меняется.

Определение 2. Тензор F Tk(X) называется кососимметричным, если для любых x = (x1, . . . , xk) Xk и i, j = 1 : k

F (x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xk) = −F (x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xk),

то есть при перестановке местами любых двух координат вектора x Xk значение F (x) меняется на противоположное.

Кососимметричные тензоры называют еще антисимметричными или

знакопеременными. Их называют также внешними или косыми формами.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. 0- и 1-тензоры считаются по определению как симметричными, так и кососимметричными.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Кососимметричный тензор определяют еще как такой, значение которого обращается в нуль, если хотя бы две его переменные равны,

xi = xj F (x1, . . . , xk ) = 0.

Для линейных пространств над полем действительных чисел это определение эквивалентно введенному ранее (докажите).

Через Sk(X) и Λk(X) обозначим множество всех симметричных и соответственно кососимметричных k-тензоров на X. Полагаем также

S0(X) = Λ0(X) = T0(X), S1(X) = Λ1(X) = T1(X).

Очевидно, что Sk(X) и Λk(X) являются линейными подпространствами пространства Tk(X).

Например, скалярное произведение ·, · в гильбертовом пространстве H есть симметричный 2-тензор, ·, · S2(H), а определитель detk является кососимметричным k-тензором на Rk, detk Λk(Rk).

Из определения кососимметричного тензора вытекают следующие его простейшие свойства:

1)если две координаты вектора x Xk принимают одинаковые значения, то

Для дальнейшего изложения нам потребуется привлечь подстановки. Напомним, что подстановкой конечного упорядоченного множества

называется биекция этого множества на себя.

Пусть M = {m1, . . . , mk} — упорядоченный набор k элементов и p

— их подстановка: p(M ) = {p(m1), . . . , p(mk)}, p(mj ) — ее значение на элементе mj (то есть подстановка есть перестановка местами элементов упорядоченного множества).

Подстановка, меняющая местами только два элемента множества, называется транспозицией.

Любая подстановка p множества M есть суперпозиция конечного числа транспозиций, то есть

p(M ) = t1 ◦ · · · ◦ ts(M ),

где tj — транспозиция. Очевидно, что такое представление не единственно. Однако во всех таких представлениях число транспозиций, участвующих

в них, либо всегда четно, либо всегда нечетно. Если это число четно (нечетно), то подстановка p называется четной (нечетной). Каждой подстановке

p сопоставим число

ε(p) =

1, если подстановка p четна, −1, если подстановка p нечетна,

называемое сигнатурой или характеристикой подстановки.

Например, пусть M = {1, . . . , 5} и p(M ) = {3, 1, 4, 2, 5}. Тогда p(m1) = p(1) = 3, p(2) = 1, p(3) = 4, p(4) = 2, p(5) = 5 и ε(p) = = −1, так как во множестве M надо сделать, например, три транспозиции, чтобы получить набор {3, 1, 4, 2, 5}:

{1, 2, 3, 4, 5} → {1, 3, 2, 4, 5} → {3, 1, 2, 4, 5} → {3, 1, 4, 2, 5}

или

{1, 2, 3, 4, 5} → {3, 2, 1, 4, 5} → {3, 4, 1, 2, 5} → {3, 1, 4, 2, 5}.

Отметим, что сигнатура транспозиции равна −1, ε(t) = −1, а для суперпозиции подстановок p = q ◦ s справедливо равенство

Через Pk обозначим множество всех подстановок набора чисел {1, . . .

. . . , k}. Из определений 1 и 2 следует, что тензор F Tk (X) симметричен тогда и только тогда, когда при любой подстановке p Pk

и кососимметричен тогда и только тогда, когда

Следующая теорема дает критерий симметричности и кососимметричности k-тензора, имеющего представление (1.2).

Теорема 1. Пусть dim X = n и тензор F Tk(X) имеет вид (1.2). Тензор F симметричен тогда и только тогда, когда его координаты симметричны, то есть когда для любой подстановки p Pk

ai1...ik = aip(1)...ip(k) .

Тензор F кососимметричен тогда и только тогда, когда его координаты кососимметричны:

ai1...ik = ε(p)aip(1)...ip(k) p Pk.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F Tk(X) имеет вид (1.2) и {e1, . . . , en}

— базис пространства X, двойственный к {f1, . . . , fn}. С учетом равенства (1.3) имеем

F (eip(1) , . . . , eip(k) ) = aip(1)...ip(k) .

Из последних двух равенств и определений 1 и 2 вытекают утверждения теоремы. Теорема 1 доказана.

Заметим, что у кососимметричного тензора, имеющего представление (1.2), координата ai1...ik = 0, если хотя бы два его индекса равны, im = ij .

Например, выписанный ранее 2-тензор на трехмерном пространстве X будет симметричным, если

a12 = a21, a13 = a31, a23 = a32,

и кососимметричным, если

a12 = −a21, a13 = −a31, a23 = −a32, a11 = a22 = a33 = 0.

2.1. Симметризация и альтернация

Из любого k-тензора можно получить симметричный и кососимметричный k-тензоры посредством вводимых ниже операций.

Определение 3. Отображение Q : Tk(X) → Tk(X), определяемое формулой

называется оператором антисимметризации или альтернации (альтернатором).

Названия введенных операторов связаны с тем, что (как будет показано ниже)

Q(F ) Sk(X) и Alt (F ) = Alt F Λk(X) F Tk (X).

Например, пусть F T2(X), F (x) = F (x1, x2), x1, x2 X, тогда

Q(F )(x) = 1/2(F (x1, x2) + F (x2, x1)),

Alt F (x) = 1/2(F (x1, x2) − F (x2, x1));

Действительно, по определению F G Tk+l(X) и

Alt (F G)(x1, . . . , xk+l) =

=ε(p)F (xp(1), . . . , xp(k)) G(xp(k+1) , . . . , xp(k+l) ).

p Pk+l

Правую часть равенства разобьем на группы слагаемых так, что сумма каждой из них будет равна нулю. Это сделаем следующим образом. Через P 0 обозначим подмножество всех подстановок p Pk+l, оставляющих на месте элементы k + 1, . . . , k + l : p(k + i) = k + i (i = 1 : l). Тогда

ε(p)F (xp(1), . . . , xp(k) ) G(xp(k+1) , . . . , xp(k+l) ) =

p P 0

=ε(p)F (xp(1), . . . , xp(k)) G(xk+1 , . . . , xk+l) =

p Pk

= Alt F (x1, . . . , xk) G(xk+1 , . . . , xk+l) = 0.