Дифференциальные формы и многообразия

q P 1

=ε(p0)ε(p)F (yp(1), . . . , yp(k)) G(yk+1, . . . , yk+l) =

ε(p)F (xp(1), . . . , xp(k) ) G(xp(k+1) , . . . , xp(k+l)) = 0.

p P 2

Продолжая процесс дальше, мы разобьем Pk+l на попарно непересекающиеся множества, сумма по каждому из которых равна нулю.

Равенство (2) вытекает из (3) достаточно просто: в силу утверждения 3) теоремы 3

Alt (Alt (G H) − G H) = Alt (Alt (G H)) − Alt (G H) = 0

Мы определили операторы Q и Alt через значение k-тензоров. Если X — конечномерно, то эти же операторы можно определить непосредственно в пространстве k-тензоров, задав в нем базис и опираясь на свойство оператора альтернации (теорема 4).

Действительно, пусть dim X = n и система тензоров (1.1) образует

22 § 2. CИММЕТРИЧНЫЕ И КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ

Тогда для F Tk(X), имеющего представление (1.2), определим

n

Легко видеть, что для конечномерных пространств так введенные операторы идентичны определениям 3 и 4 соответственно.

2.2. Внешнее произведение тензоров

Множества Sk(X) и Λk(X) образуют линейные подпространства пространства Tk(X),

aF Λk(X), F + G Λk(X), F, G Λk(X), a R.

Было бы желательно найти базисы этих подпространств, то есть получить аналоги теоремы 1.2. Однако операция тензорного произведения не замкнута в Sk(X) и Λk(X), то есть из включений F Λk(X) и G Λl(X) не следует кососимметричность тензора F G. Поэтому мы введем в Λk(X) новую операцию, лишенную этого недостатка и благодаря которой получим аналог теоремы 1.2 для Λk(X).

Определение 7. Пусть F Λk(X) и G Λl(X). Внешним произведением тензоров F и G называется (k + l)-тензор, обозначаемый символом F G и определяемый равенством

(k + l)!

F G = Alt (F G). k! l!

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Внешним это произведение называется в отличие от скалярного, которое называется еще внутренним и определяется «внутренними» параметрами векторов из X (либо их координатами, либо их длинами и углами между ними). Внешнее же произведение определено на полилинейных кососимметричных отображениях, значения которых называют еще внешними формами. С помощью этого понятия вводится также и внешнее произведение векторов из X.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эти равенства вытекают из определения и соответствующих свойств альтернатора и тензорного произведения.

Действительно, докажем, например, равенство (4). Пусть F Λk(X),

q Pk+l

= (−1)klG F (x1, . . . , xk+l).

2.3.Аналитическое представление симметричных и кососимметричных тензоров

Теперь мы получим аналог теоремы 1.2.

Теорема 6. Пусть dim X = n и {f1, . . . , fn} — базис сопряженного

является базисом пространства Λk(X), то есть любой кососимметричный k-тензор на X, F Λk(X), имеет вид

1 i1<···<ik n

С помощью оператора симметризации Q во множестве симметричных тензоров Sk(X) можно аналогичным образом ввести операцию симметрического произведения, а в конечномерном случае, dim X = n, построить базис в Sk(X) и показать, что

Однако наша цель оставляет в стороне эти исследования.

В дальнейшем мы будем рассматривать пространство Λk(X) кососимметричных тензоров.

§3. Дополнительные сведения

Вэтом параграфе мы напомним некоторые сведения из функционального анализа, которые нужны для введения многообразий и дифференциальных форм на них.

Определение 1. Множество X называется топологическим пространством, если в нем задана система O подмножеств из X, называемых открытыми множествами в X, удовлетворяющая следующим требованиям:

1)само X и пустое множество принадлежат O;

2)объединение любого числа и пересечение конечного числа элементов из O принадлежит O.

Определение 2. Базой топологического пространства называется семейство B открытых множеств такое, что любое подмножество из O можно представить в виде объединения некоторого числа элементов из B.

Определение 3. Окрестностью U (x0) точки x0 топологического пространства называется любое открытое множество, содержащее ее.

Определение 4. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две различные его точки обладают непересекающимися окрестностями.

Определение 5. Топологическое пространство называется связным, его нельзя представить в виде объединения двух открытых нетривиальных (то есть отличных от самого пространства и пустого множества) непересекающихся множеств.

Множество называется связным, если оно связно как подпространство.

Определение 6. Совокупность U = {Uα | α A} подмножеств то-

пологического пространства X называется покрытием множества M X,

если M α A Uα.

Покрытие называется открытым (замкнутым), если все его элементы являются открытыми (замкнутыми) множествами.

Определение 7. Покрытие пространства X называется локально конечным, если любая точка из X обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом элементов покрытия.

Определение 8. Подмножество V покрытия U называется его подпокрытием множества M , если V является покрытием M .

Определение 9. Покрытие V называется вписанным в покрытие U, если любой элемент из V является подмножеством некоторого элемента из U.

Определение 10. Топологическое пространство называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Определение 11. Топологическое пространство называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локальноконечное открытое покрытие.

Непрерывность отображения одного топологического пространства в другое определяется как обычно в математическом анализе на языке окрестностей.

Определение 12. Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке x0, если для любой окрестности V (y0) ее образа, y0 = f (x0), найдется окрестность U (x0), образ которой лежит в V (y0), f (U (x0)) V (y0).

Отображение f непрерывно на M , если оно непрерывно в каждой точке множества M .

Определение 13. Инъективное непрерывное отображение называется гомеоморфным, если обратное ему отображение также непрерывно. Биективное гомеоморфное отображение называется гомеоморфизмом.

Два множества называются гомеоморфными, если между ними можно установить гомеоморфизм.

Применительно к линейным нормированным пространствам X и Y имеем

Определение 14. Отображение f : M → Y называется непрерывным в точке t0 M, если для любого ε > 0 найдется окрестность точки t0, V (t0) M, такая, что

Вчастности, если Y — пространство операторов, действующих из U

вZ (U , Z — нормированные пространства), то в (1) стоит норма оператора f (t) − f (t0):

f (t) − f (t0) Y = sup ( f (t, u) − f (t0, u) Z | u U : u U 1).

Для полилинейных отображений имеет место

Теорема 1. Пусть f — полилинейное отображение из X в Y . Следующие утверждения эквивалентны:

1.f непрерывно на X;

2.f непрерывно в точке x = 0;

3.f ограничено на X.

Если X — конечномерное пространство, то f непрерывно на X.

Определение 15. Непрерывные отображения F, G : X → Y называются гомотопными, если существует такое семейство {Φλ} непрерывных отображений Φλ : X → Y , непрерывно зависящее от λ [0, 1], что Φ0 = F ,

Φ1 = G.

Через L(X, Y ) обозначим множество всех линейных непрерывных отображений из X в Y .

Определение 16. Отображение f : M → Y называется дифференцируемым в точке x0 M, если существует такой оператор L L(X, Y ), что

Отображение f дифференцируемо на M , если оно дифференцируемо в каждой точке множества M .

Если f дифференцируемо в точке x0, то в L(X, Y ) существует единственный оператор, удовлетворяющий требованию (2).

Определение 17. Оператор L L(X, Y ), удовлетворяющий требованию (2), называется производной отображения f в точке x0 и обозначается через f (x0).

Таким образом,

f (x) − f (x0) = f (x0)(x − x0) + o(x − x0),

то есть главная часть приращения дифференцируемого в точке x0 отобра-

жения f есть значение линейного отображения f (x0) в точке x − x0. Это значение, как известно, называется дифференциалом отображения и обо-

значается через df (x0).