Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

Задача 10. Для системы, содержащей три основных элемента и один нагруженный резервный, заменяющий любой из основных, составить граф состояний и записать систему дифференциальных уравнений, если вероятность безотказной работы элементов подчиняется экспоненциальному закону, после отказа системы работоспособные блоки отключаются и за время восстановления не отказывают. Задачу решить для случаев:

-интенсивности отказов всех элементов, как и интенсивности восстановлений, одинаковы, восстановление ведут две бригады;

-интенсивности отказов всех основных элементов, как и интенсивности восстановления одинаковы, но отличаются от интенсивности отказов и восстановления резервного элемента, восстановление ведет одна бригада;

-интенсивности отказов всех основных элементов, как и интенсивности восстановления одинаковы, но отличаются от интенсивности отказов и восстановления резервного элемента, восстановление ведут две бригады.

Рекомендации по составлению графа состояний

1.При составлении графа следует соблюдать принцип ординарности, т. е. невозможности возникновения больше одного события (отказа или восстановления) за бесконечно малое время. Это означает, что для двух смежных вершин, соединенных ветвью перехода, состояния системы не могут отличаться состоянием больше чем одного элемента.

2.Граф состояний можно составлять, используя алгоритмы приведенные ниже.

А. Последовательный алгоритм. Начиная с нулевого состояния, наносят все возможные ветви переходов из нулевого состояния и добавляют необходимые вершины, в которых заканчиваются ветви. Затем переходят к первому состоянию, и так последовательно перебирают все добавляемые состояния, пока они не закончатся.

81

Б. Анализируя поведение системы, определяют все возможные её состояния и наносят вершины графа, соответствующие состояниям. После этого прорисовывают ветви переходов между вершинами.

3.С целью уменьшения количества возможных состояний системы для случая, когда после отказа системы работоспособные блоки отключаются и во время восстановления не отказывают, нерезервированные блоки с одинаковой интенсивностью восстановления могут быть объединены в один объект, интенсивность отказа которого равна сумме интенсивностей отказов объединяемых блоков, а интенсивность восстановления объекта равна интенсивности восстановления одного блока.

4.Если две или более вершин графа соединяются только с одной общей для них вершиной и интенсивности переходов в общую вершину (интенсивности восстановления) одинаковы, то эти вершины могут быть объединены в одну. Интенсивность перехода с общей вершины в объединенную будет равна сумме интенсивностей переходов из общей вершины в объединяемые, а интенсивность перехода из объединенной в общую вершину равна интенсивности аналогичного перехода для одной из объединяемых вершин.

5.При определении коэффициента готовности системы с неограниченным количеством восстанавливающих бригад, систему можно разделить на отдельные резервированные и нерезервированные группы, найти коэффициент готовности для каждой группы, а затем, перемножив эти коэффициенты, получить коэффициент готовности системы.

6.Если после отказа резервированной системы ее останавливают и ведут ремонт до полного восстановления, то чтобы не нарушать принцип ординарности вводят дополнительно промежуточные неработоспособные состояния, возникающие при восстановлении, которые могут иметь набор работоспособных элементов, позволяющий системе работать.

82

7. При расчете среднего времени наработки до отказа(до первого отказа), вероятности отказа системы за заданное время, вероятности безотказной работы, гамма-процентной наработки до отказа строят сокращенный граф без выходов из нерабочих состояний.

Пример 19. Для системы, содержащей преобразователь с нагруженным резервным и 5 датчиков температуры, составить граф состояний, если интенсивности отказов преобразователей одинаковы и равны λп, интенсивности отказов первого и второго датчиков равны λ1, остальных – λ2. Интенсивности восстановления (или замены) всех элементов равны μ. Количество восстанавливающих бригад не ограничено, после отказа исправные элементы отключаются.

Объединим все датчики в один блок с интенсивностью отказов равной сумме интенсивностей отказов всех датчиков (все датчики работают одновременно) lд = 2l1 + 3l2 , и интенсивно-

стью восстановления μ. Структурная схема такой системы соответствует схеме, приведенной на рис. 36. Граф состояний показан на рис. 41.

Рис. 41. Граф состояний для примера 19

Если восстанавливает одна бригада, то граф можно упростить, объединив третью и четвертую вершины, т. к. интенсивности восстановления всех элементов одинаковы, а восстанавливать после отказа системы желательно тот элемент, который позволит вернуть систему в рабочее состояние(рис. 42). В третьем состоянии могут быть неработоспособными оба преобразователя либо один преобразователь и один датчик.

83

Рис. 42. Граф состояний при одной восстанавливающей бригаде

При расчете коэффициента готовности или статического коэффициента готовности системы в случае неограниченного количества бригад, систему можно условно разделить на резервированный преобразователь и нерезервированные датчики, для этих двух групп составить отдельно графы, которые показаны на рис. 43, записать системы дифференциальных уравнений, найти коэффициенты готовности для групп, а затем, перемножив их, получить коэффициент готовности системы.

Рис. 43. Графы состояний резервированного преобразователя (а) и нерезервированной группы датчиков (б)

Рис. 44. Граф состояний к примеру 20

84

Построение графа начинают с нулевой вершины, соответствующей всем работоспособным и, в данном примере с нагруженным резервом, работающим элементам. Поскольку отказать может любой работающий элемент и интенсивности отказов у всех элементов различные, а следовательно, и состояния, полученные в результате отказа разных элементов, будут различными, добавляем три новых вершины для состояний 1, 2 , 3 и три ветви перехода с интенсивностями λ1, λ2, λ3.

Впервом состоянии, возникшем в результате отказа первого элемента, работают элементы 2 и 3, которые также могут отказать, а первый элемент может быть восстановлен. В результате восстановления первого элемента система вновь возвратится в нулевое состояние, в результате отказа третьего элемента перейдет в новое, четвертое состояние; в результате отказа второго элемента – в пятое состояние. В четвертом состоянии неработоспособны первый и третий элементы, в пятом – первый и второй. Поскольку число оставшихся работоспособных элементов в этих состояниях меньше количества основных элементов, то эти состояния соответствуют неработоспособной системе и соответствующие им вершины заштрихованы.

Во втором состоянии неработающий второй элемент может быть восстановлен и система возвратится в нулевое состояние; первый элемент может отказать и система перейдет в пятоесо стояние, введенное ранее; может отказать третий элемент и система перейдет в новое, нерабочее шестое состояние.

Аналогичные переходы возможны из третьего состояния.

Вчетвертом состоянии неработоспособны первый и третий элементы и работоспособен второй. Так как по условию задачи при отказе системы исправные элементы отключаются и в- от ключенном состоянии не отказывают, дальнейшего перехода из нерабочего в новое нерабочее состояние не происходит. Если по условию задачи отключение не происходит, граф, как будет показано дальше, продолжает расширяться. Неработоспособные элементы могут быть восстановлены, причем две бригады могут восстанавливать одновременно два элемента, но окончание восстановления все равно происходит в разные моменты времени, и

85

если раньше будет восстановлен первый элемент, система возвратится в третье состояние, а если третий – в первое состояние.

Продолжая анализ всех состояний поочередно, расставляем вершины и ветви графа. Заканчивают построение, когда все введенные вершины будут проанализированы.

2.Если резерв ненагруженный, то при двух восстанавливающих бригадах в графе состояний исчезнет ветвь, выходящая из нулевой вершины в третью, так как в нулевом состоянии третий (резервный) элемент отключен и он не отказывает, но, тем не менее, третье состояние, соответствующее работающим первому и второму элементам и неработоспособному третьему элементу, возникает в результате восстановлений из шестого и четвертого состояний.

3.Если определяется среднее время наработки системы до первого отказа, то все ветви, выходящие из заштрихованных вершин, соответствующих неработоспособным состояниям, следует удалить.

4.Если восстановление производит одна бригада, то из каждых двух ветвей, выходящих из заштрихованных вершин, следует оставить только одну.

5.Если после отказа системы работоспособные блоки не отключаются и восстановление ведут две бригады, граф имеет вид, показанный на рис. 45.

Рис. 45. Граф состояний при возможности отказа всех элементов

86

Седьмое состояние на этом графе соответствует неработоспособным всем трем элементам и переходы в это состояние произошли в результате отказа последнего работоспособного элемента.

6. Если после отказа системы ее отключают и ведут ремонт до полного восстановления, то получим граф, показанный на рис. 46.

Рис. 46. Граф состояний при ремонте до полного восстановления

На данном графе седьмое состояние соответствует только одному неработоспособному элементу, но поскольку ремонт осуществляется до полного восстановления, это состояние, возникшее в результате восстановления одного из двух неработоспособных элементов в нерабочей системе, также является неработоспособным.

Задача 11. Для системы, содержащей контроллер, n основных одинаковых датчиков и m резервных, заменяющих любой из основных, i исполнительных механизмов одинаковых по на-

дежности и с одинаковыми интенсивностями восстановлений μ,

и

составить структурную схему для расчета надежности и граф состояний для расчета коэффициента готовности, если после отказа системы работоспособные блоки отключаются и при восстановлении системы их отказ не происходит. Количество восстанавливающих бригад r. Данные по вариантам приведены в табл. 10.

87

5.4. Определение коэффициента готовности восстанавливаемой системы

Как указывалось ранее, коэффициент готовности, определяющий вероятность работоспособного состояния системы в момент времени t, равен сумме вероятностей работоспособных состояний. Чтобы найти коэффициент готовности необходимо:

-составить структурную схему системы для расчета надеж-

ности;

-разработать граф состояний системы;

-записать систему дифференциальных уравнений;

-решить систему уравнений для выбранных начальных ус-

ловий;

-сложить вероятности работоспособных состояний.

88

Известно несколько методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши. В компактной матричной форме такую систему можно записать как

где А – матрица постоянных коэффициентов дифференциальных уравнений; P(t) - вектор переменных вероятностей.

Если система уравнений простая, можно привести ее к системе независимых уравнений большего порядка и решать уравнения только для работоспособных состояний.

Так, из системы уравнений (60)

dP0 = -2lP0 (t )+ mP1(t ), dt

dP1 = -(m + l)P1 t( +) 2lP0 (t )+ mP2 (t ), dt

dP2 = -mP2 (t )+ lP1(t ), dt

считая, что в нулевой момент времени оба объекта системы, показанной на рис. 33, были работоспособны, и она находилась в нулевом состоянии, необходимо найти функции P0(t) и P1(t) при начальных условиях

Для этого выразим из первого уравнения системы P1 (t ) и подставим во второе и третье:

Упрощая уравнение (64) и выразив из него P2 (t )

89

90