Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

Вероятность попадания случайной величины х* на доверительный интервал [xmin, xmax] для доверительной вероятности Рд будет равна

x max

P(x min £ x £ x max )= òf (x, p)dx = P(x max ) - P(x min ) = Рд , (87)

x min

где

Ширина доверительного интервала будет минимальной, если заштрихованные площади, остающиеся справа и слева от доверительного интервала (рис. 54), равны. Это условие позволяет дополнить уравнение (87) и сделать задачу поиска границ доверительного интервала определенной.

121

Рис. 54. Доверительный интервал

Поскольку вся площадь под кривой плотности вероятности равна функции вероятности для бесконечного времени, т. е. равна единице, то площади справа и слева от доверительного интервала будут равны (1-Рд)/2.

Тогда

Значения границ доверительного интервала можно найти либо решая уравнения (88), (89) с учетом функции (86), либо ис-

пользуя таблицы квантилей для распределения c2 (р) . Учитывая,

границы доверительного интервала для математического ожидания среднего времени наработки до отказа m=Tc:

Пример 26. На испытаниях по плану1Rr при r=3, время работы до первого отказа t1=2200 ч, от первого до второго отказов t2=2860 ч, от второго до третьегоt3=1720 ч. Найти точечную оценку среднего времени наработки до отказа и доверительный интервал для вероятности 0,9.

122

Суммарное время наработки при трех отказах равно сумме Т*= t1+ t2+ t3=6780 ч.

Точечная оценка среднего времени наработки до отказа для плана NRr в соответствии с (76) может быть получена для r=3 как

Для определения границ доверительного интервала введем в Mathcad число степеней свободы, доверительную вероятность и начальные приближения границ:

p := 6 Pä := 0.9 xmin := 1 xmax:= 11.

Запишем программу для вычисления границ в соответствии с (86), (88), (89):

123

Определим границы доверительного интервала для математического ожидания среднего времени наработки до отказа в соответствии с (90), заменив в Mathcad Т* на Тсум:

7.3. Контрольные испытания на надежность

Контрольные испытания проводятся для подтверждения показателей надежности объектов, приведенных в технической документации. Различают испытания на безотказность, ремонтопригодность, сохраняемость, долговечность и т. д. Испытания на безотказность проводят в соответствии с[14] – [16]. На испытания устанавливаются несколько отобранных из партии образцов объектов (выборка объектов) и по результатам испытаний принимается решение о приемке или браковке всей партии. Математический аппарат планирования и обработки результатов испытаний - проверка статистических гипотез: основной (нулевой) - о соответствии показателей безотказности партии заявленным или альтернативной – о несоответствии.

В результате испытаний возможны следующие ситуации:

-показатели надежности контролируемой партии изделий соответствуют указанным в технической документации, и результаты испытаний подтвердили это соответствие;

-показатели надежности контролируемой партии соответствуют указанным в технической документации, но испытания из-за случайности выбора объектов для испытаний дали отрицательный результат и партия была забракована; вероятность такой ошибки называют риском поставщика(изготовителя) и обозначают как α;

-показатели надежности контролируемой партии не соответствуют указанным в технической документации, испытания также дали отрицательный результат и партия была забракована;

-показатели надежности контролируемой партии не соответствуют указанным в технической документации, но испытания

124

дали положительный результат и партия была принята; вероятность такой ошибки называют риском заказчика(потребителя) и обозначают буквой β.

Планы контрольных испытаний должны составляться -та ким образом, чтобы обеспечить приемлемые риски поставщика и заказчика и в то же время минимизироватьфинансовые и временные затраты на испытания.

Различают одноступенчатые планы испытаний, или испытания с ограничением по количеству отказов и наработке, и последовательные усеченные.

Одноступенчатые испытания проводят до тех ,порпока суммарная наработка испытываемых объектов не превысит - за данного значения, а количество отказов будет меньше допустимого. В этом случае принимают решение о соответствии изделий установленным требованиям. Если суммарное количество отказов превысит допустимое раньше достижения заданной наработки, принимают решение о несоответствии изделий установленным требованиям.

При испытаниях в соответствии с последовательным усеченным планом фиксируются накопленная суммарная наработка испытываемых образцов и количество возникших отказов, которые сравниваются с границами приемки и браковки и принимается решение о приемке, браковке или продолжении испытаний.

Одноступенчатые испытания

План испытаний должен содержать рассчитанные по рискам поставщика и заказчика количество объектов, устанавливаемых на испытания, их суммарную наработку и допустимое число отказов.

Рассмотрим на примере испытания дляконтроля вероятности безотказной работы [14] (ГОСТ Р 27.403-2009).

При планировании испытания задают:

-время испытаний;

-пороговое значение вероятности безотказной работы(ВБР) Рα

125

уровень);

-пороговое значение ВБР Рβ для принятия решения о браковке изделий (браковочный уровень) или разрешающий коэффициент, равный отношению значений дополнений до единицы браковочного уровня к приемочному D = (1 - Pb ) /(1 - Pa ) ;

-риски поставщика α и заказчика β.

Риски поставщика α и заказчика β поставщик и потребитель выбирают по согласованию друг с другом, желательно из рекомендованного ряда: 0,05; 0,1; 0,2; 0,3 и a ³ b .

Значения уровней Р и Р или Р и D устанавливают по-

α β α

ставщик и заказчик по согласованному решению в зависимости от α и β. Рекомендуется Рα и Рβ устанавливать таким образом,

чтобы подтверждаемое значение ВБР Р находилось в интервале

3

[(Р + Р )/2, Р ] ближе к приемочному уровню Р, значение D ре-

β α α α

комендуется выбирать из ряда:1,5; 2; 3.

Рекомендованные значения для вероятностей αР, Рβ и D приведены в ГОСТ Р 27.403-2009.

На основании исходных данных рассчитываются количество объектов, устанавливаемых на испытания N (объем выборки

или максимальное число наблюдений до принятия решения о приемке или браковке), и предельное (браковочное) суммарное число отказов с.

Расчет ведут на основании биномиального распределения количества отказов объектов за время испытаний изN объектов, установленных на испытания, при вероятности отказа одного объекта в течение времени испытания q и вероятности отсутствия отказа p=1- q. Вероятность возникновения n отказов в соответствии с этим распределением равна:

126

Вероятность возникновения меньшес отказов соответствует вероятности принятия основной гипотезы, и она равна сумме вероятностей отсутствия отказов, одного отказа и т. д. до с-1 отказа включительно. Эта вероятность называется оперативной характеристикой. С учетом (91) её можно записать:

Графики оперативной характеристики (92) для N=20, c=2 и с=4 показаны на рис. 55.

Рис. 55. Оперативная характеристика для одноступенчатого плана

Целочисленные значения N и с по заданным α, β, Рα, Рβ определяют минимально возможными из условия обеспечения нера-

Пример 27. Заявленное изготовителем среднее время наработки до отказаизделия при экспоненциальном распределении вероятности безотказной работы составляетTз=5000 ч. Время испытаний выбрано равным Ти=500 ч. Вероятность безотказной работы Рз за время испытаний составляет exp(-Ти/Тз)=0,905.

Приемочный и браковочный уровни в соответствии с реко-

мендациями можно принять равными Р=0,9 и Р =0,78 (соответ-

α β

127

ствует значению D=2). Риски поставщика и заказчика задаем по 0,2. Тогда N=55, c=6 (приемочное количество отказов допусти-

мо до 5). Значения можно найти в таблице А.1 [14] или рассчитать по программе:

c1 ¬ c

N1¬ N break

break if N1> 0

a ¬ N

æ N1ö

return ç ÷

è c1 ø

128

Pβ:=1- D.(1-Pα) Pβ=0.86

При увеличении времени испытаний в 2 раза (до 1000 ч):

элементов, устанавливаемых на испытания, уменьшилось больше чем в 2 раза.

Если увеличивать D, т. е. расстояние между уровнями приемки и браковки, то количество испытываемых элементов уменьшается. Так, на рис. 56 показаны оперативные характеристики для малого количества испытываемых элементов и нулевого количества допустимых отказов. Браковочный и приемочный уровни соответствуют абсциссам точек пересечения оперативной характеристики с горизонталями β и 1-α.

Рис. 56. Оперативные характеристики для нулевого допустимого количества отказов

129

Последовательные испытания

Рассмотрим методику проведения контрольных испытаний по последовательному усеченному плану в соответствии с ГОСТ 27.402-95, используемому для контроля средней наработки до отказа невосстанавливаемых изделий, средней наработки на отказ восстанавливаемых изделий, интенсивности отказов.

Исходными данными для плана испытаний являются -но минальные значения риска поставщика ,αриска потребителя β,

уровня к браковочному D=Tα/Tβ).

Планы испытаний задают границами приемки и браковки в виде графиков (рис. 57), на которых границы изображают в координатах: ось абсцисс — суммарная относительная учитываемая наработка t/ Тα , выражаемая в долях приемочного уровня; ось ординат — число учитываемых отказов r. Базовые планы в виде таблиц и графиков приведены в ГОСТ 27.402-95.

Рис. 57. График последовательного усеченного плана: 1- граница приемки; 2- граница браковки; 3, 4 – траектории отказов принимаемой и бракуемой партий

Испытания проводят до тех пор, пока количество отказов не станет выше границы(уровня) браковки или ниже границы

130