Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

Пример 1. На испытания установлены восемь изделий (N0=8). Отказ каждого из них фиксировался по времени. Время работы до отказа изделий, ч, равнялось: t1=125, t2=514, t3=1025, t4=2346, t5=4125, t6=4700, t7=5102, t8=5348.

Рассчитать основные функциональные и численные статистические показатели надежности в системе Mathcad и построить графики функциональных показателей.

В этом примере и последующих, использующих Mathcad, математические выражения и графики приведены в виде фрагментов программ Mathcad, учитывающих специфику языка программирования. В частности, вместо символа эквивалентности «=» используется символ присваивания «:=», а «=» ставится при выводе численного результата, волнистые линии над символами статистических показателей надежности опущены и т. д. Некоторые особенности программирования в системеMathcad Prime приведены в Приложении.

Для ввода значений времени работы до отказа изделий создадим матрицу tо из одной строки иN0+1 столбца, дополнив её нулевым элементом:

Запишем значения времени работы до отказа в ячейки матрицы, занеся в нулевую ячейку ноль, необходимый при построении графиков функций:

to := ( 0 125 514 1025 2346 4125 4700 5102 5948 ).

Вычислим последовательность значений вероятности отказа и безотказной работы:

i := 0 .. N

и построим графики вероятностей (рис. 2)

11

Рис. 2. Вероятности отказа и безотказной работы

На рис. 2 по оси ординат откладываются вероятности Qi, Pi, по оси абсцисс - значения транспонированного вектора to.

Для получения частоты и интенсивности отказов количество испытуемых изделий слишком мало. Среднее время наработки до отказа изделий, дисперсия и среднеквадратическое отклонение времени работы до отказа изделий от среднего значения, рассчитаны в Mathcad и выведены ниже в формате Mathcad:

Пример 2. При испытаниях партии из300 транзисторов в течение 3900 ч отказали 110 транзисторов, в течение последующих 100 ч произошел отказ еще3 элементов, а за последующие 100 ч отказали еще 4. Определить вероятность безотказной работы транзисторов, вероятность отказа, частоту и интенсивность

12

отказов для момента времени t=4000 ч. Вероятность отказа Q за t=4000 ч равна:

Q := 110 + 3 = 0.377 . 300

Вероятность безотказной работы

P := 1 - Q = 0.623 .

Частота отказов

f := 3 + 4 = 1.167 ×10-4. 300 × 200

Интенсивность отказов

l := f =1.872 ×10-4 . P

Задача 1. На испытаниях находилосьN0=1000 образцов невосстанавливаемых приборов [18]. Число отказов n фиксировалось через каждые 100 ч работы. Данные об отказах приведены в табл. 1. Вычислить функциональные и количественные характеристики надежности приборов и построить графики зависимости функциональных характеристик от времени.

13

2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ВРЕМЕНИ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

В процессе эксплуатации объектов и систем кривая изменения интенсивности отказов, как правило, имеет вид (рис. 3) [5], [19] и период эксплуатации можно условно разбить на три интервала:

(0 ¸ t1 ) - начальной приработки, характеризующийся повышенной убывающей интенсивность отказов, вызванных проявлением скрытых дефектов изготовления;

(t1 ¸ t 2 ) - нормальной работы с минимальной постоянной интенсивностью;

(t > t 2 ) - физического износа с возрастающей интенсивностью отказов, вызываемых износом трущихся поверхностей, усталостными разрушениями материалов, изменением параметров резисторов и полупроводниковых приборов подвоздействием переменных электрических и тепловых нагрузок и т. д.

Рис. 3. Изменение интенсивности отказов

В связи с отсутствием достаточно простого универсального закона для описания интенсивности отказов в течение всего -пе риода эксплуатации, зачастую используют различные законы для описания функций вероятности на различных интервалах -экс плуатации [6], [19].

2.1. Экспоненциальный закон

Этот закон используется для описания вероятности безотказной работы элементов и систем при постоянной интенсивности отказов, характерной для этапа нормальной работы. Вследствие этого, а также из-за его относительной простоты он наибо-

14

лее часто используем.

Вероятность безотказной работы для экспоненциального закона имеет вид:

где l - параметр распределения.

Остальные показатели надежности для этого закона, полученные с учетом выражений (1)–(6), будут равны:

- вероятность отказа за время t:

Q(t) = 1 - e -λt ,

- плотность вероятности отказов для времени t:

- дисперсия времени наработки до отказа:

Интегрируя дважды по частям первое слагаемое и подставляя пределы, получим:

D = 1 . l2

Средеквадратическое отклонение времени наработки до от-

каза:

или

15

Одним из важных свойств экспоненциального закона является независимость условной вероятности безотказной работы объекта на некотором интервале времени от положения интервала на

временной оси. Такая условная вероятность зависит только от длительности интервала. Это следует из теоремы об умножении вероятностей: вероятность свершения событий А и Б равна произведению вероятности события А на условную вероятность свершения события Б при условии, что имело место событие А:

Р(А и Б) = Р(А) Р(Б/А).

Из последней зависимости условная вероятностьP(Б/А) будет равна

P(Б/А) = P(А и Б)/P(А) .

Аналогично для условной вероятности P[(t1 , t 2 ) / t1 )] безотказной работы объекта на интервале времени[t1, t2] при условии

объекта к моментам времени t1 , t 2 .

Графики функциональных показателей надежности для экспоненциального закона показаны на рис. 4.

Рис. 4. Показатели надежности для экспоненциального закона

16

Пример 3. Интенсивность отказов контроллера постоянна

исоставляет 10 -4 1/ч. Найти вероятность безотказной работы

Присвоим в программеMathcad значения интенсивности отказов и времени, для которого необходимо определить показатели надежности:

Поскольку интенсивность отказов постоянна, закон распределения вероятности безотказной работы экспоненциальный. Запишем выражения (9) – (12) для определяемых параметров и, подставив значение времени, получим величины показателей:

- вероятность безотказной работы

P(t ,l) := exp(-l × t)

P(t1 , l) = 0.607 ,

- плотность вероятности отказов

- гамма-процентная наработка до отказа для вероятности γ=90 % в соответствии с (12) равна:

Tg := ln( 0.9) = 1.054 ´ 103 .

-l

17

Пример 4. Вероятность отказа автоматической линии в течение 2000 ч составляет 0,4. Полагая, что справедлив экспоненциальный закон распределения вероятности, найти интенсивность отказов, частоту отказов для 6000 ч, а также среднее время наработки линии до отказа.

Присвоим заданные значения соответствующим перемен-

ным:

Так как вероятность безотказной работы для экспоненциального распределения равна P(t) = e -λ×t и P (t)=1-Q(t), то

e -λ×t1 = 1 - Q(t1) и интенсивность отказов определится как:

Задача 2. Среднее время наработки контроллера до отказа составляет t1 ч. Вероятность безотказной работы контроллера подчиняется экспоненциальному закону. Найти вероятность отказа контроллера за t2 ч работы и гамма-процентную наработку до отказа для γ=γ1. Построить графики вероятностей отказов и безотказной работы, а также частоты и интенсивности отказов. Варианты заданий приведены в табл. 2.

18

Таблица 2

2.2. Нормальный закон распределения времени работы до отказа

Этому закону подчиняются вероятности отказов объектов на интервалах нормальной эксплуатации и физического износа объектов (рис. 3). В общем случае нормальный закон записывается как

где m и s - параметры распределения.

В связи с тем, что для нормального закона случайная величина τ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а время не может быть отрицательным, выражение (13) применяют для описания вероятности отказа только при соотношении m ³ 3σ . В этом случае величина τ практически полностью находится на положительной полуоси и вероятность отказа можно определять как

19

Остальные показатели соответственно равны:

-вероятность безотказной работы: P(t) = 1 - Q(t) ,

-плотность вероятности отказов:

-среднее время наработки до отказа: Tcp = m,

-дисперсия времени наработки до отказа: D = σ 2 ,

-среднеквадратическое отклонение равно параметру σ. Графики функциональных показателей даны на рис. 5. Как

видно из рис. 5, функция вероятности отказовQ(t) сходится к единице при увеличении времени, а интенсивность отказов– к

асимптоте (t - m)/σ2 .

Рис. 5. Показатели надежности для нормального закона распределения

При m<3s с целью снижения погрешности расчетов применяют усеченный нормальный закон, отличающийся от обычно-

20