Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

- срок службы – календарная продолжительность от начала эксплуатации объекта или ее возобновления после капитального ремонта до момента достижения предельного состояния.

5.2. Расчет надежности методом переходных вероятностей

Метод может быть использован при любом законе распределения времени наработки до отказа элементов систем. Рассмотрим его на примере системы(рис. 33), состоящей из дублированного объекта с нагруженным резервным элементом, причем интенсивности отказов элементов одинаковы, восстановление производит одна бригада, интенсивности восстановления элементов также одинаковы. Для расчета показателей надежности восстанавливаемых систем составляют граф-схему состояний системы или граф переходов (рис. 34), на котором вершинами графа(окружностями) обозначают все возможные состояния системы, а направленными ветвями – возможные переходы между состояниями.

Рис. 33. Дублированный объект

При составлении графа придерживаются принципа ординарности, т. е. принципа невозможности возникновения больше одного отказа или восстановления за бесконечно малый промежуток времени. Для рассматриваемого примера возможны следующие состояния:

0 – все элементы работают (система работоспособна); 1 – отказал один из элементов (система работоспособна); 2 – отказали оба элемента (система неработоспособна).

Неработоспособное состояние на графе заштриховано.

71

При пребывании системы в момент времени t в нулевом состоянии, за время Dt она может сохранить это состояние с вероятностью P00 (Dt ), либо перейти с вероятностью P01 (Dt ) в первое состояние в результате отказа одного из элементов.

Рис. 34. Граф состояний системы

Если же система в момент времениt находилась в первом состоянии, то за время Dt она может перейти в нулевое состояние с вероятностью P10 (Dt )в результате восстановления отказавшего

ранее элемента, перейти во второе состояние с вероятностью P12 (Dt ) в результате отказа работоспособного элемента либо -со хранить первое состояния с вероятностьюP11 (Dt ), если не про-

72

тервале (t, t + Dt )) при условии, что система в момент времениt находилась в первом состоянии; P1 (t ) - вероятность того, что система в момент времени t находилась в первом состоянии.

Аналогично для первого и второго состояний:

где P01 (Dt ) - условная вероятность перехода из нулевого в первое состояние или условная вероятность отказа одного из двух объектов на интервале (t, t + Dt ); P11 (Dt ) - условная вероятность сохранения первого состояния при отсутствии отказа последнего работоспособного объекта и отсутствии восстановления отказавшего объекта на интервале (t, t + Dt ); P21 (Dt ) - условная вероятность перехода из второго в первое состояние или условная вероятность восстановления одного из двух отказавших объектов на интервале (t, t + Dt ); P12 (Dt ) - условная вероятность перехода из

первого во второе состояние или условная вероятность отказа работоспособного объекта на интервале (t, t + Dt ); P22 (Dt ) - условная вероятность сохранения второго состояния при отсутствии восстановления любого из двух отказавших объектов на интервале (t, t + Dt ).

Будем рассматривать условную вероятность P00 (Dt ) отсутствия отказов двух работающих объектов для малого интервала времени t как отношение P00 (Dt )= P 2(t + Dt )/ P 2(t ). Её можно разложить в ряд Тейлора в окрестности нулевой точки( t=0) и ограничиться двумя слагаемыми:

где f 2(t ), l2(t ) - плотность вероятности отказов и интенсивность отказов в момент времениt для двух работающих одновременно объектов. Поскольку для одинаковых по надежности элементов

73

Р2(t )= Р12 (t) , P00 (Dt )»1- 2 ×P1((t))f (t) ×Dt =1- 2l(t) ×Dt, P12 t

где f (t), l(t ) - плотность вероятности отказов и интенсивность отказов в момент времени t для одного объекта.

Условная вероятность P01 (Dt ) отказа одного из двух работающих объектов за время t, при условии, что в момент времени t отказов не было, определяется как дополнение до единицы условной вероятности отсутствия отказов:

P01 (Dt )= 1 - P00 (Dt )» 2l(t) × Dt.

Совместная условная вероятность отсутствия отказа работоспособного объекта и отсутствия восстановления неработоспо-

где S1(t) и μ(t) – вероятность отсутствия восстановления и интенсивность восстановления.

Аналогично записываем остальные условные вероятности:

P10 (Dt )» m(t) × Dt;

P12 (Dt )» l(t) × Dt;

P21 (Dt )» m(t) × Dt;

P22 (Dt )» 1 - m(t) × Dt .

только одна бригада.

Подставим условные вероятности в уравнение (51)

P0 (t + Dt )= P00 (Dt)× P0 (t)+ P10 (Dt)× P1 (t )= [1 - 2l(t) × Dt]× P0 (t)+ + m(t) × Dt × P1 (t ).

Раскроем квадратные скобки, перенесем P0 (t )влево и разделим

74

левую и правую части уравнений на Dt :

Перейдем к пределу в левой части последнего уравнения, устремив Dt к нулю. В результате получим дифференциальное уравнение для нулевого состояния:

(54)– (59) будут постоянными.

Решая полученную систему дифференциальных уравнений (55),

(58), (59), определяем вероятности нахождения системы в рабочих состояниях P0 (t ), P1 (t ) и нерабочем - P2 (t ).

Сумма вероятностей всех рабочих состояний определяет вероятность работоспособного состояния системы и равна коэффициенту готовности К г (t )= P0 (t )+ P1 (t ).

5.3. Метод переходных интенсивностей в расчете показателей надежности систем

Как видно из уравнения (54), для системы, представленной на рис. 33, изменение вероятности нулевого состояния за беско-

75

нечно малое время складывается из отрицательного слагаемого, связанного с переходом из нулевого в первое состояние в результате отказа объекта, и положительного слагаемого, вызванного переходом из первого в нулевое состояние при восстановлении отказавшего ранее объекта. Изменение вероятности первого состояния в соответствии с уравнением (56) равно разности между положительными составляющими, увеличивающими P1(t) в результате перехода с нулевого и второго состояний в первое, и отрицательными, связанными с переходом из первого состояния в нулевое и второе. Аналогично для второго состояния. Как видно, все слагаемые пропорциональны вероятности состояния, из которого осуществляется переход, и интенсивности перехода, равной либо интенсивности отказа, либо интенсивности восстановления.

В соответствии с методом переходных интенсивностей, на графе состояний (рис. 35) системы в отличие от метода переходных вероятностей (рис. 34) не изображаются ветви сохранения состояний, а на ветвях графа указываются интенсивности переходов.

Рис. 35. Граф состояний для метода переходных интенсивностей

В общем случае, чтобы не повторять вывод, систему уравнений по графу состояний составляют в следующем порядке:

-для каждого i-го состояния в левой части уравнения записывают производную вероятности нахождения системы в данном i-м состоянии;

-в правой части со знаком минус записывают вероятность

i-го состояния, умноженную на сумму интенсивностей всех переходов, выполняемых из i-го состояния в другие;

- к записанному произведению прибавляют сумму вероятностей всех состояний, из которых происходит переход в i-е, умноженных на соответствующие интенсивности переходов.

76

В соответствии с приведенным алгоритмом система уравнений для графа рис. 35 при постоянных интенсивностях отказов и восстановлений объектов будет следующая:

Поскольку в полученной системе уравнений (60) каждое слагаемое входит дважды, но с разными знаками, сумма правых частей всех уравнений должна быть равна нулю.

Пример 17. Для системы, содержащей один резервированный элемент с нагруженным резервом и один нерезервированный (рис. 36), составить граф состояний для метода переходных интенсивностей и систему дифференциальных уравнений, если интенсивности отказов всех элементов и интенсивности восстановлений различны. Восстановление ведет одна бригада. После отказа системы работоспособные блоки отключаются и во время восстановления не отказывают.

Рис. 36. Схема системы для расчета надежности

Граф состояний начнем составлять с нулевого состояния, добавляя все возможные ветви перехода и необходимые состояния. В нулевом состоянии работоспособны все три элемента и все они работают. Поскольку интенсивности отказов всех элементов различны, мы получим три различных новых состояния, соответствующих отказу каждого элемента (рис. 37).

77

Рис. 37. Построение графа состояний системы

В первом состоянии отказал первый элемент с интенсивностью отказов λ1, работают второй и третий, система работоспособна; во втором состоянии отказал второй элемент с интенсивностью отказов λ2, работают первый и третий, система работоспособна; в третьем состоянии отказал третий(нерезервированный) элемент с интенсивностью отказов λ3 и система неработоспособна.

После анализа всех возможных переходов с нулевогосо стояния переходим к первому и добавляем все возможные переходы с первого состояния: восстановление первого элемента, отказ второго элемента, отказ третьего элемента. При этом добавятся два новых нерабочих состояния: четвертое, соответствующее отказу третьего элемента при неработающем первом, и пятое,

соответствующее отказу второго элемента при неработающем первом (рис. 38).

Рис. 38. Добавление новых переходов и состояний графа

78

При восстановлении одного элемента даже при нескольких восстанавливающих бригадах интенсивность восстановления соответствует интенсивности восстанавливаемого элемента.

Следующим анализируем второе состояние, наносим переходы, соответствующие восстановлению второго элемента, отказу первого и третьего элементов. В результате нанесения ветвей переходов добавиться одно новое состояние– шестое, соответствующее отказу третьего элемента при неработоспособном втором; для отказа второго и первого элементов уже имеется пятоесо стояние. Продолжая анализ состояний, добавим только новые переходы, соответствующие восстановлениям элементов. В результате получим полный граф, показанный на рис. 39. Поскольку в пятом состоянии не работают первый и второй элементы, а восстанавливающая бригада только одна, выбираем любой элемент для восстановления. Граф на рис. 39 соответствует выбранному первому элементу.

Рис. 39. Полный граф состояний системы

Система дифференциальных уравнений будет содержать семь взаимосвязанных уравнений:

dP0 = -(l1 + l2 + l3)× P0 t( +) m1× P1 (t )+ m2 × P2 (t )+ m3 × P3 (t ), dt

dP1 = -(m1 + l2 + l3)× P1 t( +) l1× P0 (t )+ m3 × P4 (t ), dt

79

Пример 18. Для системы из примера 17 построить граф состояний, если первый и второй элементы имеют одинаковую интенсивность отказов и восстановлений, восстановление ведет одна бригада.

Так как интенсивность отказов и восстановлений первого и второго элементов одинаковы, то первое и второе состояния предыдущего примера будут идентичными, следовательно, их можно объединить. Интенсивность перехода из нулевого состояния в новое первое будет равна сумме интенсивностей отказов первого и второго элементов, поскольку они работают одновременно. Интенсивность перехода из первого в нулевое состояние равна -ин тенсивности восстановления одного элемента, поскольку в первом состоянии не работает только один блок: первый или второй. При возврате из нерабочих состояний в результате восстановления используется интенсивность восстановления только одного элемента, так как восстанавливающая бригада по условию одна. Граф состояний приведен на рис. 40.

Рис. 40. Граф состояний к примеру 18

80