Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

Ai × A j ® P(Ai ) × P(A j ) = Pi (t) × Pj (t) ;

Ai Ú A j ® P(Ai ) + P(A j ) - P(Ai ) × P(A j ) = Pi (t) + Pj (t) - Pi (t) × Pj (t) ,

A× B Ú C × B ® P(A) × Р(В) + P(C) × [1 - Р(В)].

Сиспользованием приведенных соотношений выражение (37) можно переписать как

Рс(t) = [P1(t) + P2 (t) - P1 (t) × P2 (t)]× [P3 (t) + P4 (t) - P3 (t) × P4 (t)]´

´P5 (t) + [Р1(t) × P3 (t) + Р 2 (t) × P4 (t) - P1(t) × P2 (t) × P3 (t) × P4 (t)]´

´[1 - Р5 (t)].

Как видно, это выражение совпадает с полученным ранее с использованием метода разложения по особому элементу.

Чтобы осмыслить метод, рассмотрим ещё один пример.

Пример 13. Получить выражение для вероятности безотказной работы системы со скользящим нагруженным резервом, содержащей два основных и один резервный элементы(рис. 19) , логико-вероятностным методом.

1.Составим словесное описание условия сохранения работоспособного состояния системы: система будет работоспособна, если работоспособны все элементы, или работоспособны первый

ивторой элементы, или первый и третий элементы, или второй и третий элементы.

2.Запишем логическое выражение для условных обозначений высказываний:

Ас = А1 × А 2 × А3 Ú А1 × А 2 Ú А1 × А3 Ú А 2 × А3

3.Минимизируем логическую функцию и избавимся от повторения высказываний. Для минимизации выполним операцию

поглощения первой и второй дизъюнкций по правилу: x Ú x × y = x × (1 Ú у)= х,

или Ас = А1× А2 Ú А1×А3 Ú А2 × А3 = А1×А2 Ú А1× А3 Ú А2 × А3.

Чтобы избавиться от повторения высказываний, умножим

последнюю дизъюнкцию на А1 Ú А1 =1 и перегруппируем слагаемые:

51

Ас = А1×А2 Ú А1×А3Ú А2×А3×(А1Ú А1)= = А1×(А2 Ú А3Ú А2×А3)Ú А2×А3×А1.

Так как по закону поглощенияА3 Ú А2 × А3 = А3 , перепишем последнее выражение в виде

Ас = А1×(А2 Ú А3)Ú А2×А3×А1.

4. Перейдем от логической функции для высказываний к арифметической для вероятностей безотказной работы, используя соотношения перехода, приведенные выше:

Pc(t)= P1(t) )[ P2(t)+ P3(t)-P2(t)P3(t)] +[1- P1(t)]P2(t)P3(t)= = P1(t)P2(t)+ P1(t)P3(t)+ P2(t)P3(t) - 2P1(t) P2(t)P3(t).

Это выражение совпало с полученным ранее выражением (32). Задача 8. Для системы передачи информации с перекрест-

ными связями, приведенной на рис. 26, найти среднее время наработки до отказа. Интенсивности отказов элементов приведены в табл. 8. Все элементы двунаправленные. Решать задачу необходимо двумя методами: перебором рабочих состояний при всех одинаковых интенсивностях отказов (λ1) и логико-вероятностным.

Рис. 26. Схема системы с перекрестными связями

При решении задачи логико-вероятностным методом, для исключения повторений высказываний в п. 3 алгоритма, логическое выражение следует привести к виду

52

ниях, являющихся множителями перед дизъюнкциями (А2 Ú А5)

и (А2 Ú А5).

Для контроля правильности полученных выражений вероятности безотказной работы, необходимо найти Тср - логико вероятностным методом при интенсивностях отказов всех -эле ментов, равных λ1, и сопоставить его с аналогичным значением, полученным с использованием методом перебора состояний.

4. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ БЕЗ ВОССТАНОВЛЕНИЯ И С НЕНАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВОМ

В таких системах резервные элементы включаются(нагружаются) по мере отказа основных, и если элемент не нагружен, то интенсивность его отказов считается равной нулю. Такое резервирование называют также резервированием замещением. Структурная схема системы может иметь вид, показанный на рис. 18.

4.1. Потоки отказов в резервированных системах

Если после отказа элемента на его место включаетсяре зервный, находившийся до этого в ненагруженном состоянии, то

53

поток отказов образует простейший поток событий. Из теории массового обслуживания известно, что к простейшим стационарным относятся потоки, обладающие свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия. Поток считается стационарным, если закон распределения числа событий на некотором интервале времени и параметры закона не зависят от положения интервала на временной оси. Если вероятность возникновения больше одного события на бесконечно малом интервале времени равна 0, то поток является ординарным. Поток называют потоком без последействия, если число событий на любых непересекающихся интервалах времени представляет независимый ряд чисел.

Вероятность возникновения n отказов (событий) на интервале времени (0, t) для простейшего стационарного потока подчиняется закону распределения Пуассона:

Fn(t) = (a × t) n exp(-a × t) , n!

(38)

где а – параметр распределения.

Математическое ожидание числа отказов(событий) за время t носит название ведущей функции потока и для закона распределения Пуассона она равна:

.

Среднее время между отказами Tcp=t/W(t)=1/a.

Производная по времени от ведущей функции потока называется параметром потока.

54

Для простейшего потока отказов параметр потока равен параметру распределения a, т. е.

w(t) = dW = d(a × t ) = a . dt dt

Статистическая оценка параметра потока отказов подобна оценке интенсивности отказов

~ ( )= (D ) [ × D ],

w t n t / N t

где n(Dt ) - количество отказов за малое время Dt при условии, что отказавший объект заменяется новым или восстанавливается; N – количество объектов, находящихся в эксплуатации.

Для нестационарного пуассоновского потока событий вероятность возникновения n событий на интервале (0, t) равна

ведущая функция потока

t

W(t )= òa(τ )dτ ,

0

параметр потока в соответствии с (39)

w(t) = a(t) .

4.2. Расчет надежности систем при одинаковой интенсивности отказов всех элементов

Если система состоит из основного иN-1 резервных элементов, включающихся в работу по мере отказа предыдущих, включенных ранее, то структурная схема для расчета надежности имеет следующий вид (рис. 27).

55

Рис. 27. Структурная схема резервирования замещением для расчета надежности

Отказы элементов в такой системе образуют простейший поток случайных событий, вероятность свершения которых на интервале времени (0, t) подчиняется закону распределения Пуассона (38). Система откажет только после отказа всехN элементов

и сохранит работоспособность до отказа N-1 элемента включительно. Вероятность безотказной работы такой системы равна сумме вероятностей несовместимых событий, т. е. сумме вероятностей отсутствия отказов, отказа одного, двух, трех и т. д. до N –1 элемента:

Pс(t) = F0(t) + F1(t) + ...FN-1 (t)

или

Учитывая, что распределение Пуассона рассчитано на бесконечный поток событий, вероятность отказа системы, определяемая как 1-Рс(t), не будет равна вероятности возникновенияN отказов. Вид функций Пуассона для а=0,1 показан на рис. 28, вероятность отказа системы, полученная через вероятность сохранения работоспособности системы Qc(t)= 1-Рс(t) для N=4, и вероятность возникновения четырех отказов показаны на рис. 29.

56

Рис. 28. Функции Пуассона при n=0, 1, 2, 4

Рис. 29. Вероятность отказа системы и вероятность четырех отказов по распределению Пуассона

Параметр а распределения Пуассона для экспоненциального закона вероятности безотказной работы элементов может быть получен из следующих соображений: вероятность отсутствия отказа основного элемента (первого) по экспоненциальному закону с интенсивностью отказов λ определяется как P1 (t) = exp( -l × t) , а эта же вероятность отсутствия отказов по распределению Пуассона равна F0 (t) = exp( -a × t) , следовательно, a=l.

Зная вероятность безотказной работы системы можно найти среднее время наработки ее до отказа, используя зависимость

¥

Tcp = ò Pc(t)dt .

0

Если же рассматривается только автономная резервированная группа, то среднее время наработки системы до отказа можно получить как сумму средних значений наработки до отказа всех N элементов. Поскольку время работы до отказа системы равно

57

сумме случайных значений времени работы до отказа всех эле-

N

ментов toc = åtoi , а математическое ожидание суммы случай-

i=1

ных величин равно сумме математических ожиданий величин, то

Для N одинаковых по надежности элементов с интенсивностью отказа l

Tcp = N . l

Пример 14. Информационная система содержит резервированный контроллер с ненагруженным резервом и восемь датчиков. Определить среднее время наработки системы до отказа, если интенсивность отказов контроллеров равна10-4 1/ч, датчи-

ков 5.10-5 1/ч. Структурная схема системы для расчета надежности приведена на рис. 30.

Рис. 30. Структурная схема системы с ненагруженным резервом для расчета надежности

Так как резервированный контроллер входит в систему, среднее время наработки ее до отказа будем рассчитывать через вероятность безотказной работы системы. Для определения этой вероятности разделим условно систему на две части: контроллеры и датчики. Поскольку эти части соединены последовательно, то

вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей для обеих частей:

58

Рс(t)= Pk(t).Pd(t).

Вероятность безотказной работы резервированного -кон троллера при ненагруженном резерве и одинаковой интенсивности отказов основного и резервного контроллеров определим -че рез распределение Пуассона (38) с параметром распределения

а=λk, предварительно задав их в программе Mathcad:

Запишем формулу Пуассона и вероятности безотказной работы резервированного контроллера, последовательного соединения датчиков и всей системы:

n

F ( t , n) := (a×t) ×e- a×t n!

Среднее время наработки до отказа системы определим как

ó¥

Tc := ô Pc ( t) dt

õ0

Tc = 2399.999697 .

4.3. Расчет надежности систем со скользящим резервом и одинаковой интенсивностью отказов элементов

Структурная схема такой системы, состоящей из N основных и M резервных ненагруженных элементов, представлена на

рис. 18. При отказе одного из основных элементов в работу включится первый резервный элемент, затем при следующем отказе – второй и т. д. Система будет сохранять работоспособность

до тех пор, пока будут работоспособны N элементов, а отказ системы произойдет, когда откажут М+1 элемент и работоспособными останутся только N-1 элемент. Так же как и в предыдущей

59

системе, поток отказов является простейшим стационарным и вероятность возникновения n отказов за время t подчиняется распределению Пуассона (38), а вероятность безотказной работы системы аналогична выражению (40):

Pс(t) = F0(t) + F1(t) + ...FM (t)

или

Также для экспоненциального закона распределения вероятности безотказной работы всех элементов параметр а определим из условия совпадения вероятности отсутствия отказов в распределении Пуассона F0 (t) = exp( -a × t) и вероятности безотказной работы N элементов, равной Pс(t) = ехр(-N × l × t) . Сопос-

тавляя экспоненты, получаем a = N × l .

Среднее время наработки до отказа системы, представленной на рис. 18, можно определить как

1

где - это среднее время наработки до отказа системы из N

N × l

основных элементов; M+1 – количество отказов элементов, которое возникнет до отказа резервированной системы.

Пример 15. Для резервного энергоснабжения системы управления реактора с потребляемой мощностью Р Квт можно использовать три генератора мощностью /2Р или шесть мощностью Р/4. Определить, какая система будет надежнее, если «лишние» генераторы используются в качестве ненагруженного резерва, а интенсивность отказов всех генераторов одинаковая.

Примем в качестве показателя надежности среднее время наработки до отказа. Чтобы его определить, необходимо составить структурные схемы для расчета надежности.

60