Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

7.ИСПЫТАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ

Всоответствии с ГОСТ 27Р .607-2013 [11] различаются следующие виды испытаний на надежность:

-испытания на безотказность, проводимые в целях измерения, количественной оценки или классификации показателей безотказности;

-испытания на надежность, проводимые для определения показателей надежности продукции в заданных условиях;

-контрольные испытания, проводимые на различных стадиях жизненного цикла изделия, с целью установления его соответствия требованиям нормативных документов.

К контрольным также относят:

-приемочные испытания опытных образцов(опытных партий) изделий или изделий единичного производства, проводимых при постановке продукции на производство и (или) использования по назначению;

-квалификационные испытания установочной серии или первой промышленной партии, проводимые с целью оценки готовности

-сертификационные испытания, проводимые с целью установления соответствия характеристик и свойств изделия нормативным документам (техническим регламентам, стандартам различного уровня и др.) и технической документации;

-периодические испытания выпускаемой продукции, проводимые в объемах и в сроки, установленные нормативной документацией, с целью контроля стабильности качества продукции и возможности продолжения ее выпуска;

-приемо-сдаточные испытания серийно выпускаемой продукции при приемочном контроле;

111

-эксплуатационные испытания по подтверждению соответствия изделий требованиям проектной документации, проводимые в условиях эксплуатации;

-испытания со ступенчатым нагружением. Испытания, состоящие из нескольких последовательных периодов равной продолжительности в постепенно утяжеляемых нагрузочных условиях. Цель этих испытаний состоит в установлении наихудших условий работы изделий, превышающих его возможности. Поэтому эти испытания продолжают, постепенно увеличивая нагрузки, вплоть до отказа испытываемого образца, и результатом испытаний служит этот предельный уровень нагрузок, а не наработка до отказа.

7.1. Определительные испытания. Планы испытаний

Испытания проводят в соответствии со статистическим планом, который должен устанавливать число испытываемых образцов, правила обращения с отказавшими при испытаниях образцами (их ремонт, замена, восстановление или снятие с испытаний) и критерии принятия решений об окончании испытаний. Существуют два основных типа планов испытаний на безотказность: с восстановлением/заменой отказавших образцов или без них. Планы принято кодировать латинскими буквами, причем, ранее действовавший ГОСТ 27.410-87 закреплял эти названия. Приведем основные из них.

Планы без замены или восстановления отказавших объек-

тов: NUT, NUr, NUN,NU(r,T).

Расшифровка обозначений планов:

NUT – одновременно испытываютN объектов (первый символ N), отказавшие во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют (второй символ U), испытания прекращают по истечении времени испытаний или наработки Т(третий символ Т) для каждого сохранившего работоспособность объекта;

NUr - одновременно испытывают N объектов, отказавшие во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют,

112

испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигло r;

NUN – аналогичен плану NUr, но испытания проводят до отказа всех объектов;

NU(r,T) – аналогичен плану NUr, но испытания прекращают, когда число отказавших объектов достиглоr или при истечении времени испытаний Т в зависимости от того, какое из этих условий выполнено ранее.

Планы с заменой отказавших объектов: NRT, NRr, NR(r,T). Расшифровка обозначений аналогична приведенной выше, но после отказа объекта его заменяют новым(второй символ в обозначении R). Поскольку число испытываемых объектов постоянно, то r определяет суммарное количество отказов всех испытываемых объектов.

Планы с восстановлением отказавших объектов: NМT, NМr, NМ(r,T). Как видно, второй символ в названии М служит признаком восстановления отказавшего объекта, остальные символы аналогичны приведенным выше.

При статистической обработке результатов испытаний, использующей метод максимального правдоподобия, получают численные или точечные показатели безотказности и интервальные.

Определение точечных показателей

Для плана NUN оценка среднего времени наработки испытываемого объекта до отказа будет равна:

где t1, t2, …, tN, ti – значения времени наработки до отказа испытываемых объектов.

Дисперсия времени наработки до отказа:

Среднеквадратическое отклонение времени наработки до

отказа:

113

~ = ~ σ(t) D(t) .

Оценки среднего времени наработки до отказа для других планов:

- план NUT:

где n(T) – количество объектов, отказавших за время испытаний Т; - план NUr:

Выражения в квадратных скобках формул(73) , (74) и в числителе (75), (76) определяют суммарное время наработки всех испытываемых объектов в течение времени испытаний.

7.2. Определение интервальных оценок показателей надежности

В связи с ограниченным количеством испытываемых объектов и, следовательно, усредняемых случайных значений времени наработки до отказа или выборочных данных, точечные показатели сами являются случайными. При увеличении количества отказов (объема выборки) до бесконечности точечные оценки по-

114

казателей стремятся к действительным значениям, но при ограниченном отказов точечные оценки могут существенно отличаться от действительных значений показателей. В этом случае более информативными являются интервальные показатели, определяемые в виде доверительных интервалов[12]. Доверительным интервалом для оцениваемого показателя m называется интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью, не меньше заданной доверительной вероятности Рд. Доверительный интервал может быть односторонним в виде (-¥, mmax ] или двусторонним: [mmin , mmax ].

ширина доверительного интервала.

В общем случае уравнение для доверительного интервала записывают как

т. е. вероятность того, что отклонение действительного значения от оценки не превышает величину ε, равна Рд.

Чтобы найти доверительный интервал, перепишем уравнение (77) в виде

тельной вероятности можно найти ширину доверительного -ин тервала 2ε или левую и правую границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью действительное значение.

Оценка доверительного интервала для среднего времени наработки до отказа при большом количестве отказов

При оценке среднего значения некоторого параметра, например, времени наработки до отказа, путем усреднения большого количества значений, считают, что случайная величина оценки

подчиняется нормальному закону распределения вероятностей

115

(13) с параметрами m и σ [13]. Так в ГОСТ Р 50779.21-2004 [12]

указывается, что если распределение вероятностей случайных величин несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы оценки статистических параметров, использующие нормальное распределение, остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.

Плотность вероятности оценки среднего значения случайной величины для нормального закона будет равна:

где х – точечная оценка среднего значения; m - действительное значение среднего времени наработки до отказа; σ2 – дисперсия оценки среднего значения.

Получить верхнюю и нижнюю границы двустороннего до-

[~ - e ~ + e]

верительного интервала Tc , Tc , на который с заданной доверительной вероятностью попадает действительная величина Тс (рис. 52) , можно решая уравнение

~

Tc+e

относительно неизвестной величины ε.

116

Рис. 52. Доверительный интервал

Если решение этого уравнения не получается, упростим задачу, переходя к нормированной переменной

и записывая интеграл вероятности для нормированной переменной, аналогичный (20):

Величина К, равная верхнему пределу интервала, на который с вероятностью Ф(К) попадает случайная величина z, называется квантилью для вероятности Ф(К). Ее можно найти, решая уравнение (82), можно воспользоваться таблицей квантилей для нормального закона, приведенных в литературе по теории вероятности. Поскольку функция плотности вероятности

f(z) = 1 exp( -z 2 /2) , mz = 0, σz=1,

2π

для нормированной переменной симметрична относительно оси ординат, вероятность попадания случайной величиныz на двусторонний интервал [-K,+K] может быть получена как

или

117

Рд = Ф(K) - Ф(-K) = Ф(K) - [1 - Ф(K)]= 2Ф(K) -1 , а

Ф(К)=(1+Рд)/2.

Значения квантилей для двустороннего интервала[-K, K] приведены в табл. 12. Для других значений доверительной вероятности они могут быть получены решением уравнения (83).

Получив значение К, доверительный интервал для Тс пересчитаем, пользуясь выражением (81) и считая, что минимальному значению нормированной переменной z, равному –К, соответ-

~

ствует x min = Tc - e, а максимальному, равному +K, соответству-

~

ет x max = Tc + e . Тогда в соответствии с (81)

Пример 25. Испытания изделия проводились по плану NUN c N=10. Время работы до отказа каждого из них фиксирова-

лось и составило, ч: t1=125, t2=514, t3=1025, t4=2346, t5=4125, t6=5700, t7=6902, t8=8348, t9=9900, t10=11834. Найти точечные оценки среднего времени наработки до отказа, дисперсии времени и среднеквадратическое отклонение, а также доверительный интервал для Тс при доверительной вероятности Рд=0,9.

Введем значения времени наработки до отказа и определим точечные оценки показателей.

N:=10

to := (0 125 514 1025 2346 4125 5700 6902 8348 9900 11834 ).

118

Среднее время наработки до отказа

119

e := Find(e)

e = 2147.86943 .

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала (85):

К=1,645. Из (84) подстановкой округленных значений получим:

ε=К.σТс= 2148,37.

Задача 16. Испытания изделия проводились по плануNUN c N=12. Время работы до отказа каждого из них фиксировалось и составило, ч: t1=900, t2=1300, t3=1650, t4=1846, t5=2051, t6=2123, t7=2202, t8=2340, t9=2412, t10=2805, t11=2999, t12=3124. Найти то-

чечные оценки среднего времени наработки до отказа, дисперсии времени и среднеквадратическое отклонение, а также доверительный интервал для Тс при доверительной вероятности Рд=0,9.

Оценка доверительных интервалов при малом количестве отказов

Обработка результатов испытаний проводится в соответствии с [14]. При малом количестве отказов объектов(не больше пяти), например, для планов NRr, NRT при N=1, 2, рассматри-

2 ×Т *

вают случайную величину x = ~ , где Т* - суммарное время

Tc

~

наработки всех испытываемых объектов, Tc - точечная оценка среднего времени наработки до отказа. Величина х имеет смысл удвоенного среднего количества отказов за время испытаний и при экспоненциальном распределении вероятности безотказной

работы объектов она подчиняется распределениюc2 (р) (хи-

квадрат) с р степенями свободы. Количество степеней свободы является параметром распределения и для плановNRr оно равно удвоенному числу отказов r, то есть p=2r, а для NRT – p=2r+2.

Плотность распределения c2 (р) имеет вид (рис. 53):

120