Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

го (14) наличием нормирующего коэффициента с:

Значения численных параметров находят либо по общим формулам (6), (7), либо с использованием зависимостей, приведенных ниже:

С целью упрощения процедуры вычисленияинтеграла вероятности (13) используют несколько иную форму его записи, вводя взамен t нормированную переменную z = (t - m)/σ .

Тогда f(z) = 1 exp( -z 2 /2) , mz = 0, Dz=1,

а z выражается через переменную t и параметры m и σ.

Как видно, в интеграле для F(z) нет параметров, т. е. функция вероятности зависит только от одной переменнойz, что упрощает процедуру вычисленияF(z). В дальнейшем упрощении используется симметрия f(z) относительно оси ординат и это позволяет при проведении вычислений использовать интеграл вероятности Ф0(z) для положительного аргумента:

21

или его таблицы.

Поскольку интеграл вероятности для бесконечного интервала времени равен 1, то для половины интервала в силу симметрии подынтегральной функции он будет равен 0,5:

Нормирующий коэффициент с для усеченного нормально-

го закона (15) равен с=1/[0,5+Ф0(m/s)].

Пример 5. Время безотказной работы преобразователя подчинено нормальному закону с параметрами распределения m=2800 ч и s=1300 ч. Используя формулы для усеченного нормального распределения, рассчитать вероятность безотказной работы преобразователя в течение3000 ч, также плотность вероятности и интенсивность отказов для 3000 ч, среднее время наработки до отказа, дисперсию времени наработки до отказа и гам- ма-процентную наработку до отказа для γ=90 %.

Присвоим заданные значения соответствующим переменным: m:=2800 σ:=1300 t1:=3000.

Запишем выражение для определения параметра с из условия равенства единице вероятности отказов при увеличении времени до бесконечности (16):

Запишем выражение для вероятности отказов при усеченном законе

22

Вероятность безотказной работы для 3000 ч работы:

P(t , m,s,c) := 1 - Q(t , m, s, c),

P(t1 , m, s, c) = 0.446 .

Плотность вероятности отказов для 3000 ч работы:

Среднее время наработки до отказа:

ó¥

Tcp := ô P(t , m, s,c) dt Tcp = 2851.800739 .

õ0

Дисперсия времени наработки до отказа:

Значения среднего времени наработки до отказа и дисперсии времени, рассчитанные по формулам (17) – (19):

Tcp1 := m + s × c1,

23

Гамма-поцентную наработку до отказа определим, решая уравнение (8) приближенным методом с помощью блока Given. Для этого зададим начальное приближение времени, запишем

процедуру решения и выведем результат решения Т и ошибку решения ERR:

Т:=1000

Given

Проверим вероятность безотказной работы объект на -ин тервале времени [0,T], хотя ошибка численного решения уравнения мала:

P(T ,m,s, c) = 0.9 .

Как видно, эта вероятность равна заданной величинеγ, следовательно, решение правильное. Программа решения задачи в системе Mathcad Prime приведена в Приложении.

Пример 6. Для задачи из примера5 построить графики всех функциональных показателей: P(t), Q(t), f(t), λ(t) и асимптоты (t-m)/σ2 для интенсивности отказов. Используя описания функций из примера 5, построим графики в системеMathcad на двух рисунках из-за большой разницы в масштабах (рис. 6 и 7).

Задача 3. Вероятность отказов объекта подчиняется нормальному закону с параметрами m и σ. Найти среднее время на-

24

работки до отказа объекта, дисперсию и среднеквадратическое отклонение времени наработки до отказа, также гаммапроцентную наработку до отказа для γ=90 %. Построить графики вероятностей отказов и безотказной работы, а также плотности вероятности и интенсивности отказов. Варианты заданий приведены в табл. 3, 4.

Рис. 6. Вероятности безотказной работы и отказов для примера 6

Рис. 7. Плотность вероятности отказов, интенсивность отказов и асимптота

25

2.3. Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла является достаточно универсальным. Ему подчиняется вероятность безотказной работы большинства объектов, в том числе объектов с начальной приработкой. Оно может использоваться для всех интервалов эксплуатации, но при различных значениях параметров. Выражение для вероятности безотказной работы:

где a и k – параметры распределения, причем, при k=1 это распределение соответствует экспоненциальному, а при k=2- известен как распределение Релея.

Вероятность отказа, плотность вероятности и другие показатели надежности определяются как:

Значения гамма-функции Г(x) можно найти численным методом либо по таблицам.

26

Графики показателей надежности для распределения Вейбулла при k>1 и k<1 приведены на рис. 8, 9.

Рис. 8. Показатели надежности для распределения Вейбулла при k>1

Рис. 9. Показатели надежности для распределения Вейбулла при k<1

Для распределения Релея чаще используют и другую форму записи функций надежности:

P(t) = exp(- t 2 ) , 2s2

Среднее время наработки до отказа будет равно

27

Выражение в квадратных скобках соответствует предельному значению нормированного интеграла вероятности и в соответствии с (20) эта величина составляет 0,5. Тогда

Тср = s 2p × 0,5 = s p.

2

Пример 7. Время работы до отказа преобразователя подчинено закону распределения Вейбулла с параметрами распределе-

ния α=3.10-5 и k=1,8. Рассчитать среднее время наработки преобразователя до отказа, используя оба выражения (24), вероятность безотказной работы преобразователя в течение2000 ч и построить графики функциональных показателей.

Присвоим заданные значения соответствующим переменным:

Запишем выражения для вероятности безотказной работы, вероятности отказов, плотности вероятности и интенсивности отказов, используя формулы (21) - (23):

Вероятность отсутствия отказов за 2000 ч работы равна

P(a , k, t1) = 0.409 .

Среднее время наработки до отказа, выраженное через интеграл вероятности безотказной работы:

28

ó¥

ô P(a,k, t) dt = 1944.90577.

õ0

Среднее время наработки до отказа (24), выраженное через гамма-функцию, записанную в греческом алфавите:

èk ø

Для перехода к другому формату отображения результата в Mathcad выберем последовательно из меню команды: Формат → Результат; число десятичных мест увеличим до5 и показательный порог также увеличим до 5. Графики функций представлены на рис. 10, 11.

1

P(a , k, t)

Q( a , k, t) 0.5

0

t

Рис. 10. Вероятности безотказной работы и отказов для k=1,5

f( a , k, t) 0.001 l(a , k, t)

0

t

Рис. 11. Плотность вероятности и интенсивность отказов для k=1,5

29

Пример 8. Время работы до отказа преобразователя подчинено закону распределения Вейбулла с параметрами распределе-

ния α=3.10-3 и k=0,3. Рассчитать среднее время наработки преобразователя до отказа и дисперсию времени, вероятность отказа преобразователя за 3000 ч и построить графики функциональных показателей.

Присвоим заданные значения соответствующим переменным:

Среднее время наработки до отказа:

ó¥

ô P(a,k, t) dt = 3167.66106

õ0

Дисперсия времени наработки до отказа (7), (25):

Графики вероятности безотказной работы и отказов приведены на рис. 12, плотности вероятности и интенсивности отказов

– на рис. 13.

1

P( a , k , t)

Q ( a , k , t) 0.5

0

t

Рис. 12. Вероятности безотказной работы и отказов при k=0,45

30