Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

f(a , k, t) 0.001

l(a , k, t)

0

t

Рис. 13. Плотность вероятности и интенсивность отказов при k=0,45

Задача 4. Вероятность безотказной работы объекта подчиняется распределению Вейбулла с параметрами α иk. Найти среднее время наработки до отказа объекта, дисперсию и среднеквадратическое отклонение времени наработки до отказа, а также гамма-процентную наработку до отказа для =90γ %. Построить графики вероятностей отказов и безотказной работы, также плотности вероятности и интенсивности отказов. Варианты заданий приведены в табл. 5.

Таблица 5

31

3. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

3.1. Простые системы без резервирования

При расчете надежности используют структурные(логические) схемы [1], [20], на которых элементы изображаются в виде прямоугольников, соединенных линиями связи. Порядок следования элементов на схеме в большинстве случаев может быть произвольным. Если на схеме можно пройти от начала схемы к её концу только через работоспособные элементы без разрывов, то система будет работоспособной. В случае если система состо-

ит из N элементов и отказ любого из них приводит к отказу всей системы, такая система называется системой без резервирования. На структурной схеме системы без резервирования элементы -со единены последовательно (рис.14).

Рис. 14. Структурная схема системы без резервирования

Вероятность безотказной работы такой системы равна произведению вероятностей безотказной работы всех элементов

N

Pc(t) = P1(t)P2(t)...PN(t) = ÕPi(t) .

i=1

(27)

Наиболее просто получить выражение вероятности безотказной работы системы для экспоненциального закона вероятности безотказной работы элементов с интенсивностями отказов λi:

N N

Pc(t) = Õexp(-λi × t) = exp(-tåλi) = exp(-λc × t),

N

где λc = åλi - интенсивность отказов системы.

i=1

Среднее время наработки до отказа системы равно 1/lc.

32

Пример 9. Контроллер содержит пятнадцать интегральных схем, десять транзисторов, десять диодов, двадцать резисторов и тридцать четыре керамических конденсатора. Среднее время наработки до отказа для интегральных схемt1=20000 ч, транзисторов и диодов - t2 = 32000 ч, резисторов и конденсаторов - t3 = 48000 ч. Найти вероятность безотказной работы за300 ч и среднее время наработки контроллера до отказа, если отказ любого элемента приводит к отказу всего устройства.

Присвоим значения времени работы до отказа элементов:

Вероятность безотказной работы для контроллера, не содержащего резервированных элементов, равна в соответствии с

(27):

Pk(t) := expë-t × (15 × l1 + 20 × l2 + 20 × l3 + 34 × l3)û ,

и для 300 ч работы

Pk(300) = 0.472366553 .

Среднее время наработки до отказа:

15 × l1 + 20 × l2 + 20 × l3 + 34 × l3

Задача 5. Определить среднее время наработки до отказа системы управления содержащей контроллер, пять датчиков температуры, четыре датчика давления, семь исполнительных устройств, если среднее время наработки до отказа контроллера составляетt1 ч, датчиков температуры и давления – t2 ч, исполнительного механизма – t3 ч. Численные значения приведены в табл. 6.

33

3.2. Нагруженный резерв. Общее резервирование

Если система, состоящая из N элементов, откажет только в случае отказа всех элементов, причем, все элементы постоянно включены (нагружены), ее структурная схема представляется параллельным соединением элементов(резервное включение)

(рис.15).

Вероятность отказа такой системы равна произведению вероятностей отказа всех элементов [7], [8]:

Вероятность безотказной работы будет равна

Pc(t) = 1 - Qc(t) .

При одинаковой надежности всех элементов вероятность безотказной работы системы определится как

N

Pc(t) =1 - Õ[1 - Pi(t)] =1 - [1 - P1 (t )]n ,

i=1

где P1(t) – вероятность безотказной работы одного элемента.

34

Рис. 15. Резервное включение. Постоянный резерв

Для однократно резервированного или дублированного элемента вероятность безотказной работы получим, используя выражение (28)

= P1(t) + P2 (t) - P1(t) ×P2 (t).

При экспоненциальном распределении вероятности безотказной работы элементов вероятность безотказной работы дублированного элемента

Среднее время наработки до отказа такой системы будет

равно

Для одинаковых элементов выражения (29), (30) упрощаются

Pc(t) = 2P1 (t) - P12 (t) = 2 × e -λ1 ×t - е -2λ1×t ,

соответственно среднее время наработки до отказа

35

3.3. Поэлементно-резервированные системы

Если в системе имеются отдельные элементы с резервированием, то логические схемы для расчета надежности представляют собой [8] последовательно-параллельные структуры (рис.16)

Рис. 16. Поэлементное резервирование

Вычисляя в соответствии с(28) вероятность безотказной работы для групп резервированных элементов1-2, 3-4-5, 7-8 и обозначая их как Р12, Р345, Р78 , вероятность безотказной работы системы будет равна Рс(t)=P12(t)P345(t)P6(t)P78(t).

Пример 10. Информационно-управляющая система с нагруженным резервом содержит два дублированных датчика измерения температуры, датчик измерения расхода, два исполнительных механизма и дублированный контроллер. Определить среднее время наработки системы до отказа, если интенсивность отказа датчика температуры с преобразователем равна l1= 10-4 1/ч, датчика расхода

с преобразователем l2=3.10-5 1/ч, исполнительного механизма -

l3=8.10-4 1/ч, контроллера l4=9.10-5 1/ч.

Схема системы, разделенной условно на участки с параллельным или последовательным соединением элементов, представлена на рис. 17.

Рис. 17. Структурная схема системы с нагруженным резервом

36

Присвоим значения интенсивностям отказов элементов

Вероятности безотказной работы элементов:

Вероятности безотказной работы для групп элементов

P1_2(t) := P1(t) + P2(t) - P1(t) P2(t) P3_4(t) := P1_2(t)

P5_7(t) := P5(t) × P6(t) × P7(t)

P8_9(t) := P8(t) + P9(t) - P8(t) × P9(t).

Вероятность безотказной работы системы

Pc(t) := P1_2(t) × P3_4(t) × P5_7(t) × P8_9(t).

Среднее время наработки системы до отказа

ó999999

Tc := ô Pc(t) dt Tc = 602.863 .

õ0

Задача 6. Система управления содержит дублированный контроллер, три датчика давления, два датчика температуры и три дублированных исполнительных механизма. Интенсивности отказов основных и резервных элементов постоянны и одинаковы. Среднее время наработки до отказа контроллеров равноt1, датчиков t2, исполнительных механизмов t3. Найти среднее время наработки системы до отказа по данным табл.6.

37

3.4. Резервированные системы со скользящим резервом

Если в системе имеется N однотипных основных элементов и M резервных (рис. 18), каждый из которых может заменить любой отказавший основной, отказ такой системы произойдет после отказа M+1 –го элемента. Такой резерв называется скользящим [4]. В случае, когда M не кратно N, такое резервирование называется также резервированием с дробной кратностью.

Вероятность безотказной работы для нагруженного резерва определяется в соответствии с методом перебора состояний как сумма вероятностей всех возможных несовместимых рабочих состояний системы.

Рис. 18. Резервирование с дробной кратностью

Для простого случая, когда число основных блоков равно двум и резервный блок один(рис. 19), вероятность безотказной работы системы определяется выражением

Pc(t)=P1(t)P2(t)P3(t)+Q1(t)P2(t)P3(t)+P1(t)Q2(t)P3(t)+ +P1(t)P2(t)Q3(t), (31)

причем первое слагаемое определяет вероятность отсутствия -от казов, второе – вероятность отказа первого элемента и сохранение работоспособности второго и третьего элементов, третье – вероятность отказа второго элемента и сохранение работоспособности первого и третьего элементов, четвертое – вероятность отказа третьего элемента и сохранение работоспособности первого и

38

второго элементов. Все эти четыре состояния являются несовместимыми и вероятности этих несовместимых состояний можно суммировать.

Рис. 19. Схема системы с двумя основными и одним резервным элементом

Заменим в выражении (31) вероятности отказов на вероятности безотказной работы, используя зависимость (1),

Qi(t)=1-Pi(t), i=1...3,

Pc(t)=P1(t)P2(t)P3(t)+[1- P1(t)]P2(t)P3(t)+P1(t)[1- P2(t)]P3(t)+ +P1(t)P2(t)[1- P3(t)].

Раскроем квадратные скобки и сведем подобные слагаемые:

Pc(t)= -2P1(t)P2(t)P3(t)+ P2(t)P3(t)+P1(t) P3(t)+P1(t)P2(t). (32)

При всех одинаковых по надежности элементах выражение

(31) будет еще проще:

Pc(t)= P13(t) +3Q1(t)P12(t)= P13(t) +3[1-P1(t)] P12(t)= 3P12(t)-2 P13(t),

т. е.

ется экспоненциальному распределению, то вероятность безотказной работы системы равна

Для системы, представленной на рис. 18, вероятность безотказной работы будет равна

Pc(t)=P1(t)P2(t)…PN(t)PN+1(t)…PN+M(t)+

39

+Q1(t)P2(t)…PN(t)PN+1(t)…PN+M(t)+ +P1(t)Q2(t)…PN(t)PN+1(t)…PN+M(t)+...+ +P1(t)P2(t)…PN(t)PN+1(t)…QN+M(t)+

(35) +Q1(t)Q2(t)P3(t)…PN(t)PN+1(t)…PN+M(t)+ +Q1(t)P2(t)Q3(t)…PN(t)PN+1(t)…PN+M(t)+… +Q1(t)P2(t)P3(t)…PN(t)PN+1(t)…QN+M(t)+ …

+Q1(t)Q2(t)… QM(t)PM+1(t)…PN(t)PN+1(t)… PN+M(t)+

+Q1(t)Q2(t)… QM-1(t)PM(t)QM+1(t)PM+2(t)…PN(t)PN+1(t)… PN+M(t)+… +P1(t)P2(t)…PN(t)QN+1(t)… QN+M-1(t)QN+M(t).

При одинаковых вероятностях безотказной работы элементов

Pc(t) = PN +M (t) + (N + M)PN +M-1(t)Q(t) + [(N + M -1) +

+(N + M - 2) + ... +1]PN +M-2 (t)Q2 (t) +... + [(N + M)!/(M!N!) ]P N (t) ´ г

де CiN+M =(N+M)!/[i!(N+M-i)!] – число сочетаний из N+M элемен-

тов по i.

Пример 11. Система без восстановления состоит из2 основных блоков и 1 резервного, заменяющего любой блок. Найти вероятность отказа системы в течение6000 ч работы и среднее время наработки до отказа системы, если:

- среднее время наработки до отказа при экспоненциальном законе распределения всех блоков различно и равно: t1=5000 ч, t2=6000 ч, t3=7000 ч;

- среднее время наработки до отказа для всех блоков одинаково и равно 6000 ч.

Структурная схема системы для расчета надежности приведена на рис. 19.

Присвоим значения в программе Mathcad

40