Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

P0'' (0)= C 2 k 22 + C 3 k 32 ,

или C1 + C 2 + C 3 = 1 , C 2 k 2 + C 3 k 3 = -2l ,

C 2 k 22 + C 3 k 32 = 2l(2l + m).

Определив константы C1, C2, C3 и P0 (t ), выражение для P1 (t ) получим подстановкой P0 (t ) в (63).

Определение коэффициента готовности и статического коэффициента готовности с помощью преобразований Лапласа. Так, для системы, представленной на рис. 33, система уравнений (60) в преобразованиях Лапласа c учетом обозначений и свойств преобразований:

L{f (t )}= F(s), Lìdf ü = s × F(s) - f (0) ,

í ý îdt þ

запишется как:

sP0 (s)- P0 (0)= -2lP0 (s)+ mP1 (s),

sP1 (s)- P1 (0)= 2lP0 (s)- (l + m)P1 (s)+ mP2 (s), sP2 (s)- P2 (0)= lP1 (s)- mP2 (s).

Используя начальные условия (62) P0(0)=1, P1(0)=0, P2(0)=0,

эту систему перепишем в виде:

(s + 2l)P0 (s)- mP1 (s)= 1 ,

-2lP0 (s)+ (s + l + m)P1 (s)- mP2 (s)= 0 ,

-lP1 (s)+ (s + m)P2 (s)= 0 .

Вматричной форме систему алгебраических уравнений

можно записать в виде

91

Главный и дополнительные определители матрицы коэффициентов системы:

D= (s + 2l)(s + l + m)(s + m)- 2lm(s + m)- lm(s + 2l)= = [s 2 + s (2m + 3l)+ (2l2 + 2lm + m2 )]s ,

D0 = (s + l + m)(s + m)- lm = s 2 + s(l + 2m)+ m 2 ,

D1 = 2l(s + m), D2 = 2l2 .

Изображения по Лапласу вероятностей работоспособных состояний, получаемые через определители, будут равны:

Для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться формулой вычетов:

( ) m 1 d ni-1 [ ( )( )n ( )]

P t = å lim P s s - s i i exp st ,

i=1 (n i -1)! s®si ds ni-1

где m – количество различных корней уравнения D(s)= 0 ; ni -

где n – количество корней уравнения D(s)= 0 ; s i - корни урав-

нения D(s)= 0 ; D' (s )= dD . ds

При наличии пакета Mathcad достаточно просто получить решение с помощью преобразований Лапласа. Поскольку в матричной форме система уравнений для вероятностей состояний типа (60) может быть записана как (61), в преобразованиях Лапласа она примет вид:

92

где s – переменная Лапласа; P(s) - вектор вероятностей в изображениях Лапласа; P(0) = Р0 - вектор начальных условий (значения вероятностей состояний в нулевой момент времени). Переписав уравнение (69) в виде(Е×s - A)×P(s) = P0 , получим его ре-

где Е – единична матрица, (Е ×s - A)-1 - обратная матрица. Чтобы получить временные функции вероятностей работо-

способных состояний, нужно выбрать из вектораP(s) изображения по Лапласу вероятностей работоспособных состояний и взять от них обратное преобразование Лапласа. Коэффициент готовности получим, просуммировав вероятности всех работоспособных состояний.

Пример 21. Для примера 17 найти коэффициент готовно-

сти, если 1=2λ .10-4; λ2=3.10-4; λ3=4.10-4; μ1=0,1; μ2=0,11; μ3=0,12.

Запишем по системе дифференциальных уравнений примера 17 в Mathcad матрицу коэффициентов A, единичную матрицу Е и вектор начальных условий Р0:

dP0 = -(l1 + l2 + l3)× P0 t( +) m1× P1 (t )+ m2 × P2 (t )+ m3 × P3 (t ), dt

dP1 = -(m1 + l2 + l3)× P1 t( +)l1×P0 (t )+ m3× P4 (t )+ m2 ×P5 (t ), dt

dP2 = -(m2 + l1+ l3)×P2 t( +)l2 × P0 (t )+ m1×P5 (t )+ m3×P6 (t ), dt

dP3 = -m3 × P3 (t )+ l3 × P0 (t ), dt

dP4 = -m3 × P4 (t )+ l3 × P1 (t ), dt

dP5 = -(m1 + m2)× P5 t( +)l2 × P1 (t )+ l1× P2 (t ), dt

93

Запишем решение (70) и выражение для изображения по Лапласу коэффициента готовности:

P ( s) := ( E×s - A) - 1 ×P0

Kg ( s) := P ( s) 0 + P ( s) 1 + P ( s) 2 .

Выполним обратное преобразование Лапласа для коэффициента готовности и выведем результат с пятью знаками после запятой;

94

Статический коэффициент готовности будет равен постоянному слагаемому в последнем выражении, то есть:

Kg=0,99667.

Его можно получить и с помощью свойства предельного перехода для преобразования Лапласа:

lim f (t )= lim[F(s)s], тогда

t®¥ s®0

lim ( Kg( s) ×s) float , 10 ® .996672348 s ® 0

Задача 12. По условию задачи 11 найти выражение для коэффициента готовности и статический коэффициент готовности, если среднее время наработки до отказа контроллера равно10000 ч, одного датчика - 10000 ч, исполнительного механизма 5000 ч, среднее время восстановления контроллера20 ч, основных датчиков 10 ч, резервных – 8 ч (если по условию это время отличается от среднего времени восстановления основных датчиков), исполнительных механизмов 12 ч.

5.5. Расчет среднего времени наработки на отказ

Среднее время наработки на отказ за время t эксплуатации системы определяется по формуле (49)

t

ò K г (t )dt

ò w(t )dt

0

параметр потока отказов w(t) – по формуле (47).

95

Для системы рис. 33 коэффициент готовности равен сумме вероятностей работоспособных состояний (нулевого и первого),

т. е. К г (t )= P0 (t )+ P1 (t ).

Параметр потока отказов определяется как сумма вероятностей работоспособных состояний, из которых происходит переход в неработоспособные, умноженных на интенсивности этих переходов. У рассматриваемой системы единственное работоспособное состояние, из которого происходит переход в неработоспо-

собное, это первое, а интенсивность перехода - l. Тогда w (t )= lP1 (t ),

и среднее время наработки на отказ

qcp (t )= òt [P0 (t )+ P1 (t )]dt / òt lP1 (t )dt .

Предельное значение среднего времени наработки на отказ в соответствии с (50) будет равно отношению статического коэффициента готовности к предельному значению параметра потока отказов:

При использовании преобразований Лапласа удобней применять формулу предельного перехода lim f (t )= lim[F(s)s]:

Пример 22. Для примеров 17, 21 найти среднее время наработки на отказ и предельное его значение. Выражение для коэффициента готовности и статическое его значение были получены в примере 21, параметр потока отказов в соответствии с графом рис. 39 будет определяться выражением

w (t )= l3 P0 (t )+ (l 2 + l3 )P1 (t )+ (l1 + l3 )P2 (t ),

в преобразованиях Лапласа в системе Mathcad

96

w ( s) := P ( s) 0×l3 + P ( s) 1 ×(l2 + l3) + P ( s) 2 ×(l1 + l3) .

Предельное значение параметра потока отказов, полученное в Mathcad,

lim ( w ( s ) ×s ) float , 10 ® .3998052106e-3 s ® 0

Предельное значение среднего времени наработки на отказ

Выполнив обратное преобразование Лапласа для параметра потока отказов, запишем выражение для среднего времени наработки на отказ

Единицы добавлены к именамKg, w чтобы отличить в Mathcad временные функции от изображений по Лапласу. Временные функции для коэффициента готовности, параметра потока отказов и среднего времени наработки на отказ не приводим в силу их громоздкости, график среднего времени наработки показан на рис. 47.

t

Рис. 47. Среднее время наработки на отказ

97

Задача 13. Для системы по условиям задач 11, 12 найти выражение для среднего времени наработки на отказ и предельное значения времени наработки на отказ при стремлении времени эксплуатации к бесконечности.

5.6. Расчет вероятности безотказной работы и среднего времени наработки до первого отказа

Если на графе переходов запретить все возвраты из неработоспособных состояний в работоспособные, то сумма вероятностей работоспособных состояний будет являться вероятностью безотказной работы системы, и с увеличением времени она будет стремиться к нулю. Интеграл от этой вероятности на всем интервале времени равен среднему времени наработки до отказа.

Пример такого графа для системы из одного резервированного объекта (рис. 33) показан на рис. 48, система уравнений приведена ниже.

Рис. 48. Граф для расчета вероятности безотказной работы

Дифференциальные уравнения в этом случае записываются только для рабочих состояний, так как в них не входят вероятности нерабочих, а для расчета вероятности безотказной работы и среднего времени наработки до отказа необходимы только вероятности рабочих состояний:

dP0 = -2lP0 (t )+ mP1(t ), dt

dP1 = 2lP0 (t )- (l + m)P1 (t ). dt

98

Решая систему, определим P0 (t ) и P1 (t ). Сумма вероятностей всех рабочих состояний соответствует в данном случае вероятности безотказной работы системы Pc (t )= P0 (t )+ P1 (t ), а среднее время наработки до отказа равно

Tcp = ¥ò Pc (t )dt .

0

Если система уравнений громоздкая, можно воспользоваться преобразованиями Лапласа и их свойствами об интегрирова-

учетом этих свойств, среднее время наработки до отказа может быть получено как

Tcp = lim Pc (s). s®0

Задача 14. Для системы по условиям задач11, 12, найти выражение для вероятности безотказной работы и среднее время наработки системы до отказа.

5.7.Расчет показателей надежности невосстанавливаемых систем с ненагруженным резервом при различной

интенсивности отказов элементов

Задача решается с помощью графа состояний аналогично восстанавливаемым системам. Рассмотрим задачу на примере системы из двух основных элементов (рис. 19), имеющих различную интенсивность отказов, и одного резервного, интенсивность отказов которого также отличается от интенсивностей отказов остальных элементов. Граф состояний такой системы представлен на рис. 49.

Вероятность безотказной работы такой системыравна сумме вероятностей всех работоспособных состояний

Pc (t )= P0 (t )+ P1 (t )+ P2 (t ).

99

Рис. 49. Граф состояний системы без восстановления

dP0 = -(l1 + l2 )× P0 (t) , dt

dP1 = l1 × P0 (t) - (l3 + l2 )× P1 (t), dt

dP2 = l2 × P0 (t) - (l3 + l1 )× P2 (t) . dt

Из первого уравнения находим P0 (t)= C0e-(l1+l2 )t .

Так как при t=0 система находится в нулевом состоянии, то С0=1. Второе и третье уравнения являются неоднородными с экс-

поненциальной правой частью:

dP1 + (l3 + l2 )× P1 (t) = l1e-(l1 +l2 )×t , dt

dP2 + (l3 + l1 )× P2 (t) = l2 e-(l1 +l2 )×t . dt

Решаем первое из них, а для второго решение запишем по аналогии с первым.

P1 (t )= P1.об (t )+ P1.част (t ).

Общее решение однородного дифференциального уравнения равно:

100