Диагностика и надежность автоматизированных систем. Учебное пособие

Запишем выражения для вероятностей безотказной работы блоков и вероятностей их отказа

Вероятность безотказной работы системы с нагруженным резервом в течениеt ч работы по методу перебора состояний равна (31)

P(t) := P1(t) × P2(t) × P3(t) + Q1(t) × P2(t) × P3(t) + P1(t) × Q2(t) × P3(t) + + P1(t) × P2(t) × Q3(t) .

Вероятность отказа системы за 6000 ч работы равна: Q(t):=1-P(t) Q(6000) = 0.699 .

Среднее время наработки до отказа системы

ó¥ 3

ô P(t) dt = 4.949´ 10 .

õ0

Если среднее время наработки до отказа всех блоков одинаково, то выражение для вероятности безотказной работы можно упростить до формулы (33)

P(t):= 3×P1(t)2 - 2×P1(t)3 .

Вероятность отказа системы за 6000 ч работы равна:

Среднее время наработки до отказа системы

ó¥ 3

ô P(t) dt = 5.856´ 10 .

õ0

3.5. Системы с мажоритарным резервированием

Мажоритарное резервирование заключается в использовании нечетного количества элементов для выполнения одной и той же функции, причем система будет работоспособной, когда со-

41

храняется работоспособность большинства элементов, входящих в группу мажоритарного резервирования. Примером такого ре-

зервирования может служить информационная система с тремя датчиками, помещенными в одно и то же место и подключенными к контроллеру. Контроллер опрашивает датчики, сравнивает их выходы и если все значения близки– принимает решение о работоспособности всех датчиков, и значение измеряемого параметра может быть выбрано либо по одному из датчиков, либо получено усреднением всех значений. Если близки только два из трех выходов (большинство) – система еще сохраняет работоспособность, но третий датчик диагностируется как отказавший. При всех различных показаниях принимается решение об отказе системы. Структурная схема такой системы приведена на рис. 20.

Рис. 20. Схема мажоритарного резервирования. СПР – схема принятия решения

Возможны системы без использования схемы принятия решения либо ее роль выполняет контроллер, реализующий также и другие функции, надежность которого учитывается отдельно. В этом случае схема резерва соответствует рис. 18, 19 и расчет надежности выполняется по формулам (31) - (35).

Для схемы, представленной на рис. 20, вероятность безот-

казной работы системы равна Pмc(t)= Pc(t) . PСПР(t),

где Рс(t) – вероятность безотказной работы элементов 1-3, вычисляемая по формулам (31) - (34); РСПР(t) – вероятность безотказной работы схемы принятия решения.

42

Пример 12. Информационная система содержит контроллер, дублированный датчик измерения расхода и канал измерения температуры с мажоритарным резервированием«два из трех». Определить среднее время наработки системы до отказа, если обработку выходов всех датчиков выполняет контроллер,

интенсивность отказа которогоl1=5.10-5 1/ч, основного датчика расхода с преобразователем l2 =10-5 1/ч, резервного датчика расхода с преобразователем l3 =3.10-5 1/ч, каждого датчика темпера-

туры с преобразователем - l4 =4.10-5 1/ч.

Поскольку роль схемы принятия решения выполняет контроллер, на который возложены также и другие функции, то структурную схему системы можно изобразить либо в виде рис. 21 с формально представленной схемой принятия решения , СПР имеющей единичную вероятность безотказной работы, либо в виде рис. 22.

Рис. 21. Структура резервированной системы с мажоритарным резервом и схемой принятия решения

Рис. 22. Структура резервированной системы со скользящим резервом

Для расчета вероятности безотказной работы системы разделим ее условно на три части: контроллер, датчик расхода с резервом и мажоритарно-резервированный канал измерения темпе-

43

ратуры. Зададим значения интенсивностей в программе Mathcad

Задача 7. Система без восстановления состоит из трех одинаковых основных блоков с интенсивностью отказовl1 1/ч и двух резервных с интенсивностью отказовl2 1/ч (табл. 7), заменяющих любой блок. Найти вероятность отказа системы в течение t часов работы и среднее время наработки системы до отказа.

44

Окончание табл 7

3.6. Расчет надежности систем с перекрестными связями

Если структурную схему для расчета надежности(рис. 23) не удается свести к последовательно-параллельной, то определение вероятности безотказной работы такой системы можно проводить одним из следующих методов.

Рис. 23. Структура с перекрестными связями

Метод перебора работоспособных состояний

В соответствии с этим методом вероятность безотказной работы системы равна сумме вероятностей всех несовместимых состояний, обеспечивающих работоспособность системы:

Pc(t)=P1(t)P2(t)P3(t)P4(t)P5(t)+Q1(t)P2(t)P3(t)P4(t)P5(t)+ +P1(t)Q2(t)P3(t)P4(t)P5(t)+…+P1(t)P2(t)P3(t)P4(t)Q5(t)+ +Q1(t)P2(t)Q3(t)P4(t)P5(t)+Q1(t)P2(t)P3(t)Q4(t)P5(t)+ +Q1(t)P2(t)P3(t)P4(t)Q5(t)+P1(t)Q2(t)Q3(t)P4(t)P5(t)+ +P1(t)Q2(t)P3(t)Q4(t)P5(t)+P1(t)Q2(t)P3(t)P4(t)Q5(t)+ +P1(t)P2(t)Q3(t)P4(t)Q5(t)+Q1(t)P2(t)Q3(t)P4(t)Q5(t)+ +P1(t)Q2(t)P3(t)Q4(t)Q5(t).

45

Для одинаковых вероятностей отказа всех элементов, т. е. p(t)=P1(t)=P2(t)=P3(t)=P4(t)=P5(t) и q(t)=1-p(t),

Pc(t)=p5(t)+5p4(t)q(t)+8p3(t)q2(t)+2p2(t)q3(t).

Разложение относительно особого элемента

В схеме выделяются элементы или элемент, все возможные состояния Hi которых совместно с оставшейся частью образуют

n

полную группу состояний åP{H i } = 1 , и замена которых свя-

i=1

зью или удаление их из системы преобразуют систему к последо- вательно-параллельной. Для схемы, представленной на рис. 23, таким элементом может быть пятый элемент с двумя состояниями: рабочим (состояние А) и нерабочим (состояние Б). Этим состояниям соответствуют схемы рис. 24 и 25 .

Рис. 24. Пятый элемент в рабочем состоянии

Рис.25. Система при отказе пятого элемента

Вероятность сохранения работоспособности первой структуры (рис. 24) с рабочим пятым элементом

РА(t)=P5(t)[1–Q12(t)][1–Q34(t)] =

=P5(t)[1– (1–P1(t))(1–P2(t))][1– (1–P3(t))(1–P4(t))]=

46

= P5(t)[P1(t)+P2(t) – P1(t).P2(t)][P3(t)+P4(t) – P3(t).P4(t)].

Вероятность сохранения работоспособности второй структуры (рис. 25) с нерабочим пятым элементом

РБ(t)=Q5(t)[1–Q13(t)Q24(t)] =

=[1–P5(t)][1– (1–P1(t)P3(t))][1– (1–P2(t)P4(t))]= =[1–P5(t)][ P1(t)P3(t)+ P2(t)P4(t) – P1(t)P3(t) P2(t)P4(t))].

Вероятность безотказной работы системы

Pc(t)=PА(t)+PБ(t).

Логико-вероятностный метод расчета

Данный метод заключается в словесном описании условия сохранения работоспособности системы в виде объединяемых логическими операциями высказываний о состоянии элементов системы, переходе к логическим выражениям и их упрощении, переходе к вероятностям состояний. Метод широко применяется при программном расчете надежности сложных систем. Для его осмысления необходимо знать основы алгебры логики, поэтому приведем их краткое изложение.

Алгебра логики – наука о решении логических задач алгебраическими методами [9], [10]. Условия таких задач допускают формулировку в виде составных высказываний, построенных из простых высказываний с помощью логических терминов«и», «или», «не», «если ..., то», «тогда и только тогда» и т. д. Раздел алгебры логики, в котором высказывания могут принимать только два смысла: «ложь» и «истина», или два значения: «0» и «1», называется булевой алгеброй по фамилии английского ученого Джона Буля.

В булевой алгебре определено отношение эквивалентности «=», одна унарная операция– отрицание, обозначаемое чертой над переменной ( x ), и две бинарных: конъюнкция (операция И), обозначаемая знаками Ù, ×, &, и дизъюнкция (операция ИЛИ), обозначаемая как Ú .

Алгебра логики определяется системой следующих аксиом: 1) 0 = 1; 1 = 0;

47

2)1Ú1 =1; 0 ×0 = 0;

3)0 Ú 0 = 0; 1×1 =1;

4) 0 Ú1 =1Ú 0 =1; 1×0 = 0 ×1 = 0.

Если в аксиомах2 – 4 произвести замену нуля на единицу а дизъюнкцию на конъюнкцию и наоборот, то получим из первых аксиом вторые. Это свойство называется принципом двойственности.

Законы алгебры логики. Эти законы используются, в частности, для упрощения логических функций. Они легко доказываются с помощью аксиом алгебры логики методом перебора значений логических переменных, множество которых состоит всего лишь из двух элементов: 0 и 1.

Законы:

- идемпотентные: x Ú x = x; x × x = x;

- коммутативные или переместительные: x Ú y = y Ú x; x × y = y × x;

- ассоциативные или сочетательные:

(x Ú y) Ú z = x Ú (y Ú z); (x × y) × z = x × (y × z);

- дистрибутивные или распределительные:

(x Ú y)z = (x × z) Ú (y × z); (x × y) Ú z = (x Ú z) × (y Ú z);

- двойственности (теоремы де Моргана):

x Ú y = x × y; x × y = x Ú y;

- двойного отрицания: (x) = x = x ;

- обобщенного склеивания:

x × y Ú x ×z Ú y × z = x × y Ú x × z; (x Ú y) ×(x Ú z) ×(y Ú z) = (x Ú y) ×(x Ú z); x Ú x × y = x Ú y; x × (x Ú y) = x × y .

Приведенный набор элементарных операций И, ИЛИ, НЕ образует функционально полную систему булевых функций, через которые можно выразить все остальные.

48

Логическое выражение, составленное из булевых переменных, объединенных логическими операциями и принимающее значение 0 либо 1, называют логической функцией.

Формы логических функций

1. Элементарной конъюнкцией [9] называется логическое произведение нескольких переменных и их отрицаний, причем, каждая переменна в произведении присутствует только один раз. Количество переменных называют рангом элементарной конъюнкции. Примеры: х 4 × х3 × х 2 × х1 , a × b × c .

2. Элементарной дизъюнкцией называется логическая сумма нескольких переменных и их отрицаний. Количество переменных называют рангом элементарной дизъюнкции. Примеры:

х 4 Ú х3 Ú х 2 Ú х1 , a Ú b Ú c .

3. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называют дизъюнкцию элементарных конъюнкций. Пример:

х3× х2 × х1Ú х3× х1.

Алгоритм получения вероятности безотказной работы

1. Словесное описание условия сохранения работоспособ-

ности системы. Для схемы, представленной на рис. 23 это описание формулируется следующим образом: система будет работоспособна, если будут работоспособны первый и третий элементы, или работоспособны второй и четвертый элементы, или работо-

49

способны первый и пятый и четвертый элементы, или работоспособны второй и пятый и третий элементы.

2. Запись логической функции сохранения работоспособно-

сти системы путем замены высказываний о работоспособности на буквенные обозначения и использования символьных обозначений логических операций И, ИЛИ:

вторной минимальной логической функции. Так, в правой части (36) все переменные при А5=1 повторяются, и это необходимо исключить. Для этого умножим логически первые два слагаемых на дизъюнкцию (А5 Ú А5), равную в соответствии с законами алгебры логики единице, и перепишем выражение (36) в следующем виде:

Ас = (А1 × А3 Ú А2 × А4)× (А5 Ú А5)Ú (А1 × А4 Ú А2 × А3)× А5 . Раскроем вторую скобку и перегруппируем функцию:

Ас = (А1× А3 Ú А2 × А4)× А5 Ú (А1× А3 Ú А2 × А4)× А5 Ú

Ú (А1× А4 Ú А2 × А3)× А5 = = (А1×А3ÚА2×А4Ú А1×А4 Ú А2×А3)×А5Ú (А1×А3Ú А2×А4)×А5 .

Исключаем повторение высказываний в первой скобке

А1×А3ÚА2×А4 ÚА1×А4 ÚА2 ×А3 = А1×(А3ÚА4)ÚА2 ×(А3ÚА4) =

=(А1ÚА2)× (А3ÚА4) .

Сучетом последнего равенства логическая функция Ас может быть записана как

Ас = (А1 Ú А2)× (А3 Ú А4)× А5 Ú (А1 × А3 Ú А2 × А4)× А5 . (37) 4. Переход от логической функциидля высказываний о ра-

ботоспособности к алгебраической функции для вероятностей работоспособных состояний. При переходе используем следующие соотношения [20]:

А i ® P(А i ) = Pi (t); Ai ®1 - P(Ai ) =1 - Pi (t) = Qi (t) ;

50