Горная теплофизика. Основы технической термодинамики. Ч.1. Учебное пособие

гдеk, k(Т1…Т2) – истинный и средний показатели адиабаты.

Показатель адиабаты входит в уравнение адиабатного ТП. Он необходим для расчетов параметров как самих этих процессов, так и конструктивных параметров технических устройств, их реализующих.

Согласно классической молекулярно-кинетической теории газов значение k определяется числом степеней свободы молекулы газа:

Из этого выражения следует, что для идеальных газов всегда k > 1 и чем сложнее молекула, которая обладает большими степенями свободы, тем меньше величина k. При этом k не зависит ни от Р, ни от Т.

Учитывая (3.5.2), получаем, что одноатомные газы (δ = 3) должны иметь k ≈ 1,67, двухатомные (δ = 5) – k ≈ 1,40, а трех- и многоатомные (δ = 6…7) – k ≈ 1,33…1,29. Учитывая, что k уменьшается при усложнении молекулы газа, логично предположить, что k ≈ 1,33 будут иметь трехатомные газы, k ≈ 1,31 – четырехатомные и k ≈ 1,29 – пятиатомные и более.

Однако все изобарные и изохорные теплоемкости идеальных газов являются функцией Т. Поэтому независимость k от Т может быть только в том случае, когда изобарные и изохорные теплоемкости зависят от Т по единому закону. Однако на самом

131

Можно получить и другие взаимосвязи между соответствующими теплоемкостями и показателем адиабаты. Покажем это на следующем примере:

Соответственно величина k(Т1…Т2) аналогично связана с соответствующими средними теплоемкостями, например

Из (3.5.3) следует, что функциональная зависимость k от Т определяется только видом зависимости СVµ(Т) или СVуд(Т). Следовательно, k даже у идеального газа будет зависеть от Т. Как известно, теплоемкость газов с ростом Т увеличивается, поэтому k будет уменьшаться. Однако при практических расчетах влиянием Т на величину k у газов, особенно одноатомных, можно пренебречь, так как у них влияние Т на их теплоемкость, в принципе, довольно слабое.

Из (3.5.3) вытекает:

132

В ряде случаев опытное определение значений k или k(Т1…Т2) газов осуществляется значительно проще, чем экспериментальное определение теплоемкостей. Поэтому в этих случаях экспериментально определяются значения k или k(Т1…Т2), а значения соответствующих теплоемкостей рассчитываются.

При наличии зависимостей СVµ(Т) газов расчет значений их k затруднений не вызывает. Использование зависимости СVµ(Т) в виде степенных полиномов несколько усложняет только расчет усредненного в диапазоне температур от начальной Т1 до конечной Т2 значения показателя адиабаты k(Т1…Т2):

В этом случае k(Т) представляет собой дробную рациональную функцию. В общем случае будет иметь место табличный интеграл, приведенный в справочниках по высшей математике. Однако в этом случае значительно проще определить значениеk(Т1…Т2) по формуле (3.5.4), предварительно определив любым из известных способов средние в диапазоне температур Т1…Т2 значения изохорной (изобарной) молярной (удельной) теплоемкости.

Однако выполненный в [13] анализ приведенных в технической литературе экспериментальных данных по значениям k газов в поле температур показал, что у всех наиболее важных в техническом отношении газов зависимость k(Т) в диапазоне Т = 273,15…1500 К довольно хорошо описывается полиномом первой степени:

гдеАk, Bk – эмпирические коэффициенты, приведенные в табл.  3.5.1; [Т] = К.

133

При использовании (3.5.7) определение k(Т1…Т2) становится элементарным.

Выполненный анализ также показал, что скорость уменьшения k у двухатомных газов при увеличении Т происходит в 1,5…2,0 раза медленнее, чем у трех- и многоатомных газов.

Таблица  3.5.1

Коэффициенты полинома (3.5.7) для расчетов значений k

ряда наиболее важных технических газов в диапазоне температур Т = 273,15…1500 К

(максимальная относительная погрешность ε ≤ 1,75 %)

Согласно рекомендациям проф. Б.М. Ошуркова, когда не нужна большая точность в практических расчетах k, для каждой атомной группы газов можно пользоваться обобщенными зависимостями k(Т) вида

гдеk(Т0) – показатель адиабаты группы газов соответствующей атомной группы (двух-, трех-, четырех- и многоатомные) при Т = Т0 = 273,15 К; АТ – обобщенный эмпирический температурный коэффициент; [Т] = К.

Согласно данным проф. Б.М. Ошуркова, для двухатомных газов можно принять АТ ≈ 5 10–5. Учитывая, что темп снижения k при увеличении Т у двухатомных газов примерно в 1,75 раза меньше, чем у трех- и многоатомных газов, определим значение

134

АТ у последних как АТ ≈ 5 10–5 1,75 ≈ 8,75 10–5. Для одноатомных газов, как отмечалось выше, можно принять АТ ≈ 0.

Показатели адиабаты газовых смесей k и k(Т1…Т2) при разных Т можно рассчитать, зная температурные зависимости соответствующих теплоемкостей в необходимом диапазоне температур либо самих газовых смесей, либо их компонентов. В последнем случае расчетные формулы, считающиеся при относительно небольших давлениях, Р ≤ 2 МПа, точными, записываются в виде:

где CVµi(T1…T2) – средняя в диапазоне температур Т1…Т2 изохорная молярная теплоемкость i-го газового компонента.

В [26] для расчета kсм рекомендована следующая приближенная формула:

kсм =∑j vд.iki, (3.5.10)

1

гдеki – показатель адиабаты i-го газового компонента.

Эта формула широко используется для расчетов kсм газовых смесей для измерения их объемных расходов при использовании сужающих устройств (диафрагм, сопел).

В [13] был выполнен анализ точности (3.5.10). Было установлено, что она дает вполне приемлемые для практических расчетов результаты (относительная погрешность ε ≤ 5,5 %) во всем исследованном температурном диапазоне, Т = 273,15…1500 К, даже при использовании для расчетов k полиномов первой степени (3.5.7).

135

Контрольные вопросы

1.  Дайте определение теплоемкости вещества (термодинамической системы) С. Каковы единицы ее измерения?

2.  Почему С вещества не только отражает его свойства, но и зависит от характера термодинамического процесса? Для каких веществ это проявляется в наиболее полной степени?

3.  Почему у газов и паров жидкостей величина С может принимать значения от –∞ до +∞, а у жидких и твердых веществ может быть только положительной? Подтвердите это на примерах.

4.  Раскройте понятия изобарной СР, изохорной СV и политропной СП теплоемкостей вещества. Как определяются СР и СV? Какова взаимосвязь между ними у идеальных газов и реальных веществ? У каких веществ эту взаимосвязь необходимо учитывать в практических расчетах и почему?

5.  Раскройте понятия истинной и средней теплоемкостей. Что они характеризуют, как определяются и связаны между собой?

6.  Какие показатели теплоемкости применяются в практических расчетах? Что характеризует каждый из этих показателей? Как они связаны между собой?

7.  Докажите, что у идеальных газов разности между их истинными и средними удельными, молярными и объемными теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме являются постоянными величинами. Чему они равны?

8.  Как определяются показатели теплоемкости у многокомпонентных веществ? Докажите правильность этих взаимосвязей.

9.  Как определяется количество тепла, поступающее (уходящее) в вещество (термодинамическую систему) в ходе соответствующего термодинамического процесса, если известны: а)  температурные зависимости истинных теплоемкостей этого вещества; б)  температурные зависимости средних теплоемкостей этого вещества?

10.  Почему у газов и паров жидкостей температурные зависимости средней удельной (объемной, молярной) теплоемкостиCPуд(T0…T) довольно часто определяются при фиксированной начальной температуре, равной Т1 = Т0 = 273,15 К? Как в этом случае определить среднее значение соответствующего показате-

136

ля теплоемкости в диапазоне температур Т0…Т2 , где Т2 – конечная температура рассматриваемого температурного диапазона?

11.  Как при наличии температурной зависимости CPоб(T0…T) газа можно определить значение его средней изобарной объемной теплоемкости в диапазоне температур Т1…Т2, т.е. CPоб(T1…T2), где Т1 > Т0, а Т2 меньше максимальной температуры, для которой была получена зависимость CPоб(T0…T).

12.  Каким образом определяется в молекулярно-кинетиче- ской теории газов их теплоемкость? Какая гипотеза положена в основу метода ее определения? В каких случаях получаемые результаты приемлемы для практического использования?

13.  Содержание какого компонента в газовых смесях наиболее сильно влияет на их теплоемкость, и поэтому обязательно учитывается при ее определении?

14.  Используя данные табл.  3.2.1, определите количество тепла Q, необходимое для нагрева 1 кг метана СН4 от начальной температуры t1 = 20 °С до конечной t2 = 220 °С.

15.  Используя данные табл.  3.2.2, определите количество тепла Q, необходимое для нагрева 1 кг кислорода О2 от начальной температуры t1 = 50 °С до конечной t2 = 250 °С.

16.  Объясните, почему на теплоемкость влажного атмосферного воздуха влияет парциальное давление паров воды в нем? Как это учтено в формуле (3.2.4)?

17.  Как для практических расчетов в технической литературе рекомендуется определять СРуд жидких двухкомпонентных растворов, если массовая доля воды в них превышает 80 %?

18.  Оцените погрешность определения СРуд воды по уравнению Неймана – Коппа.

19.  Чем в основном определяется теплоемкость твердых веществ при нормальных физических условиях?

20.  Что характеризует закон Дюлонга – Пти? Можно ли его использовать для расчетов теплоемкости твердых веществ, если да, то при каких условиях?

21.  Можно ли у твердого вещества оценить теплоемкость, если известны только его химическая формула и температура плавления? Если да, то как можно это сделать и у каких твердых веществ?

22.  Докажите, что СРуд твердых веществ не зависит от их пористости, а СРоб уменьшается при увеличении пористости.

137

23.  Как определяется СРуд влажных твердых веществ, если известны СРоб сухих веществ, а также: а)  массовая влажность твердых веществ; б)  их массовое влагосодержание?

24.  Раскройте понятия аддитивной и эффективной теплоемкости мерзлых горных пород. Чем они различаются и почему?

25.  От каких факторов зависит значение аддитивной теплоемкости мерзлых горных пород и как оно определяется?

26.  Какие факторы влияют на величину теплоемкости углей? Как они учитываются в предложенных расчетных формулах? Объясните суть этих формул.

27.  Какая физическая величина названа показателем адиабаты k? Как он определяется, для чего необходим и какова его размерность? Чем отличается истинный показатель адиабаты от среднего?

28. От чего, согласно выводам классической молекулярнокинетической теории газов, зависит величина k? Каков порядок значения k в различных газах и парах жидкостей?

29.  Как, зная k или k(Т1…Т2), можно определить истинные и средние изобарные и изохорные теплоемкости?

30.  Используя данные таблицы (3.5.1), определите показатель адиабаты водяного пара, усредненный в диапазоне темпера-

тур от t1 = 150 °С до t2 = 550 °С.

31.  Как расчетным методом можно определить показатели адиабаты газовых смесей?

32.  Как, зная приблизительный состав газовой смеси, можно оценить значение ее показателя адиабаты?

138

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.  Сборник задач по технической термодинамике и теплопередаче / Е.В. Дрыжаков, С.И. Исаев, Н.К. Корнейчук и др.; под ред. Б.Н. Юдаева. – М.: Высш. шк., 1968. – 373 с.

2.  Деньгуб В.М., Смирнов В.Г. Единицы величин: Словарьсправочник. – М.: Изд-во стандартов, 1990. – 240 с.

3.  Дубовкин Н.Ф. Справочник по теплофизическим свойствам углеводородных топлив и продуктов их сгорания. – М.-Л.: Гос­ энергоиздат, 1962. – 288 с.

4.  Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1969. – 560 с.

5.  Техническая термодинамика: Учебник для втузов / Е.В. Дрыжаков, Н.П. Козлов, Н.К. Корнейчук и др.; под ред. В.И. Крутова. – М.: Высш. шк., 1971. – 472 с.

6.  Чертов А.Г. Физические величины (терминология, определения, обозначения, размерности, единицы): Справ. пособие. – М.: Высш. шк., 1990. – 335 с.

7.  Корнеева Т.В. Толковый словарь по метрологии, измерительной технике и управлению качеством. Основные термины: около 7000 терминов / Под ред. Ю.С. Вениаминова, М.Ф. Юдина. – М.: Рус. яз., 1990. – 464 с.

8.  Рипс С.М. Основы термодинамики и теплотехники. М.: Высш. шк., 1967. – 347 с.

9.  Теплотехнический справочник / Под ред. В.Н. Юренева, П.Д. Лебедева. – 2-е изд. перераб. – М.: Энергия, 1975. – Т. 1. – 744 с. 1976. – Т. 2. – 896 с.

10.  Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский и др.; под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мелихова. – М.: Энергоиздат, 1991. – 1232 с.

11.  Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент: Справочник / Под ред. В.А. Григорьева, В.М. Зорина. – М.: Энергоиздат, 1988. – 560 с.

12.  Равич Б.М. Эффективность использования топлива. – М.: Наука, 1977. – 344 с.

13.  Янченко Г.А. Теплофизические свойства продуктов сгорания и газификации угля в подземных условиях. Ч. 1. Те-

139

плоемкость и показатель адиабаты: Учеб. пособие. – М.: МГИ, 1992. – 43 с.

14.  Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии: Учеб. пособие для вузов / Под ред. чл.-корр. АН СССР П.Г. Романова. – 10-е изд., перераб. и доп. – Л.: Химия, 1987. – 576 с.

15.  Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – 2-е изд., испр. – М.: Наука, 1964. – 848 с.

16.  Морачевский А.Г., Сладков И.Б. Термодинамические расчеты в металлургии: Справочник. – М.: Металлургия, 1985. – 136 с.

17.  Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. – М.: Мир, 1966. – 567 с.

18.  Кобранова В.Н. Петрофизика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Недра, 1986. – 392 с.

19.  Физические свойства горных пород при высоких температурах / А.П. Дмитриев, Л.С. Кузяев, Ю.И. Протасов и др. – М.: Недра, 1969. – 160 с.

20.  Ржевский В.В., Новик Г.Я. Основы физики горных пород: Учебник для вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Недра, 1984. – 959 с.

21.  Мазуров Г.П. Физико-механические свойства мерзлых грунтов. – Л.: Стройиздат, 1975. – 215 с.

22.  Справочник по строительству на вечномерзлых грунтах / Под ред. Ю.А. Велли, В.И. Докучаева, Н.Ф. Федорова. – Л.: Стройиздат, 1977. – 552 с.

23.  Иванов Н.С., Гаврильев Р.И. Теплофизические свойства мерзлых пород: Справ. пособие. – М.: Наука, 1965. – 73 с.

24.  Агроскин А.А. Физические свойства углей. – М.: Металлургия, 1961. – 308 с.

25.  Основы практической теории горения: Учеб. пособие для вузов / В.В. Померанцев, К.М. Арефьев, Д.Б. Ахметов и др.; под ред. В.В. Померанцева. – 2-е изд., перераб. и доп. – Л.: Энергоатомиздат, 1986. – 312 с.

26.  Янченко Г.А. Теплофизические свойства продуктов сгорания и газификации угля в подземных условиях. Ч. 1. Теплоемкость и показатель адиабаты: Учеб. пособие. – М.: МГИ, 1962. – 43 с.

140