Горная теплофизика. Основы технической термодинамики. Ч.1. Учебное пособие

стоянно или временно находящихся при отрицательных температурах.

Вобласти отрицательных Т влажные горные породы приобретают новые теплофизические свойства, обусловленные динамикой фазового состава находящейся в ней воды.

Втехнической литературе рассматриваются две изобарные теплоемкости мерзлых горных пород – это изобарные удельные (объемные, молярные) аддитивная и эффективная теплоемкости

[21, 22, 23]. В аддитивной теплоемкости не учитывается теплота фазовых превращений воды – замерзания или оттаивания. Ее значение определяется только теплоемкостью компонентов мерзлой горной породы (минерального скелета, льда и незамерзшей воды)

ирассчитывается по одной из формул (3.1.14)…(3.1.15).

Таким образом, истинная аддитивная изобарная удельная теплоемкость CPаудд мерзлых горных пород может быть определена следующим образом:

3

СРа.дуд = ∑СРуд.imд.i =СРм.скуд mд.м.ск +CРн.вудmд.н.в +CРлудmд.л = 1

=СРм.скуд (1−WΣм )+CРвудWм.н.в +CРлуд (WΣм −Wм.н.в )=

гдеCмP.удск – истинная изобарная удельная теплоемкость минерального скелета, кДж/(кг К); CPнуд.в , CPлуд – истинные изобарные удельные теплоемкости незамерзшей воды и льда, кДж/

(кг К); mд.м.ск, mд.н.в, mд.л – массовые доли в мерзлой породе минерального скелета, незамерзшей воды и льда, доли ед.;

WΣм – суммарная массовая влажность мерзлой горной породы, обусловленная незамерзшей водой и льдом, доли. ед.; IΣм.л – суммарная массовая льдистость породы, доли ед.; Wм.н.в – массовая влажность мерзлой породы, обусловленная незамерзшей водой, доли ед.

СоответственноCPаудд вобщемслучаеявляетсяфункциейТмерз-

лой породы. Поэтому значения WΣм, Wм.н.в и IΣм.л должны быть определены при рассматриваемой температуре. Расчет средней

величиныCPаудд вдиапазонетемпературотТ1 доТ2,т.е. CPаудд (T1…T2), осуществляется по формуле (3.1.7). Для этого в идеале необходи-

121

мо знать вид функций CмP.удск(T), CPн.удв (T), CPлуд(T), WΣм(T), Wм.н.в(T), IΣм.л(T). Однако на практике свойства мерзлых горных пород

обычно рассматриваются в довольно узком температурном диапазоне, где-то от Т1 ≈ 273 К до Т2 ≈ 230 К. В таком узком температурном диапазоне CмP.удск, CPн.удв и CPлуд можно считать не зависящими от Т. Кроме того, согласно [21] CмP.удск у мерзлых горных пород находится в довольно узком интервале от 0,71 до 0,92 кДж/(кг К). Так, мерзлый кварцевый песок имеет CмP.удск = 0,71 кДж/(кг К), мерзлый покровный суглинок – 0,80 кДж/(кг К), мерзлая бентонитовая глина – 0,92 кДж/(кг К), мерзлые тяжелые пылеватые суглинки и глины – 0,92 кДж/(кг К). В связи с этим для практических расчетов рекомендовано [21, 22, 23] принимать CмP.удск ≈ ≈ 0,84 кДж/(кг К), которую по большому счету надо считать средней изобарной удельной теплоемкостью в диапазоне температур 273…230 К. Поэтому для влажных и мерзлых рыхлых и связных пород определения теплоемкости «истинная» и «средняя» применительно к техническим расчетам будут в основном опущены.

Однако при специальных исследованиях, например при определении фазового состава влаги в мерзлых горных породах, необходимо знать точное значение CмP.удск и характер его изменения

вполе температур.

Ульда CPлуд уменьшается с понижением Т от 2,120 кДж/(кг К) при Т = 273,15 К до 1,89 кДж/(кг К) при Т = 243,15 К. В практиче-

скихрасчетахрекомендовано[21]приниматьCPлуд=2,10кДж/(кг К). Более точно при калориметрических исследованиях мерзлых гор-

ных пород в пределах указанного диапазона температур рекомендовано [21] CPлуд рассчитывать по формуле

О CPнуд.в воды, не замерзающей в породах при отрицательных температурах, в технической литературе довольно мало сведений. По некоторым данным, прочносвязанная вода имеет CPнуд.в =

= 2,93 кДж/(кг К), но, как известно, этой воды весьма мало даже

вглинах. Что же касается слабосвязанной воды, количество которой в мерзлых связных породах может достигать значения

122

Wм = 30…40 %, то она имеет CPнуд.в ≈ 4,1868 кДж/(кг К). Это значение CPнуд.в и рекомендовано принимать при теплотехнических расчетах в мерзлых горных породах. С учетом этих рекомендаций

формулы (3.4.12) и (3.4.13) для расчетов СРуд.в.вещ и CPаудд соответственно талых, т.е. влажных, и мерзлых горных пород приобре-

тают более простой вид:

СРуд.в.вещ ≈0,84(1−Wм )+4,1868Wм ≈0,84 +3,35Wм ≈

В (3.4.15) принято, что истинная изобарная удельная теплоемкость породы в талом состоянии равна средней изобарной удельной теплоемкости этой же породы в диапазоне температур от Т1 = 273,15 К до Т2 = 373,15 К, т.е. в диапазоне температур, в котором вода находится в жидкой фазе.

Определение функции Wм.н.в(Т) = mд.н.в(Т) является довольно сложной задачей. Поэтому на практике часто определяют вели-

чины Wм.н.в = mд.н.в только при Т1 и Т2 и, принимая на интервале Т1…Т2 зависимости Wм.н.в(Т) = mд.н.в(Т) в виде линейной функции, определяют средние величины Wм.н.в(Т1…Т2) = mд.н.в(Т1…Т2) на этом интервале температур:

Wм.н.в (T1...T2 )≈0,5 Wм.н.в (T1 )+Wм.н.в (T2 ) ≈

≈mд.н.в (T1...T2 )≈0,5 mд.н.в (T1 )+mд.н.в (T2 ) .

Вэтом случае приближенная формула для расчетов значенийCPаудд (Т1…Т2) приобретает вид

СРадуд (T1...T2 )≈0,84 +1,26WΣм +

Соответственно чем меньше значение температурного интервала Т1…Т2, тем точнее определяется CPаудд (Т1…Т2) по формуле (3.4.17). В рыхлых мерзлых горных породах, минеральный скелет которых представлен кварцевым песком, галечником, гра-

123

вием и т.п., уже при Т ≤ 272,65 К практически нет незамерзшей воды, т.е. Wм.н.в ≈ 0. В этом случае

Соответственно в (3.4.18) истинную адиабатную изобарную удельную теплоемкость мерзлой породы принято считать равной усредненной в диапазоне температур 273…240 К адиабатной изобарной удельной теплоемкости этой породы.

Эффективная теплоемкость мерзлых горных пород определяется только для области температур интенсивных фазовых превращений воды, т.е. для тех температур, при которых имеет место плавление льда (замерзание воды). Эффективная изобарная удельная теплоемкость мерзлой горной породы определяется как [23]

гдеrл – скрытая удельная теплота плавления льда, rл ≈ 334 кДж/

кг; dmд.н.в (T) – бесконечно малое изменение массовой доли dT

незамерзшей воды в мерзлой породе mд.н.в при бесконечно

малом изменении Т, т.е. производная от функции dmд.н.в(T) по Т, физический смысл этой производной – изменение мас-

совой доли незамерзшей воды в мерзлой породе при изменении ее температуры на 1 К (1 °С).

Соответственно CPэфуд > CPаудд , и в области температур значительных фазовых превращений воды CPэфуд и CPадуд могут различаться более чем на порядок [21].

Расчет средней величины CPэфуд в диапазоне температур от Т1 до Т2, т.е. CPэфуд(Т1…Т2), также осуществляется по формуле (3.1.7).

При этом на практике также довольно часто mд.н.в(T) в рассматриваемом диапазоне температур Т1…Т2 принимается в виде линей-

ной функции. В этом случае приближенная формула для расчетовCPэфуд(Т1…Т2) приобретает вид

124

Ниже для лучшего усвоения методов расчета теплоемкостей мерзлых пород рассмотрим пример расчета теплоемкостей мерзлого суглинка.

Пример

Определить истинные аддитивные при Т1 = 272,15 К и средние в диапазоне температур от Т1 = 272,15 К до Т2 = 270,15 К аддитивные, соответственно CPаудд (272,15) и CPаудд (272,15…270,15), и эффективные, соответственно CPэфуд(272,15) и CPэфуд(272,15…270,15), изобарные удельные теплоемкости мерзлого суглинка, имеющего при Т1 = 272,15 К суммарную массовую влажность WΣм = 30 % = = 0,30 и массовые влажности, обусловленные незамерзшей водой

при Т1 = 272,15 К Wм.н.в(272,15) = 15 % = 0,15 и при Т2 = 270,15 К, Wм.н.в(272,15) = 9 % = 0,09.

Решение

Истинную при Т1 = 272,15 К аддитивную изобарную удельную теплоемкость CPаудд (272,15) мерзлого суглинка наиболее просто можно определить по формуле (3.4.16):

СРадуд (272,15)≈0,84 +1,26WΣм +2,09Wм.н.в ≈ ≈0,84 +1,26 0,3+2,09 0,15 ≈1,53 кДж/(кг К).

В связи с тем, что вид функции Wм.н.в(Т) в условии задачи не задан, значения CPаудд (272,15…270,15), CPэфуд(272,15…270,15) и

CPэфуд(272,15) можно определить только приближенным методом. Значение CPаудд (272,15…270,15) определим по формуле (3.4.17):

СРадуд (T1...T2 )≈0,84 +1,26WΣм +

+1,045 Wм.н.в (T1 )+Wм.н.в (T2 ) ≈

≈0,84 +1,26 0,3+1,045(0,15+0,09)≈1,469 кДж/(кг К).

Значение CPэфуд(272,15…270,15) определим по формуле (3.4.20), при этом учтем, что mд.л = IΣл = WΣм – Wм.н.в и mд.м.ск = 1 – WΣм.

125

Тогда

0,5 mд.л (T1 )+mд.л (T2 ) =

=0,5 WΣм −Wм.н.в (T1 )+WΣм −Wм.н.в (T2 ) =

=0,5{2WΣм − Wм.н.в (T1 )+Wм.н.в (T2 ) }=

=WΣм −0,5 Wм.н.в (T1 )+Wм.н.в (T2 ) .

Учитывая это, получаем

Сравнение величин CPаудд (272,15…270,15) и CPэфуд(272,15…270,15) показывает, что в рассмотренном температурном интервале средняя эффективная теплоемкость мерзлого суглинка превышает среднюю аддитивную теплоемкость примерно в 8 раз.

Для определения CPэфуд(272,15) воспользуемся следующим опытным приемом. Рассмотрим два соседних температурных интервала, имеющих общую граничную температуру Т1 = 272,15 К. Первый – от Т = Т0 = 273,15 К, при которой суммарная массовая льдистость суглинка равна нулю IΣм.л = 0 (суглинок талый, т.е. влажный) и, следовательно, WΣм = Wм.н.в = Wм.вл Т1 = 272,15 К, и второй – от Т1 = 272,15 К до Т2 = 270,15 К. Относительно небольшие величины этих температурных интервалов позволяют

126

предположить в пределах каждого из них линейный вид зависи-

мости Wм.н.в(Т) = mд.н.в(Т). В этом случае производная dmд.н.в (T) dT

в пределах каждого температурного интервала будет равна тан-

генсу угла наклона прямой mд.н.в(Т) к оси абсцисс, т.е. к оси Т. Учитывая это, получаем:

как среднеарифметическую величину найденных выше произво-

+334 0,09 ≈31,59 кДж/(кг К).

Сравнение величин CPэфуд(272,15) и CPэфуд(272,15…270,15) показывает, что несмотря на очень маленький температурный интервал в 2 К = 2 °С, в котором была определена средняя эффективная изобарная удельная теплоемкость суглинка, ее значение оказалось в 2,7 раза меньше истинной эффективной изобарной удельной теплоемкости при начальной температуре рассмотренного температурного интервала. Таким образом, рассмотренный пример наглядно показал, что эффективная теплоемкость мерзлых горных пород очень сильно изменяется вблизи температур таяния льда, а соответственно и замерзания воды. Поэтому точ-

127

ное определение CPэфуд у мерзлых пород при температурах вблизи Т = 273,150 К требует большой точности экспериментов.

Фазовые термохимические превращения, происходящие в твердых веществах в процессе их нагрева (охлаждения), дополнительно влияют на теплоемкость этих веществ даже в случае отсутствия изменения их агрегатного состояния. Для ряда твердых веществ, довольно широко использующихся в науке и технике, например углей, влияние этих превращений на теплоемкость веществ изучено довольно хорошо. Полученные данные приведены в соответствующей справочной литературе, например в [10]. Довольно подробному изучению углей способствовало их чрезвычайно широкое использование в ТП, имеющих место в энергетике, металлургии, углехимии.

Угли, как известно, являются термически нестойкими твердыми веществами. При их нагреве без доступа воздуха, т.е. при пиролизе, происходит разложение их органической массы с образованием газо- и парообразных продуктов, получивших название летучих веществ, и твердого остатка, получившего название коксового остатка. Выход летучих веществ является одним из классификационных параметров каменных углей и антрацитов, поэтому обязательно определяется при техническом анализе углей (технический анализ углей – определение показателей, предусмотренных техническими требованиями на качество углей). Выход летучих веществ в техническом анализе углей определяется на их сухое беззольное состояние Vdaf.

Выполненные к настоящему времени исследования показали, что во всем исследованном температурном диапазоне теплоемкость углей возрастает с увеличением Vdaf. Влияние температуры на СРуд углей неоднозначно. На интервале t = 0…250 °С имеет место увеличение СРуд углей при возрастании t. При дальнейшем увеличении температуры СРуд углей начинает уменьшаться, приближаясь при t = 1000 °С к СРуд графита. В результате обработки экспериментальных данных ряда авторов в [24] для диапазона температур t = 20…250 °С получена обобщенная зависимость истинной удельной теплоемкости сухой массы углей:

128

где[СРуд] = кДж(кг К); [Vdaf] = % масс.; [t] = °С.

На основании теоремы о средней величине из (3.4.21) было получено выражение для расчетов средней удельной теплоемкости сухой массы углей в этом же диапазоне температур:

СРуд (20...t)≈0,85(1+0,008Vdaf )(1+1,56 10−3 t). (3.4.22)

Для диапазона t = 250…1000 °С в [24] рекомендовано среднюю СРуд углей, соответственно уже сухих, определять с помощью экспериментальных графических зависимостей. Обработка этих зависимостей с использованием теории планирования факторных экспериментов позволила получить для этого диапазона аналитическое выражение для расчетов СРуд сухих углей следу-

где СРуд(20…250) – средняя в диапазоне температур 20…250 °С изобарная удельная теплоемкость сухих углей, кДж(кг К); Vd – выход летучих веществ на сухое состояние углей, % масс.; [ СРуд(250…t)] = кДж(кг К).

Величина Vd связана с Vdaf следующим соотношением: Vd = = (1 – 0,01Аd)Vdaf, где Аd – зольность углей на их сухое состояние, величина определяется при техническом анализе углей, % масс.

Следует отметить, что в (3.4.21)…(3.4.23) в размерностях СРуд,СРуд(20…t) и СРуд(20…250) учтена исходная сухая масса углей.

Расчет СРуд влажных углей при t < 100 °С осуществляется соответственно по формулам (3.4.12).

Для приближенной оценки истинной СРуд сухой массы наиболее характерных топлив в диапазоне температур Т = 273,15…1500 К

гдеСРуд(Т0) – истинная изобарная удельная теплоемкость сухой массы топлива при Т = 273,15 К, кДж/(кг К); А – опытный коэффициент; [СРуд] = кДж(кг К); [Т] = К. Значения СРуд(Т0) и А приведены ниже в табл.  3.4.3.

129

Таблица  3.4.3

Значения СРуд(Т0) и опытного коэффициента А в уравнении (3.4.24) для наиболее характерных топлив

В (3.4.24) СРуд и СРуд(Т0) отнесены к текущей сухой массе топлив, которая из-за термического разложения топлив при высоких температурах уменьшается. Основную роль в постоянном повышении СРуд при увеличении Т в этом случае играет уменьшение сухой массы топлив вследствие термического разложения.

Как известно, в процессе сжигания твердых топлив остаются зола и шлаки, наличие которых необходимо учитывать при расчетах тепловых балансов. Обработка приведенных в [10] в табличной форме экспериментальных данных о значениях СРуд золы и шлаков среднего состава в диапазоне Т = 373,15…2273,15 К (при высоких Т величина СРуд уже учитывает теплоту превращения золы и шлаков из твердого состояния в жидкое) показала, что с довольно высокой точностью (корреляционное отношение r = 0,996) зависимость СРуд(Т) описывается полиномом второй степени вида

где[СРуд] = кДж(кг К); [Т] = К.

3.5.  Показатель адиабаты

В термодинамике и ее приложениях большое значение имеют не только разности между изобарными и изохорными теплоемкостями газов, но и отношение этих теплоемкостей k, получившего название показателя адиабаты или коэффициента Пуассона [1, 4, 5]:

130