Горная теплофизика. Основы технической термодинамики. Ч.1. Учебное пособие

Решение

Подставив в полином СPоб(T0…T) температуру Т = 1000 К, получаем СPоб(273,15…1000) = 1,2531 + 1,2092 10–4 1000 = = 1,3740 кДж/(нор. м3 К).

Величины Qx(T0…T2) соответственно определяются как

Если температурные зависимости средних теплоемкостей получены в шкале температур Цельсия, в которой t0 = 0 °С, то (3.1.18) приобретает вид

Температурные зависимости средних теплоемкостей, полученные для температурного диапазона T0…Tк, где Tк – конечная температура диапазона, для которого была определена температурная зависимость средней теплоемкости, позволяют при необходимости вычислять средние теплоемкости и в диапазоне T1…T2 при T1 > T0 и T2 < Tк. Покажем это на примере расчета средних удельных теплоемкостей. В шкале абсолютных термодинамических температур расчетная формула имеет следующий вид:

а в шкале температур Цельсия (3.1.20) принимает более простой вид:

Вывод формул (3.1.20) и (3.1.21) несложен. Уменьшаемое в числителе этих формул есть количество тепла, необходимое для нагрева 1 кг вещества от температуры T0 до температуры T2, т.е. Qx(T0…T2), а вычитаемое – от температуры T0 до температу-

101

ры T1, т.е. Qx(T0…T1). Разность Qx(T0…T2) – Qx(T0…T1) дает количество тепла, необходимое для нагрева 1 кг вещества от темпе-

ратуры T1 до температуры T2, т.е. Qx(T1…T2). Деление Qx(T1…T2) на T2 – T1 дает величину Сx(T1…T2).

Подставлять зависимости Сx(T0…T) и Сx(0…t) в формулу (3.1.7) вместо Сx(T) и Сx(t) для определения значений соответственно Сx(T1…T2) или Сx(t1…t2) недопустимо, так как в этом случае осуществляется двойное усреднение зависимостей Сx(T) и Сx(t), что приведет к появлению погрешностей в найденных зна-

чениях Сx(T1…T2) и Сx(t1…t2).

Если зависимости Сx(T0…T) и Сx(0…t) представлены в виде полиномов первой степени Сx(T0…T) = A + BT и Сx(0…t) = a + bt, то формулы (3.1.20) и (3.1.21) упрощаются:

=а +b(t2 +t1 ).

3.2.  Теплоемкость газов и их смесей

Для точных тепловых расчетов используются теплоемкости газов, определенные экспериментальным путем и приводимые в специальной справочной литературе, например [9, 10]. При отсутствии таких данных для приближенных расчетов можно воспользоваться результатами, полученными в классической моле- кулярно-кинетической теории газов для идеального газа:

гдеδ – число степеней свободы поступательного и вращательного движения молекул газа, т.е. число независимых координат,

102

которые нужно задать для того, чтобы полностью определить положение молекулы в пространстве. Для одноатомного газа δ = 3, двухатомного – δ = 5, трехатомного и более δ = 6…7 [4]. В основу (3.2.1) положена гипотеза о равномерном распределении энергии поступательного и вращательного движения молекул газа по степеням их свободы.

Согласно (3.2.1) истинные теплоемкости идеального газа не должны зависеть не только от Р, но и от Т. Однако экспериментальные данные показывают, что это не так. Если влияние Р на Сх газов начинает проявляться только при довольно больших Р, которые практически не применяются в горной промышленности, то довольно сильное влияние Т на Сх газов проявляется уже при таких величинах Т, которые используются в промышленности довольно широко. С увеличением Т теплоемкости газов возрастают, а при понижении Т – убывают. Как видно из данных, приведенных в прил.  1, СРµ газов при температурах, близких к температурам продуктов сгорания органических топлив (уголь, торф, природный газ и т.д.), увеличивается на 20…30 %.

Сравнение результатов расчетов теплоемкостей по формулам (3.2.1) с экспериментальными данными показывает, что при не слишком низких Т, не менее 100…200 К, и не слишком высоких температурах, где-то до Т ≈ 1000…1200 К, расчетные данные довольно хорошо согласуются с экспериментальными только для одноатомных газов. Для двухатомных газов (3.2.1) дают более или менее приемлемые результаты в области положительных температур только при Т ≤ 600 К, а для трех- и многоатомных газов (3.2.1) дают сильно заниженные данные уже при комнатных температурах. Обусловлено это тем, что при высоких Т у одно- и двухатомных газов появляются уже внутримолекулярные колебания атомов (возникают колебательные степени свободы, которые у трех- и многоатомных газов имеют место уже при комнатных температурах), и кроме того, наступает частичная термическая диссоциация газов, т.е. распад части их молекул на более простые вследствие повышения Т. Поэтому при высоких Т теплоемкость всех газов больше, чем это следует из (3.2.1).

Точные значения теплоемкостей индивидуальных газов при разных Т и Р получены в настоящее время на основании дан-

103

ных спектроскопического анализа с использованием математического аппарата квантовой статистики. Они приводятся в специальных таблицах в соответствующей справочной литературе. Для довольно большого количества газов эти данные обработаны, и получены соответствующие эмпирические зависимости.

Установлено, что при Р ≈ Р0 температурные зависимости истинных теплоемкостей довольно хорошо описываются полиномом второй степени вида

гдеАс, Вс, Сс – эмпирические коэффициенты; [T] = К; [t] = °С.

В табл.  3.2.1 приведены значения этих коэффициентов для полинома (3.2.2), описывающего температурные зависимости истинных изобарных молярных теплоемкостей наиболее важных технических газов в диапазоне температур Т = 273,15…1500 К [9].

Таблица  3.2.1

Коэффициенты полинома (3.2.2) для расчетов СРµ, Дж/(моль К),

ряда наиболее важных технических газов в диапазоне температур Т = 273,15…1500 К

(максимальная относительная погрешность ε ≤ 2 %)

104

Температурные зависимости средних теплоемкостей этих газов очень хорошо описываются уже полиномом первой степени:

гдеАс, Вс – эмпирические коэффициенты; [T] = К; [t] = °С.

В табл.  3.2.2 приведены значения этих коэффициентов для полинома (3.2.3), описывающего температурные зависимости средних изобарных объемных теплоемкостей наиболее важных технических газов в диапазоне температур Т0 = 273,15…2000 К.

Таблица  3.2.2

Коэффициенты полинома (3.2.3) для расчетов Cxоб(T0...T), кДж/(нор. м3 К), ряда важных технических газов

в диапазоне температур Т = 273,15…2000 К (максимальная относительная погрешность ε ≤ 0,5 %)

Для приближенных расчетов при не очень высоких температурах в технической литературе, например [4], рекомендовано использование следующих постоянных изобарных молярных тепло­ емкостей газов, полученных с определенной корректировкой на основании спектроскопических данных: для одноатомных газов это

105

СРµ ≈20,8 Дж/(моль К), для двухатомных – СРµ ≈29,1 Дж/(моль К), а для трех- и многоатомных – СРµ ≈ 37,4 Дж/(моль К).

Теплоемкости газовых смесей в поле температур при Р ≈ Р0 обычно определяют по формулам (3.1.14)…(3.1.16) с использованием температурных зависимостей соответствующих теплоемкостей газовых компонентов, образующих эти смеси.

Так,например,учитывая,чтообъемнаядоляпаровводыватмо­

найдем температурную зависимость средней изобарной объемной теплоемкости влажного атмосферного воздуха в диапазоне Т ≈ 273…373 К. При этом рассмотрим влажный воздух как двухкомпонентную газовую смесь – сухой воздух и пары воды:

где[ СPоб(T0…T)] = кДж/(нор. м3 К); [T] = К; [ϕв] = доли ед.

Как указывалось выше, в обычных теплотехнических расчетах рассматривается атмосферный воздух с нормативным влагосодержанием. Если в ходе ТП температура такого воздуха не выходит за пределы температурного интервала 273,15…373,15, то в расчетах можно принимать для него СPуд(273,15…373,15 К) =

= СPуд(0…100 °С) = 1,01 кДж/(кг К).

Среди газовых смесей, нашедших широкое применение в горном деле, следует выделить продукты сгорания и газификации органических топлив (уголь, торф, горючие сланцы, нефть и продукты нефтепереработки, горючие газы) в воздухе. Их получают как в наземных условиях, в топочных агрегатах и газогенераторах, так и в подземных условиях, где газификации подвергаются в основном угольные пласты в местах их непосредственного залегания.

106

Для ориентировочных расчетов параметров процессов полного сгорания углеводородных топлив можно пользоваться приведенными в табл.  3.2.3 значениями объемных теплоемкостей продуктов их полного сгорания в теоретически необходимом количестве воздуха, усредненными в диапазоне температур от 0 до 2100 °С [12]. Величина погрешности в расчетах будет зависеть от того, насколько составы реальных продуктов сгорания отличаются от тех, для которых получены приведенные в табл.  3.2.3 данные.

Таблица  3.2.3

Значения усредненной в диапазоне температур от 0 до 2100 °С

объемной теплоемкости продуктов полного сгорания в теоретически необходимом количестве воздуха различных

видов топлива

Для более точных расчетов при высоких температурах можно воспользоваться температурными зависимостями средней изохорной молярной теплоемкости газовых компонентов продуктов взрыва взрывчатых веществ (ВВ), предложенными в [13] для расчетов их температур, которые для большинства промышленных ВВ находятся в диапазоне 2000…4500 °С:

CVµ (0...t)=ac +bct или CVµ (T0...T)=ac +bc (T −273,15), (3.2.5)

где ac, bc – эмпирические коэффициенты, значения которых приведены в табл.  3.2.4; [t] = °С; [Т] = К; [ СVµ(0…t)] = Дж/ (моль град); [ СVµ(T0…T)] = Дж/(моль К).

107

Соответственноиспользование(3.2.5)требуетданных,хотябыв первом приближении, о составе рассматриваемых газовых смесей.

Для точных расчетов параметров процессов сгорания и газификации необходимо знать составы продуктов сгорания и газификации топлив в воздухе и температурные зависимости теплоемкости всех газовых компонентов.

Составы этих продуктов, как известно, зависят от элементного состава сжигаемого или газифицируемого топлива, его влажности, количества воздуха, подаваемого для сжигания или газификации топлива, и величины внешнего водопритока в зоны горения и газификации, если процессы осуществляются в подземных условиях. При газовом анализе в основном определяют составы сухих газовых смесей. Содержание паров воды в них определяется отдельно. Количественные показатели содержания паров воды в газах и газовых смесях и методы пересчета состава газовых смесей с сухого состояния на влажное и наоборот рассмотрены в подразд.  2.4.

Анализ составов сухих продуктов полного сгорания органических топлив в теоретически необходимом для этого объеме воздуха показал, что для всех органических топлив температурная зависимость средней изобарной объемной теплоемкости этих продуктов довольно точно (относительная погрешность ε ≤ 2 %) описывается следующим полиномом 1-й степени:

108

Появление в этих продуктах горючих газов, являющихся продуктами неполного сгорания, паров воды и избыточного воздуха оказывают определенное влияние на величину теплоемкости этих продуктов сгорания.

Анализ составов влажных продуктов полного сгорания органических топлив в воздухе с коэффициентом избытка воздуха в них αв > 1,0 показал, что при содержании в них продуктов неполного сгорания (СО, Н2, СН4) на сухое состояние не более 5 % по объему температурная зависимость их средней изобарной объемной теплоемкости довольно точно (относительная погрешность

Величина αв показывает, во сколько раз объем воздуха, подаваемый на сжигание топлива, превышает теоретически необходимый для полного сгорания этого топлива. При сжигании топлив всегда обеспечивают αв > 1,0, так как это позволяет свести к минимуму появление при сжигании углеводородных топлив продуктов неполного сгорания, каковыми в основном являются СО, Н2, СН4. Величина αв определяется на основании экспериментальных данных о составе сухих продуктов сгорания обычно по формуле [9, 11]

гдеN2, СО, Н2, СН4 – содержание соответствующих газов в сухих продуктах сгорания, % по объему.

Анализ сухих продуктов газификации угля в воздухе показал, что температурная зависимость их средней изобарной объемной теплоемкости довольно точно (относительная погрешность не более 6 %) описывается следующим полиномом 1-й степени [25]:

109

Если рассматривать влажные продукты газификации угля как двухкомпонентную газовую смесь (сухие продукты газификации – пары воды), то их зависимость СPоб(T0…T) будет описываться следующим выражением [25]:

где[ СPоб(T0…T)] = кДж/(нор. м3 К); [Wоб] = доли ед.; [Т] = К.

Во всех вышеприведенных формулах Wоб можно легко заменить на соответствующие показатели влагосодержания продуктов сгорания и газификации. Расчетные формулы приведены в подразд.  2.4.

3.3.  Теплоемкость жидкостей

Теплоемкость жидкостей, в принципе, также является функцией Р и Т. Теоретических основ описания общих закономерностей влияния Р и Т на изменение С жидкостей пока не разработано [10]. Поэтому для практических тепловых расчетов С жидкостей также определяется экспериментально, и ее значения приводятся в справочной литературе [9, 10].

При отсутствии таких данных теплоемкость жидкостей, в принципе, можно рассчитать по ряду предложенных в технической литературе полуэмпирических формул. Следует, правда, отметить, что в литературе приведено мало данных о температурных зависимостях теплоемкости жидкостей. Формулы в основном предложены для расчетов их теплоемкости при стандартных физических условиях. Это, однако, вполне приемлемо для практических расчетов, так как эксперименты показали, что теплоемкость абсолютного большинства жидкостей в диапазоне температур от точки плавления Тпл до точки кипения Ткип довольно слабо зависит не только от Р, но и от Т. Это наглядно видно, например в табл.  3.3.1, в которой приведены экспериментальные данные истинной изобарной удельной теплоемкости химически чистой воды в диапазонах температуры t = 0…200 °С и абсолют­ ного давления Р = 0,1…20 МПа. Поэтому в практических расчетах при t и Р, не превышающих данные пределы, можно с большой

110