Горная теплофизика. Основы технической термодинамики. Ч.1. Учебное пособие

52.  Как на практике определяется размерное массовое влагосодержание воздуха, его абсолютная влажность и молярное влагосодержание?

53.  Покажите, как на основании парциальных плотностей водяного пара и сухого воздуха можно определить плотность влажного воздуха при рассматриваемых текущих условиях и как можно определить эти парциальные плотности.

54.  Покажите, как, зная плотности сухого воздуха и водяного пара при рассматриваемых текущих условиях, можно определить плотность влажного воздуха при этих же условиях. Что для этого необходимо знать дополнительно?

55.  Покажите, как можно определить плотность влажного воздуха при рассматриваемых текущих условиях, зная только его размерное массовое влагосодержание.

56.  Как на практике определяется молярная масса влажного воздуха?

91

3.  ТЕЛОЕМКОСТЬ ВЕЩЕСТВ И ПОКАЗАТЕЛЬ АДИАБАТЫ ГАЗОВ

3.1.  Основные понятия и определения

В самом общем случае любой ТП, сопровождающийся обменом энергией между ТС и ОС, приводит к изменению Т либо их обеих, либо одной из них.

Определение количества тепла Q, поступающего в ТС или покидающего ее в ходе соответствующего ТП, является важнейшей теплотехнической задачей. При ее решении очень широко используется физическая величина, названная теплоемкостью вещества (ТС).

Под теплоемкостью С вещества (ТС) понимается физическая величина, оценивающая способность вещества преобразовывать тепло, поступившее в него (покинувшее его) в ходе определенного ТП, в изменение своей Т, численно равная отношению бесконечно малого количества тепла dQ, получаемого (отдаваемого) веществом в ходе ТП, к происходящему в результате этого бесконечно малому изменению температуры dT этого вещества [3]:

С = dQdT ,

где[C] = Дж/К.

Тепло Q, приводящее к изменению Т вещества (ТС), может поступать в него (или покидать его) в результате теплообмена с ОС, а также появляться в веществе, например в ходе преобразования им энергии, поступающей из ОС в форме механической работы (например, сжатие газа, приводящее к повышению его Т). Поэтому в общем случае Q зависит от характера ТП, т.е. является его функцией, Q = f(P,v,T). Следовательно, и С также будет зависеть от характера ТП и, в принципе, должна быть частной производной от Q(P,v,T) по Т. Зависимость С от характера ТП приводит к тому, что одно и тоже вещество в зависимости от особенностей ТП может обладать различными значениями С. Теплоемкость С будет отражать свойство вещества (ТС) только в том случае, когда ТП будет в определенной степени фиксированным, т.е. изменение Т вещества (ТС) будет происходить при постоян-

92

ном значении некоего параметра х, которым могут быть P, v, и другие параметры. Таким образом:

гдеиндекс х означает, что ТП осуществляется при некотором одном постоянном значении параметра х.

Эффективное преобразование механической работы в тепло характерно только для газов и их смесей, объем которых при изменении их Р изменяется, как показано выше, довольно значительно. Поэтому изменение Т газов в большой степени зависит от изменения их объема. Объем твердых и жидких веществ изменяется очень незначительно даже при довольно высоких Р. В результате расширение или сжатие этих веществ практически не влияет на их Т и, следовательно, их С очень слабо зависит от характера ТП и определяется в основном физическими свойствами этих веществ. Поэтому теплоемкость жидких и твердых веществ всегда положительна, т.е. подвод тепла к ним всегда сопровождается повышением их Т, и наоборот.

Сильная зависимость С газов от характера ТП приводит к тому, что величина С у них может принимать любые значения от

–∞ до +∞. Так, в изотермическом ТП, когда Т = const, а dT = 0, имеет место

а в адиабатном ТП, когда dQ = 0 (в этом случае Т изменяется за счет изменения v вещества):

Поэтому в практических расчетах эти так называемые изотермическая СТ и адиабатная СS теплоемкости не используются. В этих расчетах используются только изобарная СР, изохорная СV и политропная СП теплоемкости, т.е. теплоемкости в изобарном, изохорном и политропном ТП:

93

Политропная теплоемкость, являющаяся в определенной степени искусственной теплоемкостью, будет подробно рассмотрена при изучении политропного ТП.

Теплоемкости СР и СV соответственно связаны между собой. Наиболее четко эта взаимосвязь имеет место у газов. Для идеального газа она выражается известным из курса физики уравнением Майера [4]:

гдеМ – масса газа, кг; R – удельная газовая постоянная, Дж/(кг К).

Для газов, находящихся под большим давлением, жидких и твердых веществ взаимосвязь между СР и СV имеет более сложный вид [10]:

гдеV – объем вещества, м3; βP – истинный, т.е. при рассматриваемой Т, термодинамический коэффициент изобарного объемного расширения вещества, К–1; αT – истинный, т.е. при рассматриваемой Т, термодинамический коэффициент изотермической сжимаемости, Па–1; коэффициенты βP и αT при текущих параметрах состояния определяются следующим образом:

Из (3.1.4) и (3.1.5) следует, что у всех веществ СР > СV. Так как R не зависит от параметров состояния идеального газа, то его СР не зависит от Р и V, а зависит только от Т газа. У реальных веществ СР и СV являются функцией Р и Т.

У газов СР больше СV примерно на 30…60 %, у жидкостей – примерно на 10 %, а у твердых веществ всего на несколько процентов – от 3 % для меди и золота и до 8 % у щелочных металлов [10]. Такая небольшая разница между СР и СV у жидких и твердых веществ примерно соответствует средней погрешности экспериментального определения этих показателей у них. Поэтому у этих веществ в абсолютном большинстве обычных техниче-

94

ских расчетов используется только СР, которая у них экспериментально определяется значительно проще.

В связи с тем, что T ≈ T + dT, теплоемкость Сх в (3.1.2) называется теплоемкостью вещества (ТС) при данной T или истинной теплоемкостью. Эта теплоемкость характеризует количество тепла, необходимое для изменения T вещества (ТС) на 1 К в диапазоне температур от (T – 0,5) К до (T + 0,5) К в соответствующем ТП. В том случае, когда имеет место большое изменение T вещества, т.е. ∆T = T2 – T1 >> dT, где T1, T2 – начальная и конечная T, К, в ходе ТП; необходимо пользоваться понятием средней теплоемкости в диапазоне температур от T1 до T2. Ее будем обозначать как Сx(T1…T2). Следует отметить, что в термодинамике принято, что если в ходе соответствующего ТП рассматриваются только начальное и конечное состояния ТС, то термодинамические параметры, характеризующие начальное состояние ТС, имеют нижний правый индекс 1, а конечное – 2. Величина Сx(T1…T2) соответственно определяется как

гдеQx(T1…T2) – количество тепла, Дж, необходимое для изменения температуры вещества (ТС) в соответствующем ТП от T1 до T2, соответственно х = Р, V или П.

Если при Р = const известен вид температурной зависимости Сх(Т), то для этого Р определение Сх(Т1…Т2) затруднений не вызывает. Согласно теореме о среднем (дисциплина «Математика», раздел «Интегральное исчисление») имеем

Средняя теплоемкость характеризует количество тепла, в среднем необходимое для изменения T вещества (ТС) на 1 К в пределах всего диапазона температур от T1 до T2 в соответствующем ТП.

В практических расчетах Сх и Сx(T1…T2) не используются, так как их значения зависят не только от Р и T, а и от количества вещества. Поэтому в расчетах используются следующие показатели теплоемкости: удельные Схуд и Сxуд(T1…T2), молярные

95

Схµ и Сxµ(T1…T2) и объемные Схоб и Сxоб(T1…T2) истинные и средние теплоемкости.

УдельныетеплоемкостиСхуд и Сxуд(T1…T2)–этоСх и Сx(T1…T2), отнесенные к единице массы вещества, т.е. к 1 кг:

где[Схуд, Сxуд(T1…T2)] = Дж/(кг К); qx(T1…T2) – удельное тепло, Дж/кг, необходимое для изменения температуры 1 кг веще-

ства термодинамической системы в соответствующем ТП от T1 до T2; х = Р, V или П.

Соответственно Схуд и Сxуд(T1…T2) показывают, какое количество тепла обеспечивает изменение (повышение или уменьшение) температуры 1 кг вещества на один градус (1 К или 1 °С) при данной температуре Т или в диапазоне температур от Т1 до Т2.

МолярныетеплоемкостиСхµи Сxµ(T1…T2)–этоСх и Сx(T1…T2), отнесенные к единице количества вещества, т.е. к 1 молю. Они

связаны Схуд и Сxуд(T1…T2) как:

где[Схµ, Сxµ(T1…T2)] = Дж/(моль К).

Соответственно Схµ и Сxµ(T1…T2) показывают, какое количество тепла обеспечивает изменение (повышение или уменьшение) температуры 1 моля вещества на один градус (1 К или 1 °С) при данной температуре Т или в диапазоне температур от Т1 до Т2.

Объемные теплоемкости Схоб и Сxоб(T1…T2) – это Сх и Сx(T1…T2), отнесенные к единице объема вещества при нормальных физиче-

ских условиях, т.е. к 1 нор. м3. Последнее указание, в принципе, необходимо учитывать только при рассмотрении газов и их смесей. Влияние Р и Т на объемы жидких и твердых веществ, как уже неоднократно отмечалось выше, чрезвычайно мало, и поэто-

96

му влиянием Р и Т на объемы этих веществ можно пренебречь. Объемные теплоемкости Схоб и Сxоб(T1…T2) связаны как с Схуд иСxуд(T1…T2), так и с Схµ и Сxµ(T1…T2):

гдеρ(P0,T0), Vµ(P0,T0) – плотность, кг/нор. м3, и молярный объем, нор. м3/моль, вещества при нормальных физических

условиях; [Схоб, Сxоб(T1…T2)] = Дж/(нор. м3 К) у газов и их смесей; [Схоб, Сxоб(T1…T2)] = Дж/(м3 К) у жидких и твердых веществ.

Соответственно Схоб, и Сxоб(T1…T2) показывают, какое количество тепла обеспечивает изменение (повышение или уменьшение) температуры 1 м3 вещества (для газов 1 нор. м3) на один градус (1 К или 1 °С) при данной температуре Т или в диапазоне темпера-

тур от Т1 до Т2.

Для твердых веществ с нарушенной сплошностью в (3.1.10) вместо ρ(P0,T0) необходимо использовать ρоб, а для веществ, находящихся в разрыхленном состоянии – ρнас.

Если обе части (3.1.4) разделить на М, а затем умножить на µ, то соответственно будем иметь:

Формула (3.1.12) показывает, что разность CPµ – CVµ = Rµ ≈ ≈ 8,314 Дж/(моль К) есть величина постоянная для всех идеальных газов, а следовательно, и для тех реальных газов, которые при рассматриваемых условиях можно считать идеальными.

Для объемных теплоемкостей газов можно также получить зависимости, аналогичные (3.1.12). Умножив левую и правую части (3.1.11) на плотность газа при нормальных физических

97

условиях ρ(P0,T0) и учтя, что она определяется как частное от деления его молярной массы µ на молярный объем при нормальных физических условиях Vµ(P0,T0), получим

Произведение ρ(P0,T0)R в технической литературе получило название объемной газовой постоянной Rоб. Соответственно для всехидеальныхгазовонаявляется,такжекакиRµ,постояннойвеличиной, однако только при нормальных физических условиях.

Из (3.1.10) также следует, что у газов с одинаковыми молярными теплоемкостями равны и объемные теплоемкости.

Зависимости (3.1.4), (3.1.11), (3.1.12) справедливы и для средних соответствующих изобарных и изохорных теплоемкостей. Доказать это можно довольно просто. Покажем это на примере преобразования (3.1.11). Учитывая (3.1.7), получаем

У идеального газа отсутствует взаимодействие между его молекулами, поэтому его теплоемкости не зависят от Р газа, а определяются только его Т. Наличие R в (3.1.4), (3.1.11) и Rµ в (3.1.12) не опровергает этот вывод, так как эти газовые постоянные не зависят не только от Р, но и от Т газа. У реальных веществ такая зависимость существует. Однако влиянием давления на их теплоемкость в обычных технических расчетах можно пренебречь даже у газов. Так, согласно [10] Схуд азота при Т = 300 К увеличи-

98

вается примерно на 14 % при увеличении Р от 0,1 до 10 МПа, т.е.

в100 раз. У твердых и жидких веществ изменение теплоемкости

втаком же диапазоне изменения Р еще меньше.

При относительно невысоких давлениях Р ≤ 2,5 МПа в области положительных температур влиянием Р на теплоемкость газов, в принципе, можно пренебречь. Относительная погрешность в расчетах в этом случае практически не превысит 10 %.

Для многокомпонентных веществ (смесей) соответствующие теплоемкости определяются следующим образом:

Вывод этих формул несложен. Покажем это на примере второй формулы (3.1.14). Теплота, полученная многокомпонентной ТС в ходе равновесного ТП, Q будет равна сумме теплот, получаемых в ходе этого ТП каждым i-м компонентом ТС,

т.е.: Qx =∑j Qxi. При этом каждый компонент ТС увеличит

1

свою температуру на одно и то же значение, что и вся ТС, т.е. ∆T = ∆T1 = … = ∆Tj – 1 = ∆Tj = T2 – T1. Следовательно, имеем

Cxуд.см (T1...T2 )Mсм∆T = ∑j Cxуд.i (T1...T2 )Mi∆T →

Учитывая (4.1.6) и (4.1.7) для каждого Р = const, получаем

99

где Сx(T1…T2) = M Сxуд(T1…T2) = V(P0,T0) Сxоб(T1…T2) = nµ Сxµ(T1… T2); Сx(T) = MСxуд(T) = V(P0,T0)Сxоб(T) = nµСxµ(T).

Таким образом, чтобы определить количество тепла, поступающего в ТС или уходящего из нее в ходе соответствующего ТП, необходимо знать либо средние теплоемкости веществ, образующих ТС, в диапазоне температур от Т1 до Т2, либо вид температурных зависимостей истинных теплоемкостей веществ, полученных для этого же диапазона температур.

Внастоящее время для довольно большого количества веществ такие данные и зависимости определены. Они приведены

всоответствующей справочной литературе как в табличной форме, так и в виде аналитических зависимостей.

Вряде случаев, например при расчетах тепловых балансов

процессов сжигания топлив в теплотехнике, величина Qх определяется относительно Т0, т.е. принимается Т1 = Т0 [9, 11]. Фиксированная начальная температура дает возможность получить аналитические температурные зависимости уже средних теплоемкостей

Сxуд(T0…T), Сxоб(T0…T), Сxµ(T0…T), использование которых позволяет очень просто рассчитывать Сxуд(T0…T2), Сxоб(T0…T2),Сxµ(T0…T2). Это дает возможность при расчетах Qх избежать про-

цесса интегрирования имеющихся зависимостей Схуд(Т), Схµ(Т),

Схоб(Т).

При расчете величин Сxуд(T0…T2), Сxоб(T0…T2), Сxµ(T0…T2) в аналитических зависимостях Сxуд(T0…T), Сxоб(T0…T), Сxµ(T0…T) текущая температура Т просто заменяется на Т2. Покажем это

на примере.

Пример

Температурная зависимость средней изобарной объемной теплоемкости сухого воздуха в диапазоне температур 273,15…1500 К имеет следующий вид – СPоб(T0…T) = 1,2531 + 1,2092 10–4Т, где [ СPоб(T0…T)] = кДж/(нор. м3 К); [Т] = К. Определить среднюю изобарную объемную теплоемкость сухого воздуха в диапазоне температур 273,15…1000 К.

100