Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел. Монография
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
И.В. Кудинов
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА И КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ТЕЛ
Монография
Печатается по решению редакционно-издательского совета СГАСУ от 21.12.2012 г.
Самара
2013
– 1 –
УДК 536.2 К 88
ISBN 978-5-9585-0519-7
К 88 Аналитические решения гиперболических уравнений тепломассопереноса и колебаний упругих тел: монография / И.В. Кудинов. –
Самара: СГАСУ, 2013. – 144 с.
В монографии представлены результаты получения точных аналитических решений гиперболических уравнений, выведенных на основе представления о конечной скорости распространения потенциалов рассматриваемых полей. Даны решения задач о распределении температуры в теле (в том числе с учетом релаксации не только теплового потока, но и градиента температуры), распределении скорости жидкости при разгонном течении, распределении давления жидкости в трубопроводе
вусловиях гидравлического удара. Приведены результаты получения аналитических решений гиперболических уравнения колебаний упругих тел (стержней, пружин, струн) с учетом релаксации напряжений и перемещений
взаконе Гука, а также с учетом сопротивления среды сдвигающим усилиям. Книга может быть полезной для научно-технических работников,
специализирующихся в области математики, теплофизики, механики, гидрогазодинамики, а также как учебное пособие для преподавателей и студентов физико-математических и технических вузов.
Рецензент – д. ф.-м. н., профессор Самарского государственного универ-
ситета В.П. Радченко.
ISBN 978-5-9585-0519-7
© И.В. Кудинов, 2013 © СГАСУ, 2013
– 2 –
Содержание |
|
Введение ……….………………………………………...………...................4 |
|
Глава 1. Аналитические решения гиперболических уравнений |
|
теплопроводности и движения..................................................................... |
6 |
1.1.Получение и анализ точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности…………...................... 6
1.2.Получение аналитического решения
гиперболического уравнения теплопроводности для плоской стенки при граничных условиях третьего рода………..... 27
1.3. Гиперболические уравнения, полученные с учетом релаксации теплового потока и градиента температуры……................35
1.4.Гиперболические уравнения с производными высокого порядка..50
1.5.Аналитические решения гиперболических уравнений
движения при разгонном течении Куэтта………….................................64 |
|
1.6. Аналитические решения гиперболических уравнений |
|
теплопроводности при симметричных граничных |
|
условиях первого рода…............................................................................78 |
|
Глава 2. Аналитические решения гиперболических уравнений |
|
о гидравлическом ударе в трубопроводах................................................ |
93 |
2.1. Распределение давлений по длине трубопровода |
|
в условиях гидравлического удара…………………................................93 |
|
2.2. Анализ распределения скоростей в условиях |
|
гидравлического удара…………………..................................................106 |
|
Глава 3. Математические модели затухающих колебаний |
|
упругих тел с учетом релаксационных свойств материалов…..........109 |
|
3.1.Продольные колебания стержня………………………...................109
3.2.Поперечные колебания закрепленной струны…………………....123
3.3.Математическая модель продольных волн в жидкостях
с учетом их релаксационных свойств……………………….................135
Библиографический список……………………......................................141
– 3 –
Введение
Математические постановки классических задач нестационарного теплопереноса основаны на параболическом уравнении теплопроводности с соответствующими граничными условиями. Вывод этого уравнения базируется на уравнении теплового баланса (законе сохранения энергии) и феноменологическом законе Фурье для теплового потока (гипотезе Фурье). Исследования аналитических решений указанных задач приводят
кзаключению, что скорость распространения тепла в изучаемых средах является бесконечной. Для большинства практических задач нестационарной теплопроводности классическая феноменология Фурье приводит
кудовлетворительным результатам, подтверждаемым опытными данными. Однако существует класс задач, для которых классическая модель теплопроводности оказывается несостоятельной. Это, например, задачи определения температурных полей, возникающих при высокоинтенсивном теплообмене в устройствах импульсной и лазерной техники, при лазерной обработке металлов, в процессах плазменного напыления, при описании процессов теплопроводности в высокотемпературной плазме, при индуцированном лазерном ядерном синтезе, при катализе быстрых реакций, и вообще все процессы, время протекания которых соизмеримо со временем релаксации. Основная причина неприменимости классической модели
куказаннымпроцессамвтом,чтозаконФурьеявляетсялишьприближенным описанием процесса теплопроводности, не учитывающим инерционность теплового потока. Первым, кто ввел инерционность в уравнения переноса, были Максвелл, Вернотт, Каттанео [19, 27, 32]. В частности ими была предложена формула для теплового потока (известная как формула Максвелла – Каттанео) с демпфером путем использования в законе Фурье релаксационного слагаемого, учитывающего конечную скорость распространения теплоты (учитывающего ускорение теплового потока). Аналогичная формула была также получена А.В. Лыковым на основе использования сформулированной им обобщенной системы дифференциальных уравнений Онзагера, вывод которых базируется на гипотезе о конечной скорости распространения теплоты и массы.
Используя формулу Максвелла – Каттанео – Лыкова для теплового потока, на основе уравнения теплового баланса было выведено гиперболическое уравнение теплопроводности (в электротехнике оно известно как телеграфноеуравнение),содержащеевотличиеотпараболическогоуравнения вторую производную по времени от искомой функции. Однако многочисленные исследования точных аналитических решений этого уравнения привели к заключению, что оно, также как и параболическое уравнение,
–4 –
необеспечиваетдостаточноадекватногоописанияисследуемыхпроцессов. И в частности решения приводят к возникновению скачков температуры, что равнозначно возникновению изотерм внутри тела, а также к появлению отрицательных температур в обратной тепловой волне, что свидетельствует о нарушении принципа максимального значения в краевых задачах [24], а также к нарушению закона сохранении энергии.
Анализ причин получаемых результатов привел к заключению о необходимости учета инерционности не только теплового потока, но и градиента температуры [6], что вообще говоря, следует из предложенной А.В. Лыковым обобщенной системы дифференциальных уравнений Онзагера. Релаксация теплового потока и градиента температуры позволила снять проблемы, связанные со скачками температуры внутри исследуемых тел, и исключить появление отрицательных температур в обратной тепловой волне. Скачок температуры, появляющийся в окрестности точки пространственной переменной, где заданы граничные условия первого рода, свидетельствует о том, что механизм теплопроводности с учетом релаксационных свойств материалов ограничивает количество теплоты, отводимого от системы. Следовательно, коэффициент теплоотдачи в реальных условиях теплообмена не может превысить некоторой максимальной для данных конкретных условий (определяемых толщиной тела и его физическими свойствами, включая и релаксационные свойства) величины ни при каких внешних условиях теплообмена.
– 5 –
Глава 1 Аналитические решения гиперболических уравнений
теплопроводности и движения
1.1. Получение и анализ точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности
Проблеме получения гиперболических уравнений теплопроводности, учитывающих конечную скорость распространения теплоты, посвящено большое число работ [1, 2, 3, 6, 8 – 27, 30 – 33]. Необходимость получения таких уравнений связана с так называемыми парадоксами теории теплопроводности, следующими из решений классического параболического уравнения теплопроводности вида:
∂t(x, τ)∂τ = a∂2t(x, τ) ∂x2 , |
(1.1) |
вывод которого базируется на законе Фурье для теплового потока:
q = −λ∂t ∂x , |
(1.2) |
где t – температура; x – координата; τ – время;
a – коэффициент температуропроводности; q – тепловой поток;
λ− коэффициент теплопроводности.
В соответствии с (1.2) изменение температуры в какой-либо точке тела приводит к мгновенному изменению ее во всех других точках тела. Следовательно, в процессе вывода в уравнение (1.1) закладывается понятие бесконечной скорости распространения теплового возмущения, что подтверждается анализом его аналитических решений. Из этих решений
вчастности следует, что при граничных условиях первого рода (тепловой удар) тепловой поток и скорости движения изотерм при x → 0 и τ → 0 принимают бесконечные значения. Все эти так называемые парадоксы теории теплопроводности противоречат фундаментальным физическим законам, ограничивающим бесконечные значения физических величин и скоростей распространения сигналов.
Указанные результаты решений уравнения (1.1) не отражают действительное (реальное) распределение температурных полей. Впервые еще
вXIX веке это было отмечено Риманом, который показал, что различным
–6 –
видам изотермических поверхностей соответствуют различные дифференциальные операторы теплопроводности и среди них линейный оператор параболического типа встречается лишь как частный случай. Риман дал ответ на вопрос: каким должно быть температурное состояние тела произвольной формы, чтобы система изотерм, заданная в определенный момент времени, оставалась бы системой изотерм в любой момент времени, т.е. чтобы температура любой точки пространства выражалась в виде функции времени и пространственных координат. Кроме того, отвечая на вопрос, какими свойствами должно обладать тело, при которых возможна система кривых, остающихся изотермами, Риман впервые показал, что свойства анизотропного температурного поля характеризуются не теплофизическими параметрами, а видом изотермических поверхностей, описываемых различными дифференциальными операторами, среди которых могут присутствовать операторы, включающие вторую, третью и т. д. производные от искомой функции по пространственным переменным
ивремени. Отметим, что уравнение диффузии, содержащее высшие производные по координатам и времени, на основе максвелловской теории распределения скоростей молекул было получено А.А. Власовым [27].
Таким образом, параболическому оператору теплопроводности соответствует только строго определенный класс изотермических кривых, выход за пределы которых невозможен путем одного лишь расширения начальных и граничных условий. Поэтому невозможно получить изотермы, несвойственные параболическому оператору, одним лишь изменением этих условий – путь по которому происходило развитие теории теплообмена. Именно этот путь и приводит к перечисленным выше парадоксам
инекорректно поставленным задачам, когда решение либо неединственно, либо не существует, либо неустойчиво. Все это связано с ограниченностью параболического оператора теплопроводности, при выводе которого подразумевается,чтотемператураявляетсяплавнойфункциейкоординативремени.
Таким образом, с одной стороны процесс распространения тепла осуществляется потоком взаимодействующих частиц (электронов, атомов, молекул), что описывается параболическим оператором теплопроводности, а количественные характеристики этого процесса определяются такими свойствами среды, как теплопроводность и теплоемкость. С другой стороны, распространение тепла – волновой процесс, количественными характеристиками которого являются скорость тепловой волны и релаксация теплового потока [27].
Отсюда следует, что в нестационарных процессах закон распределения теплоты, вообще говоря, не подчиняется гипотезе Фурье, что связано с отсутствием в соотношении (1.2) параметров, учитывающих конечную
–7 –
скорость ее распространения. Необходимость введения таких параметров обусловлена тем, что теплота передается мельчайшими частицами вещества (электронами, молекулами, ионными решетками), а конечный результат этой передачи (температура тела) зависит от скоростей движения (колебания) этих частиц. Следовательно, в формуле для распространения теплоты должны учитываться молекулярно-кинетические представления, связанные со скоростями движения частиц, длиной и временем их свободного пробега и взаимодействиями при ударах.
Попытки обобщения уравнения (1.2) были предприняты авторами работ [19, 20, 31, 32], которые независимо друг от друга получили следующую формулу для теплового потока:
q = −λ∂t ∂x −τr ∂q ∂τ , |
(1.3) |
где τr = a
W 2 − время релаксации (постоянная релаксации); W – скорость продвижения теплового возмущения.
Время релаксации τr является характеристикой неравновесности процесса теплопроводности. И оно тем больше, чем больше нарушается тепловое равновесие (тем бóльшую в этом случае погрешность можно получить при описании процесса уравнением (1.1)). Отсюда можно заключить, что τr – это есть время, необходимое для перевода теплового потока в форму теплового движения частиц, участвующих в процессе передачи теплоты. Следовательно, соотношение τr ∂q
∂τ в (1.3) учитывает инерционность теплового потока, т. е. учитывает время, необходимое для его ускорения.
Соотношение (1.3) принимает вид формулы (1.2) в случае, если W → ∞ . Так как уравнение (1.2) положено в основу вывода параболического уравнения (1.1), то, следовательно, бесконечная скорость распространения теплового возмущения оказывается заложенной в нем уже в процессе вывода.
Отметим, что А.В. Лыковым уравнение вида (1.3) было получено на основе использования теории Максвелла об аналогии механических свойств жидкостей и твердых тел, исходя из представления о релаксации – явления рассасывания упругих напряжений сдвига, т. е. рассеивания упругой энергии, запасенной в деформируемом теле, путем ее перехода в теплоту, что связано с хаотическим тепловым движением молекул. На основе этой теории доказывается пропорциональность времени релаксации теплового потока τr и времени релаксации вязких напряжений.
– 8 –
Наоснове(1.3)быловыведеногиперболическоеуравнениетеплопроводности вида:
∂t(x, τ) |
+ τr |
∂2t(x, τ) |
= a |
∂2t(x, τ) |
. |
(1.4) |
||||
∂τ |
|
∂τ2 |
|
∂x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
Уравнение (1.4) было также получено А.С. Предводителевым, исходя из совсем иных представлений, а именно – из анализа скоростей перемещения изотермических поверхностей, т.е., используя представления Римана, при полном отказе от релаксационной формулы (1.3).
Уравнение (1.4) по форме записи аналогично телеграфному уравнению, описывающему электрические процессы. Тождественность переноса тепла и электричества базируется на аналогии законов Фурье и Ома, подтверждающейся законом Видемана-Франца, согласно которому отношение коэффициентов теплопроводности и электропроводности для всех металлов при одной и той же температуре одинаково. Следовательно, электроны проводимости переносят не только электрический заряд, но и теплоту. В металлах, где концентрация свободных электронов высока, практически вся теплота переносится электронами. В связи с чем металлы с высокой электропроводностью являются также и высокотеплопроводными.
О наличии аналогии между этими двумя явлениями свидетельствует также тот факт, что переход вещества в состояние сверхпроводимости (резкое падение электрического сопротивления) при низких температурах сопровождается резким увеличением теплопроводности. Например, коэффициент теплопроводности жидкого гелия при температуре –270 °С составляет λ = 0,0106 Вт/(м.К), а при температуре – 271°С он увеличивается до величины λ = 0,9869.106 Вт/(м.К), т. е. явление сверхпроводимости сопровождается также явлением сверхтеплопроводности. Время релаксации теплового потока в данном случае составляет τr = 10-3 с, а скорость продвижения тепловой волны W = 19 м/с [2]. Такие величины τr и W приводят к соизмеримости второго слагаемого левой части уравнения (1.4) с другими его членами и, следовательно, для определения температуры необходимо привлекать гиперболическое уравнение теплопроводности.
Для большинства практических задач теплопроводности влияние конечной скорости распространения теплоты в уравнении (1.4) пренебрежимо мало. В самом деле, скорость диффузного распространения теплоты на 10 порядков меньше скорости движения фронта тепловой волны [2]. Однако в ряде тепловых процессов наиболее достоверный результат можно получить лишь на основе исследования решений гиперболических уравнений теплопроводности. К их числу относятся высокоинтенсивные неста-
– 9 –
ционарные процессы, время протекания которых сопоставимо с временем релаксации τr. Например, при нагреве металлов короткими лазерными импульсами (длительностью от нанодо фемтосекунд). Скорость нагревания здесь сопоставима с временем термализации, необходимом электронам для обмена энергией с решеткой, и с временем релаксации, которое нужно для изменения их состояния. К числу других относятся процессы нагревания при трении с высокой скоростью, при анализе физических механизмов возникновения теплового удара, локального нагрева при динамическом распространении трещины в околозвуковом режиме и другие процессы [6].
Из решения уравнения (1.4) для малых значений временнóй и пространственной координат (τ → 0 , x → 0 ) следуют выводы, противоположные тем, которые получаются из решения уравнения (1.1). И в частности тепловой поток на стенке и скорости движения изотерм при x → 0 и τ → 0 принимают уже не бесконечные, а нулевые значения, что вполне объясняется инерционным характером распространения теплоты с учетом конечной скорости этого процесса. Следует, однако, отметить, что при больших значениях времени и пространственнойкоординатырешенияуравнений(1.1)и(1.4)дляопределенного кругазадач(см.ниже)полностьюсовпадают.Всвязисэтимвозникаетвопрос: в каких диапазонах временных интервалов необходимо использовать решения гиперболического уравнения, а в каких, не допуская значительных погрешностей, можно пренебречь конечной скоростью распространения теплоты?
Для ответа на поставленные выше вопросы необходимо выполнить детальное исследование точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности для конечного пространства. В известной литературе решения этого уравнения приводятся в основном для полупространства, что затрудняет их исследование ввиду трудностей представления исходной математической постановки задачи полностью в безразмерном виде(длявсехпеременныхзадачи)инепозволяетвыполнитьдетальныйанализ и сделать заключения наиболее общего вида. Кроме того, решение для полупространства не позволяет выполнить исследование обратной тепловой волны, возникающей при достижении фронтом теплового возмущения противоположной стенки. На фронте обратной тепловой волны, также как и на фронте прямой волны, наблюдается скачок в температурных кривых.
Рассмотрим последовательность получения точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности для бесконечной пластины при симметричных граничных условиях первого рода. Математическая постановка задачи имеет вид:
∂t(x, τ) |
+ τ |
|
∂2t(x, τ) |
= a |
∂2t(x, τ) |
; |
(1.5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂τ |
|
r ∂τ2 |
∂x2 |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
– 10 –